七年级上册数学与角度有关的计算六大类型

与角度有关的计算-六大类型类型一单角平分线模型1．如图所示，∠AOC＝90°，∠COB＝22°，OD平分∠AOB，求∠COD的度数．2．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．（1）试说明∠AOF＝∠EOD；（2）求∠EOC+∠AOF的度数．3．如图，O是直线AB上一点，OC、OD是从点O引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC：∠AOE：∠AOD＝2：4：7，求∠BOD的度数．4．如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）①当∠AOC＝55°时，∠DOE的度数为；②当∠AOC＝72°时，∠DOE的度数为．（2）通过（1）的计算，请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．5．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．6．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝；（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；（3）比较（1）（2），你有什么发现？．7．有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．（1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；（2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；（3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数．8．如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝°．∠NOB＝°；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．类型二双角平分线模型（不交叉）1．已知：如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB．（1）若∠AOB＝110°，求∠DOE的度数；（2）若∠DOB＝80°，∠DOE＝60°，求∠DOA的度数．2．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC（1）若∠BOC＝62°，求∠DOC的度数；（2）求∠EOC+∠DOC的度数3．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠BOD＝90°，∠AOD＝30°，求∠COE的度数；（2）如果∠BOE﹣∠COD＝20°，∠BOC＝4∠AOC，那么∠AOC的度数是多少？4．如图，点O是直线AB上一点，OM，ON在直线AB的异侧，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分∠AON．（1）若∠BOM＝150°，求∠BOE和∠NOF的度数；（2）设∠AOF＝θ，用含θ的式子表示∠MOE．类型三双角平分线模型（交叉）1．如图，已知∠AOC＝120°，∠BOC＝40°，OM，ON分别平分∠AOC与∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，且α＞2β，求∠MOB的度数．2．如图，∠AOB＝90°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．（1）当∠BOC＝30°时，求∠DOE的度数；（2）其他条件不变，当∠BOC＝50°时，∠DOE的度数是否发生改变？若改变，请求出它的度数；不改变，请说明理由．（3）由（1）（2）可猜测，当∠BOC为任意锐角α时，∠DOE的度数是（直接写出结果）4．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）如图3，∠AOC＝36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．5．如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．（1）求∠MON的度数？（2）若∠AOC＝40°，其他条件不变，∠MON＝；若∠AOB＝100°，其他条件不变，∠MON＝；如果∠AOB＝α，∠AOC＝β（α＞β）其他条件不变，那么∠MON＝．6．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系．类型四整体思想求角度1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝°；（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．2．已知，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），∠COD＝β（0°＜β＜180°）．（1）如图1，当α＝β时，作OE平分∠BOC，与∠AOE相等的角是：；（2）如图2，当α+β＝180°时，作OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．求∠EOF的度数；（3）如图3，作OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．若∠EOF＝45°，直接写出α与β满足的数量关系．3．如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝100°，求∠MON的度数．（2）若∠AOB＝ɑ，直接写出∠MON的度数＝（结果用含α的代数式表示）．（3）若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB＝α，求∠MON的度数（结果用含α的代数式表示）．4．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数？（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠5．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD＝50°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝°；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α（0°＜α＜60°），则∠MON＝°．6．将一副三角板如图1摆放．∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）∠MON＝；（2）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，求∠MON；（3）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，求∠MON．类型五方程思想求角度1．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至点F．（1）∠AOE和∠AOF．（填“互余”“相等”或“互补”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至点G，若∠COG与∠FOG的度数之比为2：5，求∠AOD的度数．2．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠BOD＝30°，则∠COE＝；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE＝（用含α的式子表示）；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足13（∠AOC﹣∠AOF）＝2∠AOF+∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE3．