2025年菁优高考数学压轴训练14

Page2025年菁优高考数学压轴训练14一．选择题（共16小题）1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系中．正四面体的顶点，分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为A．2 B． C．3 D．3．（2024•金安区校级模拟）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为A．24 B．25 C．48 D．504．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能5．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥所有棱长都等于2，动点在三棱锥的外接球上，且的最大值为，最小值为，则A．2 B． C． D．36．（2024•赣州模拟）已知球内切于正四棱锥，，是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为A．， B． C． D．7．（2024•重庆模拟）已知空间三点，2，，，1，，，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为A．7 B． C． D．8．（2024•南充模拟）已知正方形的边长为1，则A．0 B． C．2 D．9．（2023•江西模拟）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为A． B． C． D．010．（2023•德阳模拟）已知，，表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是A．， B．， C．， D．，11．（2024•朝阳区一模）在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且．则下列说法正确的是A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为12．（2024•安庆二模）如图，在长方体中，，点是棱上任意一点（端点除外），则A．不存在点，使得 B．空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条 C．过点与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条 D．过点与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条13．（2024•金东区校级模拟）已知矩形，，，沿对角线将△折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为A．1 B． C． D．14．（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是A．为正三角形 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为15．（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形中，且，把三角形沿对角线折叠，使得，得到三棱锥，如图所示，则下列说法中正确是A．点到平面的距离为 B．直线与直线不垂直 C．直线与平面所成角的正弦值等于 D．三棱锥外接球的表面积为16．（2024•建邺区校级模拟）在长方体中，，，则异面直线与的距离为A． B． C． D．二．多选题（共3小题）17．（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体边长为2，动点满足，，，则下列说法正确的是A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当，，时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为18．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是A．对空间任意一点与不共线的三点，，，若，其中，，且，则，，，四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得19．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是A．、、、四点可以共面 B． C． D．三．填空题（共4小题）20．（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点，，和点，，两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是．21．（2024•广州模拟）已知，，是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是．22．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体的棱长为2，若球与正四面体的每一条棱都相切，点为球面上的动点，且点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，则的取值范围为．23．（2024•拉萨一模）已知，，空间向量．若，则．四．解答题（共2小题）24．（2024•安徽模拟）一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量．（1）求证：在上的投影向量为；（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量”，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：岗位能力需求向量会计，2，技工，2，推销员，2，售后维修员，1，（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位．（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．25．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为线段，上的动点．（1）若为线段的中点，证明：平面平面；（2）若，且平面与平面所成角的余弦值为，试确定点的位置．

2025年菁优高考数学压轴训练14参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系中．正四面体的顶点，分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【考点】空间中的点的坐标【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球面上运动，原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径．【解答】解：如图所示，若固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球面上运动，设的中点为，则；所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径；所以，即的取值范围是，．故选：．【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为A．2 B． C．3 D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值．【解答】解：设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则．因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为．故选：．【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2024•金安区校级模拟）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为A．24 B．25 C．48 D．50【答案】【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先由，再由，推出，，，再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果．