江苏省南通市新高考基地学校2025届高三上学期12月第一次大联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南通市新高考基地学校2025届高三上学期12月第一次大联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−3>0}，B={−2,−1,1,2,3}，则A∩B=A.{−2} B.{1,2} C.{−2,3} D.{−2,2,3}2.若1+z1−i=z1+i，则A.−12+12i B.13.已知向量a和b满足(a+b)⊥b，|A.1 B.2 C.3 4.某人通过手机APP记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间(单位：ℎ)如下表：锻炼时间小于0.5[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)不小于2天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是(

)A.30天锻炼时间的中位数不超过1.2ℎ B.30天锻炼时间的平均数不低于1.1ℎ

C.30天锻炼时间的极差不超过2.5ℎ D.30天锻炼时间的众数不低于1.5ℎ5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为(

)A.13 B.14 C.26.记函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的图象为曲线段C，直线y=m与C交于A，B两点，直线y=6m与C交于D，E两点.若|AB|=2|DE|A.12 B.14 C.187.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点A，B分别在C的左、右两支上，AB//OF(O为坐标原点)A.6+22 B.38.已知三次函数f(x)=2ax(x−b)2的定义域和值域都为[a,b]，则b=(

)A.−12 B.0 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA.A1C1//平面ABE B.AC1//平面BDE

C.BE⊥10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(x)是奇函数，且f(x)−g(x)=ax，(a>0且a≠1)则(

)A.f(x)+g(x)=a−x B.g(x)≤−1

C.g′(x)=f(x) 11.设曲线C:x4+4y2=4与x轴交于A、B两点，P是C上一点(PA.曲线C是轴对称图形 B.△PAB的面积小于2

C.曲线C围成的封闭图形面积小于π D.∠APB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知{an}是等比数列，若a4a5=3a13.若α和β都为锐角，cos(α+β)=22，cosαsin14.设m，n∈N∗，m≤10，n≤10，函数f(x)=emx−nx(e是自然对数的底数，e≈2.718).从有序实数对(m,n)中随机抽取一对，使得f(x)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c，若B=2C，b:c=4:(1)求cosB的值(2)若a=11，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60∘，PA=PD．

(1)证明：PC⊥AD;(2)若PA=AD=4，PB=27，求平面PAB与平面ABCD17.(本小题15分)已知数列{an}满足：{an+an+1}(1)证明：{an(2)设b是方程2x3+3x−2=0的根，数列{ban}的前18.(本小题17分)在坐标平面xOy中，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，经过点(2,0)的直线与C交于A，B两点，直线l平行于AB且与C切于点D.当直线AB与x(1)求C的方程;(2)若直线OD与AB交于点M，求M的横坐标;(3)求△ABD的面积的最小值．19.(本小题17分)已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域都为区间I，A，B，C是曲线W:y=f(x)，x∈I上任意不同的三点.若点A，B，C的横坐标依次成等差数列，且W在点B处的切线的斜率大于直线AC的斜率，则称f(x)在I上为“中值偏移”函数．(1)设f(x)=ae ①讨论f(x)的单调性; ②若f(x)是R上的“中值偏移”函数，求实数a的取值范围;(2)证明：g(x)=−x2+xlnx参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.48

13.214.32015.解：(1)b:c=4：5，正弦定理sinB:sinC=4:5

∴sin2C:sinC=4:5，2sinCcosC:sinC=4:5

sinC≠0，∴cosC=255，∴cosB=cos2C=216.解：(1)取AD中点为E，连接AC，PE，CE，

∵菱形ABCD中，∠ADC=60°，

∴△ACD为正三角形，

又E为AD中点，∴CE⊥AD，

∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD，

又PE、CE⊂平面PCE，PE∩CE=E，

故AD⊥平面PCE，又PC⊂平面PCE，故AD⊥PC；

(2)作PM⊥EC于M，连接MC，

由(1)知AD⊥平面PCE，又PM⊂平面PCE，故AD⊥PM，

又PM⊥EC，EC∩AD=E，EC、AD⊂平面ABCD，故PM⊥平面ABCD，

菱形ABCD中，∠ADC=60°，∴∠DCB=120°，

由(1)知∠DCE=30°，∴∠ECB=90°，即DC⊥CB，

由PA=AD=4，可得△PAD为等边三角形，PE=4×32=23，

同理可得CE=23，

设PM=x，则EM=PE2−PM2=12−x2，

BM2=CM2+CB2=(23−12−x2)2+42，

又PB=27，Rt△PMB中，PM2+MB2=PB2，

则x2+(23−12−x2)2+42=(27)2，

解得x=3，此时EM=12−x2=3=12CE，即M为17.(1)证明：由题意，n⩾2时，an+an+1−(an+an−1)=6，所以an+1−an−1=6，

an+an+1+an+2−(an−1+an+an+1)=9，所以an+2−an−1=9，

所以an+2−an+1=3，

又a1=1，a3=7，a2=4，

所以{18.解：(1)当直线AB与x轴垂直时，此时直线AB的方程为x=2，

代入抛物线C的方程得y2=4p，则y=±2p，

又OA⊥OB，所以2p=2，解得p=1，

所以C的方程为y2=2x；

(2)易知直线AB的斜率不为0，

设直线AB的方程为x=my+2，直线l的方程为x=my+t，

联立x=my+ty2=2x消去x可得，y2−2my−2t=0，

因为直线l与C切于点D，

所以Δ=(−2m)2+8t=0，解得t=−m22，

所以直线l的方程为x=my−m22，切点D的坐标为(m22,m)，

因为存在直线OD，所以m≠0，

直线OD的方程为y=2mx，

联立x=my+2y=2mx，解得xM=−2，

所以M的横坐标为−2；

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+219.(1)解： ①fx=aex−x，f′x=aex−1，

若a⩽0，则f′x<0，可知函数fx在R上单调递减；

若a>0，令f′x=aex−1=0，解得x=−lna，

当x>−lna时，f′x>0；当x<−lna时，f′x<0，

则函数fx在−∞,−lna上单调递减，在−lna,+∞上单调递增．

综上可得，

当a⩽0时，函数fx在R上单调递减；

当a>0时，函数fx在−∞,−lna上单调递减，在−lna,+∞上单调递增．

 ②不妨设点A、B、C的横坐标分别为x0−d、x0、x0+d，其中d>0，

则曲线y=fx在点B处的切线