寒假讲义高二数学一元导数及其应用含解析

寒假讲义一元导数及其应用解析版5.1导数的概念及其几何意义课程标准课标解读初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义.会求函数的平均变率与瞬时变化率.并能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率，要求会求简单函数的导函数，理解导数几何意义，会求某点处的切线方程.知识点1函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq\f(Δy,Δx)的值为()A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29【解析】∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－0.11,0.1)＝－1.1.故选B【即学即练2】某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为()A．2B．3C．－2D．－3【解析】eq\x\to(v)＝eq\f(1－22－1－12,2－1)＝－3.故选D【即学即练3】函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.【解析】因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以eq\f(ft－f－2,t－－2)＝eq\f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．知识点2瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq\x\to(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0.（2）瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．【即学即练4】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝18m/s，则下列说法中正确的是()A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度【解析】由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.【即学即练5】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物体在t＝1s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.【解析】（1）∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(3＋Δt)＝3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.（2）求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(1＋Δt)＝1.即物体的初速度为1m/s.（3）设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.【即学即练6】一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．【解析】质点M在t＝2s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.知识点3函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).【即学即练7】【多选】若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则eq\o(lim,\s\do6(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)的值()A．与x0有关 B．与h有关C．与x0无关 D．与h无关【解析】由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.【即学即练8】求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．【解析】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.从而y′|x＝1＝2.【即学即练9】f(x)＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1【解析】eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.故选B【即学即练10】已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2【解析】因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.故选D【即学即练11】若函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)等于()A．－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C．－eq\f(1,2)f′(1) D．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))【解析】eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1)．故选C【即学即练12】设在处可导，则（）．A． B．C． D．【解析】∵在处可导，∴，故选：C.知识点4割线斜率与切线斜率及导数的几何意义1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k.注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．4．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【即学即练13】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为eq\r(3)，则下面叙述正确的是()A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,6)B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\r(3)D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\f(\r(3),3)【解析】函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)，故选B.【即学即练14】过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．【解析】割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.【即学即练15】求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．【解析】由eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋3－2,Δx)＝Δx，可得切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))Δx＝0.所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.【即学即练16】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．【解析】f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，所以切线的斜率k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(3Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(3＋Δx)＝3.则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.【即学即练17】曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是满足条件的点．(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是满足条件的点．【即学即练18】若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1由题意可知k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1.故选A知识点5函数的单调性与导数的关系若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．【即学即练19】已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定【解析】由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．故选B【即学即练20】已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．（1）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．【解析】f′（1）＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；又f（1）＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故答案为：（2）（3）知识点6导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数【即学即练21】求函数y＝eq\r(x＋1)(x>－1)的导函数．【解析】令f(x)＝eq\r(x＋1)，则f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq\f(1,2\r(x＋1)).【即学即练22】已知函数f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).考点一函数的平均变化率解题方略：求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).【例1-1】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A．-1 B．1 C．-2 D．2【解析】易知，，因此，故选A【例1-2】函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．，的大小无法确定【解析】，，故.故选：A.变式1：汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（）A． B．C． D．【解析】设直线的斜率分别为，则，，，由题中图象知，即.故选:B变式2：某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（）A．公司亏损且亏损幅度变大B．公司的盈利增加，增加的幅度变大C．公司亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利增加，增加的幅度变小【答案】D【解析】由（）恒成立，可知单增，即盈利增加，又平均变化率说明盈利增加的幅度变小，故选:D．【例1-3】一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：（1）前3s内球的平均速度为________m/s；（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.【答案】812【解析】第一空：由题设知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，即平均速度为v＝＝＝8(m/s).第二空：由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，即平均速度为v＝＝12(m/s).故答案为：8；12.考点二瞬时变化率理解解题方略：求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))