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）如图1，若∠AOM：∠DON＝2：3，求∠NOC的度数；（2）将∠BOC顺时针旋转至图2的位置，求∠MON的度数．4．如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线．（1）如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数；（2）如图1，求∠EOF的度数；（3）若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由．5．已知∠AOB＝90°，过点O作射线OC，射线OD平分∠AOC．（1）如图1，射线OC在∠AOB的外部（90°＜∠AOC＜180°），①若∠BOC＝30°，求∠BOD的度数．②若∠BOC﹣∠BOD＝15°，求∠BOC的度数．（2）如图2，射线OC在∠AOB的内部（0°＜∠AOC＜60°），若存在射线ON（0°＜∠BON＜30°），使得∠AON﹣∠BON＝∠DON，试求出∠AOD与∠CON之间的等量关系．6．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为3：7，求∠AOD的度数．7．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．类型六分类讨论思想求角度1．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB．（1）求∠AOC的度数；（2）引射线OM，∠AOM＝30°，求∠MOC的度数；（3）在（2）的基础上引射线OE和OF，OE平分∠AOM，OF平分∠BOM，求∠EOF的度数．2．如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝40°，其它条件不变，求∠MON的值．（用含α式子表示）3．如图，∠AOD＝138°，∠DON＝52°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝20°，直接写出∠COM的度数．4．点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°．（1）如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为50°；（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数．5．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．（1）如图1，当OA，OC重合时，∠EOF＝度；（2）若将∠COD从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，满足0°＜α＜90°且α≠40°．①如图2，用等式表示∠BOF与∠COE之间的数量关系，并说明理由；②在∠COD旋转过程中，请用等式表示∠BOE与∠COF之间的数量关系，并直接写出答案．6．已知∠AOB和∠COD是直角．（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE=14∠BOC，∠DOF=34∠（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．

与角度有关的计算-六大类型（解析版）类型一单角平分线模型1．如图所示，∠AOC＝90°，∠COB＝22°，OD平分∠AOB，求∠COD的度数．【分析】先根据题意得出∠AOB的度数，再由OD平分∠AOB得出∠AOD的度数，根据∠COD＝∠AOC﹣∠AOD即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠COB＝22°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝112°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB＝∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣56°＝34°．2．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．（1）试说明∠AOF＝∠EOD；（2）求∠EOC+∠AOF的度数．【分析】（1）由∠AOE＝∠FOD，得到∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF，即可证明；（2）由角平分线定义，余角的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AOE＝∠FOD，∴∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF，∴∠AOF＝∠EOD；（2）解：∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠DOB，∵∠AOE＝90°，∴∠BOE＝90°，∴∠BOD+∠DOE＝∠EOF+∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠EOF，∴∠BOC＝∠EOF，∵∠EOC＝∠EOB+∠BOC，∴∠EOC＝∠EOB+∠EOF，∴∠EOC+∠AOF＝∠EOB+∠EOF+∠AOF，＝∠EOB+∠AOE＝90°+90°＝180°．3．如图，O是直线AB上一点，OC、OD是从点O引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC：∠AOE：∠AOD＝2：4：7，求∠BOD的度数．【分析】先利用角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE，从而结合已知可得∠BOC：∠AOE：∠COE＝1：2：2，然后利用平角定义可得∠BOC＝36°从而求出∠AOD＝126°，最后利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠BOC：∠AOE＝2：4＝1：2，∴∠BOC：∠AOE：∠COE＝1：2：2，∵∠BOC+∠AOE+∠COE＝180°，∴∠BOC∵∠BOC：∠AOD＝2：7，∴∠AOD=36°2×7∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣126°＝54°，∴∠BOD的度数为54°．4．如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）①当∠AOC＝55°时，∠DOE的度数为110°；②当∠AOC＝72°时，∠DOE的度数为114．（2）通过（1）的计算，请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①根据互余，可求出∠BOC，再根据角平分线，求出∠BOD，最后根据补角的意义求出∠DOE；②的方法同①；（2）由特殊到一般，利用等量代换得出结论．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝90°，∠AOC＝5°，∴∠BOC＝90°﹣5°＝35°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝35°，∴∠DOE＝180°﹣35°﹣35°＝110°；②∵∠AOB＝90°，∠AOC＝70°，∴∠BOC＝90°﹣72°＝18°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝18°，∴∠DOE＝180°﹣18°﹣18°＝144°；故答案为：110°，114°．（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC5．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数；（2）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数，再由∠COD减去∠COE就是∠DOE的度数．