【解答】解：法一：因为正四面体的棱长为6，所以，同理可得，，又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，，，所以，由，则，，，，，，因为，所以，当且仅当取等号，此时，所以．故的最小值为50．法二：由于，所以点在平面内，所以，由于，所以，由于，所以，当点为点在平面内的射影时，最小，由于棱长为6，所以，，，所以．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．4．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能【答案】【考点】空间向量及其线性运算【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案．【解答】解：设，，，，，，由得，所以，，，所以，所以满足条件的点的个数为1个．故选：．【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．5．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥所有棱长都等于2，动点在三棱锥的外接球上，且的最大值为，最小值为，则A．2 B． C． D．3【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】空间向量及应用；转化思想；计算题；数学运算；综合法【分析】根据题意确定点的轨迹，结合余弦定理求的取值范围．【解答】解：如图：过作平面于，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段上，设为，设内切球半径为，外接球半径为．则，，而，所以，．因为在的外接球上，且，所以在以为直径的球面上，取中点为，则在圆上，圆所在的平面与垂直．在中，，，，过作于，则为正的中心，且，所以在中，，所以．设，则当点，，，共面时，取得最值，即，所以，在中，由余弦定理：．所以，所以，，．故选：．【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断及其应用等知识，属于中档题．6．（2024•赣州模拟）已知球内切于正四棱锥，，是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为A．， B． C． D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】数学运算；综合法；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；逻辑推理；平面向量及应用【分析】根据给定条件，利用体积法求出球半径，再利用向量数量积的运算律计算即得．【解答】解：令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而，则，正四棱锥的体积，正四棱锥的表面积，显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即，在中，，于是，又是球的一条直径，因此，显然，则，，所以的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查的知识点：正四棱锥的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024•重庆模拟）已知空间三点，2，，，1，，，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为A．7 B． C． D．【答案】【考点】空间向量的共线与共面【专题】转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；解三角形；三角函数的求值；综合法【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出，即可求出平行四边形面积为．【解答】解：因为，2，，，1，，，，，所以，，所以，，所以，所以，平行四边形面积为，在中由正弦定理有：，设平行四边形的面积为，所以．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．8．（2024•南充模拟）已知正方形的边长为1，则A．0 B． C．2 D．【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】综合法；平面向量及应用；计算题；转化思想；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【解答】解：正方形的边长为1，所以正方形的对角线长为，，故．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．9．（2023•江西模拟）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为A． B． C． D．0【答案】【考点】空间向量的数量积运算【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用；球【分析】首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．【解答】解：由题意知：正方体的外接球的球心为，正方体的外接球的直径，则为的中点，所以，且，故，由于，所以的最小值．故选：．【点评】本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．10．（2023•德阳模拟）已知，，表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量【专题】计算题；平面向量及应用【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到．【解答】解：由，则，又，为单位向量，则，则，由，则的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．11．（2024•朝阳区一模）在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且．则下列说法正确的是A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为【答案】【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角【专题】立体几何；综合法；数学运算；整体思想【分析】取的中点，连接，可求得，可知不存在点，使得直线与直线相交，进而可判断，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量知识可判断，根据正方体的结构特征可判断．【解答】解：连接，，所以，取的中点，连接，所以，点到线段的最短距离大于1，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确；以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，0，，所以，，，设平面的法向量为，，，所以，即，令，则，，所以，1，，所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确；因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，，所以为直线与平面所成角，因为，在中，，所以，因为△与全等，所以，故正确；延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点，连接，，，则，，，平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，所以截面面积为，故不正确．故选：．【点评】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求直线与平面所成的角，考查了正方体的结构特征，属于中档题．12．（2024•安庆二模）如图，在长方体中，，点是棱上任意一点（端点除外），则A．不存在点，使得 B．空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条 C．过点与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条 D．