eq\f(Δs,Δt).【例2-1】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（）A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/sC．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s【解析】对于A：，即物体在时的瞬时速度为3m/s，A错误．对于B：，即物体在时的瞬时速度为1m/s，B正确．对于C：设物体在时刻的瞬时速度为9m/s，又，所以，物体在时的瞬时速度为9m/s，C正确．对于D：，D错误．故选：BC变式1：某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4s时物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度．【解析】自运动开始到ts时，物体运动的平均速度eq\x\to(v)(t)＝eq\f(st,t)＝3t＋2＋eq\f(4,t)，故前4s物体的平均速度为eq\x\to(v)(4)＝3×4＋2＋eq\f(4,4)＝15(m/s)．由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.eq\f(Δs,Δt)＝2＋6t＋3·Δt，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝2＋6t，当t＝4时，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝2＋6×4＝26，所以4s时物体的瞬时速度为26m/s.变式2：一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．【解析】当0≤t<3时，s(t)＝3t2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),Δt)＝eq\f(31＋Δt2－3,Δt)＝6＋3Δt，∴s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(6＋3Δt)＝6.当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),Δt)＝eq\f(15＋34＋Δt－12－[15＋3×\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4－12)),Δt)＝18＋3Δt，∴s′(4)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分．【例2-2】已知函数在处的瞬时变化率为，则______．【解析】由题知，，得，∴．故答案为：9考点三导数定义的直接应用解题方略：用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).【例3-1】设在处可导，下列式子中与相等的是（）A． B．C． D．【解析】对于A，，A满足；对于B，，B不满足；对于C，，C满足；对于D，，D不满足.故选：AC变式1：已知函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(1)＝________.【解析】f′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).变式2：已知函数f(x)可导，且满足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为()A．－1B．－2C．1D．2【解析】由题意，知f′(3)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝－2.故选B变式3：设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，则f′(x0)＝________.【解析】∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·－3))＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－eq\f(1,3)a.变式4：若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于()A．－2B．2C．－1D．1【解析】∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1.故选C变式5：设函数的导函数为，若，则等于（）A．-2 B．-1 C．2 D．1【解析】根据题意，，又由，则.故选：D.变式6：设函数在点处附近有定义，且为常数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导函数的定义可得选项.【详解】解：因为为常数，所以，故选：C.【例3-2】设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.【解析】因为f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx＋3－a＋3,Δx)＝a.又因为f′(1)＝3，所以a＝3.考点四导数（导函数）的理解解题方略：不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．【例4-1】函数y＝(x－1)2的导数是()A．－2 B.(x－1)2C．2(x－1) D．2(1－x)【解析】y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx))2＋2x·Δx－2Δx,Δx)＝2x－2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)).选C.变式1：若eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的导函数f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于()A．2xB.eq\f(1,3)x3C．x2D．3x2【解析】由导数的定义可知，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2.故选C【例4-2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．【解析】由导数的定义，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b>0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.当且仅当a＝c＝eq\f(b,2)时等号成立．考点五利用导数几何意义求切线方程解题方略：求曲线过点的切线方程的方法：当点是切点时，切线方程为；2、当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过点的切线方程为；第三步：经点代入切线方程，求出的值；第四步：将的值代入可得过点的切线方程.注：求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标．（一）求曲线切线的斜率或倾斜角【例5-1】设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交【解析】因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.故选B变式1：设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.【解析】由，根据导数的定义，可得，所以，即曲线在处的切线的斜率为.故答案为：.变式2：曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（）A．1 B．－1C． D．－【解析】k＝＝＝－1.【例5-2】曲线f(x)＝eq\f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于()A．45°B．60°C．135°D．120°【解析】f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,x＋Δxx)＝－eq\f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.故选C变式1：已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．165°【解析】曲线y＝eq\f(1,2)x2－2在点P处的切线斜率为k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)1＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×12－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)Δx))＝1，所以在点P处的切线的倾斜角为45°，故选B.（二）求在曲线一点处的切线方程【例5-3】曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】利用导数定义求出在时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程即可.【详解】因为，当时，，所以，即切线的斜率，所以切线方程为，即．故答案为：变式1：求曲线在点处的切线方程．【答案】【分析】根据导数的几何意义，求出函数在点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率k，再由直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】解：∵，∴，∴曲线在点P处的切线方程为，即．（三）求过一点的切线方程【例5-4】已知曲线方程为,求:（1）点处的切线方程（2）过点且与曲线相切的直线方程.【解析】(1).又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,故所求切线的方程为,即.(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.又∵点在切线上,∴解得或.∴切点坐标为,.故所求切线方程为或,即或.变式1：已知函数f(x)＝x3，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．【解析】设切点为Q(x0，xeq\o\al(3,0))，得切线的斜率为k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝3xeq\o\al(2,0)，切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).因为切线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，所以2xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.（四）已知切线（斜率）求参数【例5-5】若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.【解析】k＝.故答案为：1.变式1：曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)【解析】上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为＝＝＝<1，即k<1.