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∴∠COE＝150°×12（2））∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∴∠COE＝（180°﹣α）×12=90°∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°-12α）=6．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝20°；（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；（3）比较（1）（2），你有什么发现？∠BOE=12∠AOC【分析】（1）已知∠AOB＝90°，则∠AOC+∠BOD＝90°，根据∠AOC＝40°可求得∠DOB＝50°，再根据角平分线的定义求得∠DOE＝70°，则∠BOE可求；（2）首先根据已知求得∠AOD的度数，再求出∠BOD的度数，进一步求出∠BOE即可；（3）通过（1）（2）求出的∠BOE的结果可以发现：∠BOE=12∠【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝40°，∴∠DOB＝50°，∠AOD＝140°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD＝∴∠BOE＝∠DOE﹣∠DOB＝70°﹣50°＝20°．故答案为：20°；（2）∵∠AOC＝150°，∴∠AOD＝30°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD＝∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＝60°，∴∠BOE＝∠DOE+∠DOB＝15°+60°＝75°．（3）∠BOE=12∠故答案为：∠BOE=12∠7．有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．（1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；（2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；（3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝∠COE，进而推断出∠AOE＝∠DOE．（2）与（1）同理．（3）根据角的和差关系，由∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，得∠AOB﹣∠AOC＝26°．根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE=1【解答】解：（1）∠AOE＝∠DOE，理由如下：∵OE为∠BOC的角平分线，∴∠BOE＝∠COE．∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOE＝∠COD+∠COE．∴∠AOE＝∠DOE．（2）∠AOE＝∠DOE，理由如下：∵OE为∠BOC的角平分线，∴∠BOE＝∠COE．∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOE＝∠COD﹣∠COE．∴∠AOE＝∠DOE．（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，∴∠AOB﹣∠AOC＝26°．∵OE为∠BOC的角平分线，∴∠BOE=18．如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝50°．∠NOB＝40°；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案；（2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入计算即可得出答案；（3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°；故答案为：50，40；（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），∴β＝140°﹣180°+2α，∴β＝2α﹣40°；（3）不成立．∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB+∠MON＝∠BOM，∴β+140＝180°﹣2α，∴β+2α＝40°．类型二双角平分线模型（不交叉）1．已知：如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB．（1）若∠AOB＝110°，求∠DOE的度数；（2）若∠DOB＝80°，∠DOE＝60°，求∠DOA的度数．【分析】（1）利用角平分线定义，分别求出∠DOC和∠COE度数即可解决问题；（2）根据∠DOA＝∠DOC＝∠DOB﹣∠BOC，求出∠BOC度数可解，根据题意求出∠BOE，依据角平分线定义得到∠BOC度数，从而可求∠DOC度数，最后运用OD是角平分线这个已知，得到∠DOA度数；【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∴∠DOC=12∠AOC，∠COE=1∠DOE＝∠DOC+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=（2）∠BOE＝∠DOB﹣∠DOE＝80°﹣60°＝20°，∵OE平分∠COB，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×20°＝40°，∠DOA＝∠DOC＝∠DOB﹣∠BOC＝80°﹣40°＝40°．2．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC（1）若∠BOC＝62°，求∠DOC的度数；（2）求∠EOC+∠DOC的度数【分析】（1）利用角平分线定义，角的加减计算即可；（2）利用角平分线的定义求解即可．【解答】（1）解：∵A、O、B三点在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC＝180°，又∵∠BOC＝62°，∴∠AOC＝180°﹣62°＝118°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOC（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOC＝2∠DOC，∠BOC＝2∠EOC，又∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠DOC+2∠EOC＝180°，∴∠DOC+∠EOC＝90°．3．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠BOD＝90°，∠AOD＝30°，求∠COE的度数；（2）如果∠BOE﹣∠COD＝20°，∠BOC＝4∠AOC，那么∠AOC的度数是多少？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，可求∠DOC，∠DOE，即可求解；（2）由条件列出关于∠AOC的方程，即可求解．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，∴∠DOC=12∠AOD＝∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE=12∠BOD＝∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝60°；（2）设∠AOC＝x°，则∠COD＝x°，∵∠BOE﹣∠COD＝20°，∴∠BOE＝x°+20°，∴∠BOD＝2∠BOE＝2（x°+20°），∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2（x°+20°）+x°，∵∠BOC＝4∠AOC，∴2（x+20）+x＝4x，∴x＝40，∴∠AOC＝40°．4．如图，点O是直线AB上一点，OM，ON在直线AB的异侧，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分∠AON．（1）若∠BOM＝150°，求∠BOE和∠NOF的度数；（2）设∠AOF＝θ，用含θ的式子表示∠MOE．