过点与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角【专题】逻辑推理；数形结合；综合法；立体几何【分析】当为的中点时判断；作图判断；利用角平分面的特征判断；建立空间直角坐标系，分析判断．【解答】解：对于，当为的中点时，连接，则，即有，而平面，平面，则，又，，平面，因此平面，而平面，则，故错误；对于，连接，，，平面与直线交于，点在线段上，不含端点，则直线与直线相交，同理直线与直线相交，因此直线、分别与三条直线，，都相交，故错误；对于，平面，而平面，则，又，于是是二面角的平面角，且，显然的平分线与平面和平面所成角都等于，过点与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面与半平面的反向延长面所成二面角的角平分面与平面和平面所成角都等于，在此角平分面内过点与平面和平面所成角都等于的直线有2条，因此过点与平面和平面所成角都等于的直线有3条，故错误；对于，建立如图所示的空间直角坐标系，直线，，的方向向量分别为，0，，，1，，，0，，设过点的直线方向向量为，由直线分别与直线，，所成角都相等，得，于是，不妨令，有，1，或，1，或，，或，显然使得成立的向量有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条，故正确．故选：．【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，直线与平面所成角，属于中档题．13．（2024•金东区校级模拟）已知矩形，，，沿对角线将△折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为A．1 B． C． D．【答案】【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角【专题】转化思想；向量法；转化法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【解答】解：过和分别作，，，，，，，则，即，二面角的余弦值为，，，，，，则，即与之间距离为，故选：．【点评】本题主要考查空间两点间距离的计算，利用向量数量积与长度之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．14．（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是A．为正三角形 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为【答案】【考点】点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【专题】数学运算；转化思想；综合法；立体几何【分析】对于，作出图形，结合已知数据容易判断；对于，假设平面，推出矛盾即可判断；对于，由线面平行的判定可以判断；对于，点到直线的距离即为到平面的距离，由此容易判断选项．【解答】解：选项，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为，则，，，为的中点，为的中点，，且，，为等腰直角三角形，选项错误；选项，若平面，则，直角中，，，选项错误；选项，，平面，平面，平面，选项正确；选项，，，平面，平面平面，到直线的距离即为到平面的距离，又，到直线的距离等于到直线的距离，为，选项错误．故选：．【点评】本题考查线面垂直，线面平行以及点到平面的距离计算，考查空间想象能力以及运算求解能力，属于中档题．15．（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形中，且，把三角形沿对角线折叠，使得，得到三棱锥，如图所示，则下列说法中正确是A．点到平面的距离为 B．直线与直线不垂直 C．直线与平面所成角的正弦值等于 D．三棱锥外接球的表面积为【答案】【考点】直线与平面所成的角【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间位置关系与距离；直观想象；空间角【分析】利用空间向量的数量积判断的正误；利用面积法判断的正误；通过数量积的求夹角，判断的正误；求解球的半径，然后求解表面积，判断的正误．【解答】解：由题意知四边形为菱形，△，△为正三角形，如图所示，取的中点，连接，则①，过点做平面，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，则，0，，，0，，，在直角△中，，，则，，，则，即，故错；，②，由勾股定理得，则，0，，，0，，，在平面内，过点做，由①②知平面，，又，则平面，即为点到平面的距离，取的中点，连接，△为等腰三角形，，则，，故错；，为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，故错；，0，，，0，，，，设三棱锥外接球的球心为，，，则，由空间两点间距离公式可得，整理得，解得，则，，，又，，解得，则，又，，解得，则，设三棱锥外接球的半径为，则，故三棱锥外接球的表面积为，故对．故选：．【点评】本题考查空间向量的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（2024•建邺区校级模拟）在长方体中，，，则异面直线与的距离为A． B． C． D．【答案】【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离【专题】综合法；向量法；数学运算；空间位置关系与距离；转化思想【分析】建系，利用向量法，向量数量积的运算，即可求解．【解答】解：根据题意可建系如图：则，0，，，4，，，4，，，0，，，，，设与两异面直线与都垂直的向量为，则，取，异面直线与的距离为：．故选：．【点评】本题考查异面直线的距离的求解，向量法的应用，属中档题．二．多选题（共3小题）17．（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体边长为2，动点满足，，，则下列说法正确的是A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当，，时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为【答案】【考点】空间向量及其线性运算【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法【分析】由时，得到为的中点，可判定错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定正确；求得点的轨迹在△内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定错误．【解答】解：对于中，由于时，则，此时为的中点，在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以错误；对于中，在上取点，使，在上取点，使，因为，即，可得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，连接交于，此时，，三点共线，取到最小值即的长，由于，所以，则，所以，所以，即此时的最小值为，所以正确；对于中，当，，时，可得点的轨迹在平面内（包括边界），在正方形中，可得，因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以，又由，所以的取值范围为，所以正确；对于中，当时，可得点的轨迹在△内（包括边界），由于平面，平面，可得，又因为，，，平面，故平面，因为平面，可得，同理可证，又因为，，平面，所以平面，设与平面交于点，由于，△为边长为的正三角形，则点到平面的距离为，若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上，此时点到△三边的距离均为，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以错误．故选：．【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．18．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是A．对空间任意一点与不共线的三点，，，若，其中，，且，则，，，四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得【答案】【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断、、、的结论．