2024-2025学年辽宁省七校协作体高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省七校协作体高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线M：x2a−y2a+8=1(a>0)的离心率为A.y=±3x B.y=±332.如图，在三棱锥O−ABC中，OA=a,OB=b,OCA.12a+13b+163.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3中不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为(

)A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，24.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=4，A.2142 B.2121 C.5.6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有(

)A.65 B.1560 C.2640 D.45606.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于A.异面直线BD与AB1所成角为60°

B.B1D⊥平面ACD1

C.三棱锥P−ACD1的体积不变7.已知动点P(x,y)满足5(x−1)2+(y−1)A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线8.已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆(x−5)2+(y−1)A.6 B.7 C.8 D.9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.直线xsinα−y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π]

B.直线l：λx+y−3λ=0(λ∈R)恒过定点(3,0)

C.圆C1：x2+y2−4=010.关于空间向量，下列说法正确的是(

)A.若a,b共线，则|a|+|b|=|a−b|

B.已知a=(1,−2,2),b=(2,x,4)，若a⊥b，则x=5

C.若对空间中任意一点O，有OP=11.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1(−2,0)和F2(2,0)的距离之积为定值a.若点P(m,n)在曲线C上，则下列结论正确的是A.|m|≤22 B.|PO|≤22

C.△PF1F三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为______；恰有一个空盒子的方法数为______．13.已知圆C：x2+(y−2)2=1，点P在抛物线T：y=14x2上运动，过点P引圆C14.已知棱长为1的正四面体A−BCD的顶点都在球O上，过AB的平面截球O所得图形面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛选，有5人通过入伍审核．

(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

(3)若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能结果有多少种？16.(本小题15分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AD的中点，AD=2．

(1)若E为棱SB的中点，求证：PE//平面SCD；

(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>3)的右焦点F到左顶点的距离为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点(A,B不在x轴上)，若OE18.(本小题17分)

如图所示，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE)．

(1)证明：BC⊥平面POB；

(2)若PB=6，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥19.(本小题17分)

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b=1．

(1)若a=52，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；

(2)若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；

(3)若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.BC

10.BCD

11.ABC

12.35

175

13.314.π4．15.解：(1)因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，

所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，

所以所有的可能结果有C103=120种．

(2)从12人中任选5人的所有可能结果有C125种，

选出的5人中没有女生所有可能结果有C75种，

选出的5人中有1名女生所有可能结果有C74C51种，

所以至少有2名女生被选出的选法数为C1216.(1)证明：取SC中点F，连EF、DF，

∵E，F为棱SB，SC的中点，∴EF/​/BC，且EF=12BC，

∵四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，

∴PD/​/BC，PD=12BC，

∴EF/​/PD，EF=PD，∴四边形PEFD是平行四边形，

∴PE//FD，

又∵FD⊂平面SCD，PE⊄平面SCD，

∴PE//平面SCD；

(2)解：假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以SP⊥AD，

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，

SP⊂平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，

以点P为原点，PA的方向为x轴正方向，PS的方向为z轴的正方向，

过P作AB的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，S(0,0,3)，

∴PA=(1,0,0)，PB=(1,1,0)，AS=(−1,0,3)，

设AM=λAS=(−λ,0,3λ)(0≤λ≤1)，

∴PM=PA+AM=(1−λ,0,3λ)，

设平面PMB的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PM=(1−λ)x+3λz=0n⋅PB17.解：(1)根据题意得，b2=3a+c=3b2=a2−c2，

解得a=2，c=1，

所以椭圆的方程为：x24+y23=1．

(2)设l：x=ty+1，

则由l与C的方程消x得：(3t2+4)y2+6ty−9=0，

设A(x1、y1)、B(x2、y2)，18.解：(1)证明：在原图中，连接BE，由于AB//DE，AB=DE，

所以四边形ABED是平行四边形，由于AB=AD，所以四边形ABED是菱形，

所以AE⊥BD，

由于AB//CE，AB=CE，所以四边形ABCE是平行四边形，

所以BC/​/AE，所以BC⊥BD，

在翻折过程中，AE⊥OP，AE⊥OB保持不变，

即BC⊥OP，BC⊥OB保持不变，

由于OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，

所以BC⊥平面POB；

(2)由上述分析可知，在原图中，BC⊥BD，所以BD=42−22=23，

所以OB=OD=3，

折叠后，若PB=6，则PO2+OB2=PB2，

所以PO⊥OB，

由于PO⊥OE，OB∩OE=O，OB，OE⊂平面ABCE，

所以PO⊥平面ABCE，

由于OB，OE⊂平面ABCE，所以PO⊥OB，PO⊥OE，

所以OE，OB，PO两两相互垂直，

由此以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，

OE=OA=1，

P(0,0,3)，C(2,3,0)，A(−1,0,0)，E(1,0,0)，

设Q(0,t,3−t)，0≤t≤3，PC=(2,3,−3)，

AE=(2,0,0)，AQ=(1,t,3−t)，

设平面AEQ的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥AEn⊥AQ，则n⋅AE=2x=0n⋅AQ=x+ty+(19.解：(1)由题意得椭圆方程为4x25+y2=1，所以A(0,1)，

设P(x,y)(−1≤y≤1)，则|PA|2=x2+(y−1)2=54(1−y2)+(y−1)2=−14y2−2y+94，

二次函数开口向下，对称轴为y=−4，所以函数在[−1,1]上单调递减，

所以y=−1时，函数取最大