【分析】解：（1）由OE平分∠BOM，可以求出∠BOE的度数，根据平角求出∠AOM30°，由∠MON＝90°，求出∠AON＝90°﹣30°＝60°，再根据OF平分∠AON，即可求出∠NOF的度数．（2由OF平分∠AON，得到∠AON＝2θ，所以∠MOA＝90°﹣2θ，由平角得到∠BOM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，再根据OE平分∠MOB，即可求出∠MOE．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOM，∠BOM＝150°，∴∠BOE=1∵∠BOM＝150°，∴∠AOM＝180°﹣150°＝30°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣30°＝60°，∵OF平分∠AON，∴∠NOF=1（2）∵∠AOF＝θ，OF平分∠AON，∴∠AON＝2θ，∵∠MON＝90°，∴∠MOA＝90°﹣2θ，∴∠BOM＝180°﹣（90°﹣2θ）＝90°+2θ，∵OE平分∠MOB，∴∠MOE=12∠BOM＝类型三双角平分线模型（交叉）1．如图，已知∠AOC＝120°，∠BOC＝40°，OM，ON分别平分∠AOC与∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，且α＞2β，求∠MOB的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，得出∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，由∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（2）根据角平分线的定义，可得出∠MOC=12∠AOC，根据∠MOB＝∠MOC﹣∠BOC，从而得出∠【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOC＝120°，∠BOC＝40°，∴∠MOC=12∠AOC＝∠NOC=12∠BOC＝∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣20°＝40°；（2）∵OM平分∠AOC，∠AOC＝α，∴∠MOC=12∠AOC=∵∠BOC＝β，∴∠MOB＝∠MOC﹣∠BOC=12α﹣2．如图，∠AOB＝90°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．（1）当∠BOC＝30°时，求∠DOE的度数；（2）其他条件不变，当∠BOC＝50°时，∠DOE的度数是否发生改变？若改变，请求出它的度数；不改变，请说明理由．（3）由（1）（2）可猜测，当∠BOC为任意锐角α时，∠DOE的度数是45°（直接写出结果）【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义可以得到∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，然后根据∠DOE＝∠COD（3）根据角平分线的定义可以得到∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，然后根据∠DOE＝∠COD【解答】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°，又∵OD，OE平分∠AOC和∠BOC的角平分线，∴∠DOC=1∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝60°﹣15°＝45°；（2）不变．理由：∵∠BOC＝50°，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝50°+90°＝140°，又∵OD，OE平分∠AOC和∠BOC的角平分线，∴∠DOC=1∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝70°﹣25°＝45°；（3）45°．理由：∵∠BOC＝α，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+90°，又∵OD，OE平分∠AOC和∠BOC的角平分线，∴∠COD=1∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC=12故答案为：45°．4．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）如图3，∠AOC＝36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）由补角及直角的定义可求得∠BOD的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；（2）由角平分线的定义可得∠EOF=12∠（3）可分三总情况：①0＜t≤6时，6＜t≤36时，③36＜t≤60时，分别计算可求解．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=1∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12（∠BOC﹣∠BOD）=1∵∠COD＝90°，∴∠EOF＝45°；（3）①0≤t≤6时，由题意得∠AOC＝36°﹣6t°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°-12[180°﹣（36°﹣6°t＝18°﹣3t°，∴∠AOC＝2∠DOE；②6＜t≤36时，由题意得∠AOC＝6t°﹣36°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+12[180°﹣（6t°﹣36°＝198°﹣3t°，∴∠AOC+2∠DOE＝360°；③36＜t＜60时，∠DOE=90°-1=1即∠AOC＝2∠DOE；综上所述，∠AOC＝2∠DOE（0≤t≤6，36＜t＜60），∠AOC+2∠DOE＝360°（6＜t≤36）．5．如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．（1）求∠MON的度数？（2）若∠AOC＝40°，其他条件不变，∠MON＝45°；若∠AOB＝100°，其他条件不变，∠MON＝50°；如果∠AOB＝α，∠AOC＝β（α＞β）其他条件不变，那么∠MON＝12β【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可求解．（2）前两空理由同（1），第三空把∠AOB、∠AOC换成字母表示即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝150°．∵ON平分∠AOC，OM平分∠AOB，∴∠CON=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°．（2）若∠AOC＝40°，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝130°．∵ON平分∠AOC，OM平分∠AOB，∴∠CON=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝65°﹣20°＝45°．若∠AOB＝100°，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝160°．∵ON平分∠AOC，OM平分∠AOB，∴∠CON=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝80°﹣30°＝50°．若∠AOB＝α，∠AOC＝β，则∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝α+β，∵ON平分∠AOC，OM平分∠AOB，∴∠CON=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON=1故答案为：45°；50°；126．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系．