故选：C.变式2：若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝________.【答案】3【分析】先设出切点坐标，进而根据导数的定义求出切点坐标，最后代入曲线的方程解得答案.【详解】设切点坐标为(x0，1)，由题意k＝∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)，∴2－4＋m＝1，即m＝3.故答案为：3变式3：直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．【解析】设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1,Δx)＝3x2－2x，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,3)，当x0＝1时，f(x0)＝xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝1，又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．当x0＝－eq\f(1,3)时，f(x0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1＝eq\f(23,27).将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27)))代入直线y＝x＋a中，得a＝eq\f(32,27).变式4：已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．【解析】设点P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋a)．由导数的几何意义可得，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0＋Δx2＋a－2x\o\al(2,0)＋a,Δx)＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.（五）求切点坐标【例5-6】已知曲线f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.故选D变式1：已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．【解析】令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．变式2：【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（）A． B． C． D．【解析】设，则，令，即，解得，又，所以P点坐标为或．故选：BC．变式3：曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．【答案】或【分析】设切点，由题意可知切线斜率为，求函数在处的导数，列出方程即可得解.【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设，因为，当时，，所以，则点P的坐标为或．故答案为：或.变式4：已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．【解析】对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(gx0＋Δx－gx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1－x0＋Δx3－1－x\o\al(3,0),Δx)＝－3xeq\o\al(2,0).由题意得2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，解得x0＝0或－eq\f(2,3).变式5：已知曲线y1＝2－eq\f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为()A．－2 B．1C.eq\f(1,2) D．2【解析】由题意知，y1′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy1,Δx)＝eq\f(1,x2)，y2′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy2,Δx)＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2.由题意可知，eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.故选B（六）两曲线的公切线问题【例5-7】点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．【解析】设P(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(2,0)＋1，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)＋1,Δx)＝2x0，所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－xeq\o\al(2,0)，而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x\o\al(2,0)，,y＝－2x2－1，))得2x2＋2x0x＋2－xeq\o\al(2,0)＝0，则Δ＝4xeq\o\al(2,0)－8(2－xeq\o\al(2,0))＝0，解得x0＝±eq\f(2\r(3),3)，则y0＝eq\f(7,3)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(7,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(7,3))).考点六函数的单调性与导数的关系解题方略：导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．【例6-1】已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是()【解析】由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D变式1：已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是()A．f′(a)<f′(b)<f′(c)B．f′(b)<f′(c)<f′(a)C．f′(a)<f′(c)<f′(b)D．f′(c)<f′(a)<f′(b)【解析】如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c)．故选A.变式2：已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2)【解析】由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f′(1)<f′(2)，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴通过作切线与割线可得f′(1)<a<f′(2)，故选B.变式3：函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）A．B．C．D．【解析】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，，，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，.故选：B题组A基础过关练1、函数的导数是（

）A．0 B．1 C．不存在 D．不确定【答案】A【分析】根据导数的定义可得答案.【详解】常数函数的导数为零．故选：A．2、已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4B．4xC．4.2D．4.02【解析】eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fxB－fxA,xB－xA)＝eq\f(－1.58－－2,1.1－1)＝4.2.故选C3、在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.【解析】根据平均变化率的计算公式，可得，所以在附近取，则平均变化率的公式为，则要比较平均变化率的大小，只需比较的大小，下面逐项判定：①中，函数，则；②中，函数，则；③中，函数，则；④中，函数中,则，所以，平均变化率最大的是③．4、将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq\f(28π,3)，则m的值为________．【解析】体积的增加量ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)＝eq\f(4π,3)(m3－1)，所以eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq\f(28π,3)，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．5、设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，则f′(1)为()A．1B．－1C．2D．－2【解析】令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－Δx,Δx)＝f′(1)＝－1.故选B6、已知函数在处的导数为，则等于（）A． B． C． D．【解析】因为函数在处的导数为，所以，所以，故选：B.7、对于函数y＝f(x)＝eq\f(1,x2)，其导数值等于函数值的点是________．【解析】f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，从而y0＝eq\f(1,4).8、已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：（1）；（2）【解析】（1）由题意，，因为，所以.（2）由题意，，因为，所以.题组B能力提升练9、【多选】已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（）A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70【解析】该物体在时的平均速度是，A正确.，B正确.当时，，C错误.，D正确.故选：ABD10、下列说法正确的是（）．A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若不存在，则曲线在点处无切线D．若曲线在点处有切线，则不一定存在【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，故选项A说法错误；对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，故选：D．11、【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】求出曲线的导数，利用直线平行可得，即可求出坐标.【详解】设，则，令，即，解得，又，所以P点坐标为或．故选：BC．12、如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．【解析】函数的图象在点处的切线方程是，，，．故答案为：．13、如图，曲线在点P处的切线方程是，求及．【答案】3，【分析】根据导数几何意义以及图象得，，即得结果.【详解】曲线在点P处的切线方程是，可知，由图像可知．14、已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______.【答案】【分析】设切点，根据导数的几何意义以及导数的定义得，进而可以求出的值，进而得到结果.【详解】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为.