2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y=0的倾斜角为(

)A.45∘ B.60∘ C.2.点(5,−3)到直线x+2=0的距离等于A.7 B.5 C.3 D.23.若直线x−ay+1=0与直线2x+y=0垂直，则a的值为(

)A.2 B.1 C.−12 4.抛物线y2=−8x的焦点F到准线l的距离为(

)A.16 B.8 C.4 D.25.如图，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为A.12a+12b+126.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0).过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF2A.x216+y215=1 B.7.已知直线l：kx−y+1−k=0和圆C：x2+y2−4x=0，则直线l与圆A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定8.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知抛物线C:y2=2pxp>0过点A2,2，点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，则点B与原点A.2 B.2 C.52 10.均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线C上任意一点Px,y，若将曲线C纵向均匀压缩至原来的一半，则点P的对应点为P1(x,12y).同理，若将曲线C横向均匀压缩至原来的一半，则曲线C上点P的对应点为P2(A.x24+y29=1 B.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M(1,3).则圆O的方程为

；若直线3x+y−2=0与圆O交于两点A，B，则弦长|AB|=12.写出一个离心率e=2且焦点在x轴上的双曲线的标准方程

，并写出该双曲线的渐近线方程

．13.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若▵F114.P为抛物线y=2x2上一动点，当点P到直线2x−y−4=0的距离最短时，P点的坐标是

．15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M给出下列四个结论：

①MN的最小值为2；②四面体NMBC的体积为43③有且仅有一条直线MN与AD④存在点M，N，使▵MBN为等边三角形．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=3，(1)求直线A1E与(2)求二面角A1−EC−D17.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)直线l:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|=|PB|，求m的值．18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=120∘，PD=AD=2.点M在PB上，且PB⊥平面(1)证明：AC⊥BD；(2)求PMPB(3)求点M到平面PAD的距离．19.(本小题12分)椭圆E：x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点M2,0，O为坐标原点，证明：∠OMP=∠OMQ．

参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D

7.A

8.C

9.B

10.C

11.x2+y2=4

；

；

；

；12.x2−y13.214.1215.①②④

16.解：(Ⅰ)根据题意，以D为原点，DA,  DC, DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,2)．

所以A1E=(0, 1, −2)，BC1=(−2, 0, 2)．

所以cos⟨A1E,BC1⟩=A1E⋅BC1|A1E||BC1|=105．

所以直线A1E与BC117.解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c．

由题意得

b=1 ,ca=32 ,a2=b2+c2,

解得a=2，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)由

y=x+m,x24+y2=1得5x2+8mx+4(m2−1)=0，

由Δ=(8m)2−4×5×4(m2−1)>0，解得18.(1)解：因为PB⊥平面ACM，AC⊂平面ACM，所以PB⊥AC．因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，又PB∩PD=P，所以AC⊥平面PBD．又BD⊂平面PBD，所以AC⊥BD．(2)取AB中点N，连接DN．由(1)得四边形ABCD为菱形，所以AB=AD．因为∠ADC=120所以DN⊥DC．因为DP,DN,DC两两互相垂直，以D为原点，DN⇀,DC⇀,DP⇀则D0,0,0，A3,−1,0，所以PB⇀设PMPB=λ，PM=λ所以AM=因为PB⊥平面ACM，所以PB⊥AM，即PB⇀所以−3+3λ+1+λ解得λ=34，即(3)由(2)AM因为DA=3设平面ADP的一个法向量m={DA⇀令x=1，则y=3，于是所以点M到平面PAD的距离为d=|

19.(1)解：由题设知，ca=又a2=b所以椭圆的方程为x2(2)证明：由(1)可得椭圆的右焦点为1