【分析】（1）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解（1）∵∠AOB是直角，∴∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠COA＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA＝∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC＝∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°．（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠COA＝α+60°，∴∠COM=12∠COA=1∴∠MON＝∠COM﹣∠CON=12（α+60°）﹣30°=（3）①∠MON=12α；②β=32α或类型四整体思想求角度1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝60°；（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON＝∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；（3）设∠AOB＝x，表示出∠BOD＝160°﹣x，根据角平分线的定义表示出∠COM和∠BON，然后根据∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠AOB＝40°，∴∠BOD＝120°，∵ON平分∠BOD，∴∠BON=12∠BOD＝故答案为：60；（2）∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB，∴∠BON=12∠BOD，∠BOM=1∵∠AOD＝160°，∴∠MON＝∠BON+∠BOM=12∠BOD+12∠AOB=1（3）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°﹣x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM=12∠AOC=12（x+20°），∠BON=12∠BOD∴∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC=12（x+20°）+12（160°﹣x）﹣2．已知，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），∠COD＝β（0°＜β＜180°）．（1）如图1，当α＝β时，作OE平分∠BOC，与∠AOE相等的角是：∠DOE；（2）如图2，当α+β＝180°时，作OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．求∠EOF的度数；（3）如图3，作OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．若∠EOF＝45°，直接写出α与β满足的数量关系．【分析】（1）根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据角的和差得到∠AOE＝∠DOE；（2）根据角平分线的定义得到∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠BOF，根据角的和差即可得到结论；（3）根据角的和差得到∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝β+∠BOC，根据角平分线的定义得到∠AOE=12∠AOC=12α+12【解答】解：（1）与∠AOE相等的角是：∠DOE，理由：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠AOC＝∠BOE+∠BOD，即∠AOE＝∠DOE，故答案为：∠DOE；（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠BOF，∵α+β＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC+2∠BOC+∠BOD＝180°，∴2∠EOC+2∠BOC+2∠BOF＝180°，∴∠EOC+∠BOC+∠BOF＝90°，∴∠EOF＝90°；（3）∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝β+∠BOC，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB=12α+12∠∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE=12β+12∴α+β＝90°．3．如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝100°，求∠MON的度数．（2）若∠AOB＝ɑ，直接写出∠MON的度数＝∠MON=（3）若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB＝α，求∠MON的度数（结果用含α的代数式表示）．【分析】（1）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠（2）根据（1）的结论，即可解答；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM【解答】解：（1）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=12∠AOC，∠COM=1所以∠MON＝∠COM+∠CON=12∠BOC+12∠AOC=12（∠BOC（2）根据（1）的结论可得：∠MON故答案为：∠MON（3）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=12∠AOC，∠COM=1所以∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠BOC-12∠AOC=12（∠BOC﹣4．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数？（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠COF，然后求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义求得∠EOC，然后根据∠EOF＝∠COF+∠EOC求解；（2）根据角平分线的定义可以得到∠COF=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，然后根据∠EOF＝∠COF+∠EOC=12∠AOC+12∠（3）根据∠EOB=13∠COB，可以得到，∠EOC=23∠COB，则∠EOF＝∠EOC+∠COF=23∠BOC+【解答】解：（1）∵OF平分∠AOC，∴∠COF=12∠AOC=12∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣30°＝90°，OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC＝∴∠EOF＝∠COF+∠EOC＝60°；（2）∵OF平分∠AOC，∴∠COF=12∠同理，∠EOC=12∠∴∠EOF＝∠COF+∠EOC=12∠AOC+=12（∠AOC+∠=12=12（3）∵∠EOB=13∠∴∠EOC=23∠∴∠EOF＝∠EOC+∠COF=23∠COB+=23∠BOC+=23=235．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD＝50°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝85°；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α（0°＜α＜60°），则∠MON＝（60+12α【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．