【解答】解：对于：由于，其中，，且，则，整理得：，故，所以，，，四点共面，故正确；对于：由于，，与的夹角为钝角，故，且，故的取值范围为，，，故错误；对于：若，共线且方向相反时，则，故错误；对于：若，共线，则一定存在实数使得，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．19．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是A．、、、四点可以共面 B． C． D．【答案】【考点】空间向量的共线与共面【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；逻辑推理；平面向量及应用【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断，根据数量积的运算律即可求解，根据模长的计算公式即可判断，根据夹角公式即可求解．【解答】解：对于：单位向量，，两两夹角均为，所以，假设、、、四点可以共面，则共面，所以存在，，使得，分别用，，与数量积，则，由于该方程组无解，所以不存在，，使得共面，故、、、四点不共面，故错误；对于，，故正确；对于，由得，由得，所以，则，故正确；对于，，所以，故，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）20．（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点，，和点，，两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是，．【答案】，．【考点】空间两点间的距离公式【专题】空间位置关系与距离；计算题；数学运算；转化思想；方程思想；综合法；立体几何【分析】根据题意，求出的表达式，结合三角代换法、辅助角公式对其变形，利用正弦型函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：根据题意，因为和两点之间的距离是，即，所以设，其中，则有，由于，所以，因此，设，则，，于是有，因为，所以，因此当且时，即当且时，有最大值，其最大值为，当且或时，取得最小值，此时，，所以的最小值，综上，和两点之间的“直角距离”的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查合情推理的应用，涉及三角恒等变形的应用，关键是利用三角代换的方法、运用正弦函数的最值的性质，属于中档题．21．（2024•广州模拟）已知，，是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是，．【考点】空间向量的数量积运算【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间向量及应用【分析】根据正方体的性质可得，，结合夹角的定义可得，可得其最大值；根据数量积的运算可知，可得其最小值．【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长，则，，故，，而，，，故，建立如图所示空间直角坐标系，取，0，，当，重合为，1，时，则，1，，1，，取得最大值3；由对称性，设在下底面，，，，，由在下底面知，，，当且仅当，也在下底面时取等，此时，，共面，设中点为，则，，当且仅当，重合时取等，又因为，可得，例如，，0，，，1，，则，所以，不重合时，的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题．22．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体的棱长为2，若球与正四面体的每一条棱都相切，点为球面上的动点，且点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，则的取值范围为．【答案】．【考点】空间向量的数量积运算【专题】数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球为正方体的内切球，设为的中点，结合向量数量积的运算律将转化为，结合四面体以及正方体和球的切接问题，求出的最大值以及最小值，即可求得答案．【解答】解：由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，由于球与正四面体的每一条棱都相切，故球为正方体的内切球，球的直径为正方体的棱长，则半径；设为的中点，则，则，由于点在正四面体面的外部（含正四面体面表面）运动，故点位于的中点处时，最大，即为正方体内切球直径，此时取到最大值；在正四面体中，设为中点，连接，，则，，，，平面，则平面，而平面，故平面平面，则球的球心在平面内，则的内切圆即为球的一个小圆，设该圆与的交点为，则点和都位于球的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短，即点位于点时，最小；设内切圆圆心为，则内切圆半径为，，则，中，，，故，在中，则，即的最小值为，故的最小值为，故的取值范围为，故答案为：．【点评】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球转化为正方体的内切球问题，结合多面体和球的切接问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．23．（2024•拉萨一模）已知，，空间向量．若，则1．【答案】1．【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【专题】平面向量及应用；数学运算；转化思想；计算题；逻辑推理；综合法【分析】根据，从而可求出，即可求解．【解答】解：因为，所以，即，得．故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：共线向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．四．解答题（共2小题）24．（2024•安徽模拟）一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量．（1）求证：在上的投影向量为；（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量”，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：岗位能力需求向量会计，2，技工，2，推销员，2，售后维修员，1，（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位．（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（2）小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；证明过程见解答．【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底【专题】数学运算；综合法；转化思想；空间向量及应用【分析】（Ⅰ）由已知得取最小值时，为在上的投影向量，由定义得，根据二次函数最小值即可求得，进而证明；（Ⅱ）分别求得小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求量”上的投影向量的模，根据定义即可求解；设岗位的“能力需求向量”为，，，小红的测评结果为，，，列出方程组，分析方程组解的情况即可证明．【解答】解：（Ⅰ）证明：取最小值时，为在上的投影向量，，是关于的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质，当且仅当时，取最小值，在上的投影向量为．（2）设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为，，，，则，，，，小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；证明：由题意，设岗位的“能力需求向量”为，，，小红的测评结果为，，，则，则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于，，的三元一次方程组有唯一解，记，，，则，设，，，则方程组变形为，②①得，则方程组化简为，消去，化简得⑥，若，则此时关于的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符，，又方程有且仅有一解，，即，若，由向量的共线定理得，使得，则，与假设矛盾，不成立，故与不共线，同理可知与不共线，，，可以作为空间中的一组基底，即会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．