故答案为：.15、求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋1.∴切线方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋1)·(x－x0)．∵切线过原点，∴xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0＝3xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋x0，即2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.题组C培优拔尖练16、若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．【解析】(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24m/s.(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.17、计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程.【答案】；.【分析】根据已知条件得出与的关系，利用解决曲线过点处的切线问题进行求解即可.【详解】因为点在抛物线上，所以，由导数的定义，知，由导数几何意义，知所以抛物线在点处的切线的斜率为，所以抛物线在的切线方程为，又在切线上，则即，于是，解得，此时切点为.斜率为，所以过点的切线方程为即.18、已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为eq\f(1,6)，则a＝________.【解析】∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝3x2，∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.令y＝0得切线与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，0))，由题设知三角形面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))|a3|＝eq\f(1,6)，得a＝±1.19、设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据导数的定义求出曲线在点处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.【详解】，所以，故在点处的切线的斜率为，切线方程为，即．令，得，令，得，所以，故选：B5.2导数的运算课程标准课标解读1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．3.理解函数的和、差、积、商的求导法则.4.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．5.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.6.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.知识点1基本初等函数的导数公式原函数导函数1（常数的导数为0）2f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1（熟记）3f(x)＝sinxf′(x)＝cosx4f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx5f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlna6f(x)＝exf′(x)＝ex7f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)8f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注：①对于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,lna)(lnx)′＝eq\f(1,lna·x).【即学即练1】【多选】下列选项正确的是()A．y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2xln2D．y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)【解析】对于A，y′＝0，故A错；对于B，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故B正确；显然C，D正确．故选BCD【即学即练2】求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.【解析】(1)y′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln

eq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3.(3)y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝eq\f(3,2)eq\r(x).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.【即学即练3】求下列函数的导数：(1)y＝2021；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.【解析】(1)因为y＝2021，所以y′＝(2021)′＝0.(2)因为y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝，所以y′＝.(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln4.(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).【即学即练4】已知函数的导数为，则等于（）A．0 B．1C．2 D．4【解析】因为，所以.故选：A【即学即练5】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（）A．4 B．－4 C．5 D．－5【解析】∵，，解得a＝4.故选：A.【即学即练6】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．【解析】∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝，∴＝2，解得x＝.∴切点的坐标为.故切线方程为y＋ln2＝2.即2x－y－1－ln2＝0.故答案为：2x－y－1－ln2＝0【即学即练7】已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.【解析】设切点为，由求导得，因直线与曲线相切，则，解得，则，而切点在直线上，即，于是得，因此，，当且仅当时取“=”，所以当时，取最大值1.故答案为：1知识点2导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，F(x)＝f(x)＋g(x)则eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝f′(x)＋g′(x)，注：函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．即：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)，eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(gx＋Δx[fx＋Δx－fx],Δx)＋eq\f(fx[gx＋Δx－gx],Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝g(x)·f′(x)＋f(x)·g′(x)．注：(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）注：【即学即练8】求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.(3)f(x)＝x2＋sinx；(4)g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2.(5)y＝x2＋xlnx；(6)y＝eq\f(lnx,x2)；(7)y＝eq\f(ex,x)；(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．【解析】(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cosx)′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.(3)∵f(x)＝x2＋sinx，∴f′(x)＝2x＋cosx.(4)∵g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2，∴g′(x)＝3x2－3x－6.(5)y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′＝2x＋(x)′lnx＋x(lnx)′＝2x＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2x＋lnx＋1.(6)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＝eq\f(lnx′·x2－lnxx2′,x4)＝eq\f(\f(1,x)·x2－2xlnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3).(7)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq\f(ex′x－exx′,x2)＝eq\f(ex·x－ex,x2).(8)方法一y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.【即学即练9】求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).【解析】(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.(2)因为y＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(3)y′＝eq\f(ex′x＋1－x＋1′ex,x＋12)＝eq\f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq\f(xex,x＋12).【即学即练10】求下列函数的导数：(1)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)f(x)＝(x2＋9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))；(4)f(x)＝eq\f(sinx,xn).【解析】(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx))′ex－cosx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).(3)f(x)＝x3＋6x－eq\f(27,x)，f′(x)＝3x2＋eq\f(27,x2)＋6.(4)f′(x)＝eq\f(sinx′xn－sinx·xn′,xn2)＝eq\f(xncosx－nxn－1sinx,x2n)＝eq\f(xcosx－nsinx,xn＋1).【即学即练11】已知函数，则等于（）A． B． C． D．【解析】由，得，所以，故选：D知识点3复合函数的导数（1）复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y