【点评】本题考查向量基本定理及空间向量的基底、投影向量、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．25．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为线段，上的动点．（1）若为线段的中点，证明：平面平面；（2）若，且平面与平面所成角的余弦值为，试确定点的位置．【答案】（1）证明见解答；（2）为的三等分点处．【考点】平面与平面垂直；空间向量运算的坐标表示【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解【分析】（1）可证平面，从而，，平面，进而可证平面平面；（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，求平面与平面的法向量，利用向量法求的值，可知定点的位置．【解答】（1）证明：由底面，可得，又在正方形中，，且，则平面，有，由，为线段的中点，可得，又，则平面，从而平面平面；（2）解：以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，由（1）可知，0，为平面的法向量，由，可知，设，，则，1，，，0，，可得，，，，0，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，则，，平面的一个法向量为，1，，，，解得或，即为的三等分点处．【点评】本题考查面面垂直的证明，以及利用面面角确定点的位置，属中档题．

考点卡片1．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．【解题方法点拨】例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．2．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：．3．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．4．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）5．空间两点间的距离公式【知识点的认识】空间两点间的距离公式：已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则两点的距离为，特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．6．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：（2）结合律：．3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量．1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，与的方向相同；②当λ＜0时，与的方向相反；③当λ＝0时，＝．④|λ|＝|λ|•||的长度是的长度的|λ|倍．2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．7．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．（2）共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．解答：由共面向量定理，说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．8．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：＝λ（）＝•（）（2）分配律：．4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝﹣7分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），∴＝（1，﹣3，1），∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．9．空间向量基本定理及空间向量的基底【知识点的认识】空间向量基本定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．【命题方向】﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．10．空间向量单位正交基底及其表示空间向量【知识点的认识】1．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．2．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．【解题方法点拨】1．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．2．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．【命题方向】﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量．11．空间向量运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量，，则（1）（2）（3）（4）．2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）3．空间向量平行的条件：（1）⇔，λ∈R（2）若x2y2z2≠0，则⇔4．空间向量垂直的条件：⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．坐标运算解决向量的平行与垂直问题：用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥⇔（λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．（2）⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0坐标运算解决夹角与距离问题：在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．【命题方向】（1）考查空间向量的坐标表示例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．∴D（﹣2，9，1）．故答案为（﹣2，9，1）．点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．（2）考查空间向量的坐标运算例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+）•＝．分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）又由＝（0，5，1），则（+）•＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9故答案为9点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．（3）考查空间向量平行或垂直的条件例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2D．2，2．分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．解答：因为，，∥，所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；故选A．点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．12．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的认识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．共面向量定理若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．（2