【解答】解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120°∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC＝20°，∠DON=12∠∴∠MON＝20°+40°+20°＝80°；（2）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=1∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠∵∠AOB＝120°，∠COD＝50°，∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣50°＝70°，∴∠MOC+∠DON＝35°，∴∠MON＝50°+35°＝85°；（3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=1∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠∵∠AOB＝120°，∠COD＝α，∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣α，∴∠MOC+∠DON＝60°-12∴∠MON＝60°-12α+α＝60°+故答案为：85；（60+126．将一副三角板如图1摆放．∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）∠MON＝52.5°；（2）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，求∠MON；（3）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，求∠MON．【分析】（1）根据∠AOB＝60°，OM平分∠AOB和∠COD＝45°，ON平分∠COB，分别求出∠MOB和∠BON的度数，再根据∠MON＝∠MOB+∠BON，即可得出答案；（2）先设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60﹣2x，根据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x﹣y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，即可求出答案；（3）先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60﹣x，根据∠BOD＝∠DOM﹣∠BOM，得出∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD+∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠MON＝∠BOM+∠BON，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠MOB＝30°，∵∠COD＝45°，ON平分∠COB，∴∠BON＝22.5°，∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝30°+22.5°＝52.5°．故答案为：52.5°．（2）设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60°﹣2x，∵∠COD＝45°，∴6°0﹣2x+2y＝45°，x﹣y＝7.5°，∴∠MON＝x+（60﹣2x）+y＝60°﹣（x﹣y）＝52.5°．（3）设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60°﹣x，∵∠BOD＝∠DOM﹣∠BOM，∴∠BOD＝x﹣（60°﹣x）＝2x﹣60°，∵∠COB＝∠BOD+∠DOC，∴∠COB＝（2x﹣60°）+45°＝2x﹣15°，∴∠CON＝∠BON=12（2x﹣15°）＝x﹣∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝60﹣°x+x﹣7.5°＝52.5°．类型五方程思想求角度1．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至点F．（1）∠AOE和∠AOF互补．（填“互余”“相等”或“互补”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至点G，若∠COG与∠FOG的度数之比为2：5，求∠AOD的度数．【分析】（1）根据补角的定义即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠DOE＝∠AOE，从而得出∠BOF＝90°﹣∠AOE，∠COF＝90°﹣∠DOE，即可解答；（3）根据已知可设∠COG＝2x，则∠FOG＝5x，从而求出∠BOF＝∠COF＝3x，然后利用平角定义求出x，进而求出∠DOG，最后利用平角定义求出∠AOD即可．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∴∠AOE和∠AOF互补，故答案为：互补；（2）是，理由：∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE，∵∠AOB＝∠DOC＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE，∠COF＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝90°﹣∠DOE，∴∠BOF＝∠COF，∴OF是∠BOC的平分线；（3）∵∠COG：∠FOG＝2：5，∴设∠COG＝2x，则∠FOG＝5x，∴∠COF＝∠FOG﹣∠COG＝3x，∴∠BOF＝∠COF＝3x，∵∠AOB+∠BOF+∠FOG＝180°，∴90°+3x+5x＝180°，解得：x＝11.25°，∴∠COG＝2×11.25°＝22.5°，∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠DOC﹣∠COG＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AOD＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠AOD的度数为112.5°．2．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠BOD＝30°，则∠COE＝30°；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE＝12α（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足13（∠AOC﹣∠AOF）＝2∠AOF+∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE【分析】（1）先根据∠COD是直角，∠BOD＝30°，求出∠BOC＝60°，再根据角平分线性质即可得出结论；（2）现根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的性质求出∠BOE，再根据∠COD＝90°得出结论；（3）设∠DOE＝x，∠AOF＝y，先根据平角的定义和角平分线的性质求出∠AOC＝2x，∠BOE＝90°﹣x，再根据已知等式得出结论．【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠BOD＝30°，∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝故答案为：30°；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝90°-又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°-12α）=故答案为：12α（3）5∠DOE﹣7∠AOF＝270°．理由：设∠DOE＝x，∠AOF＝y，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE），∴∠AOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）＝180°﹣180°+2∠DOE＝2∠DOE＝2x，∠BOE＝∠COE＝90°﹣∠DOE＝90°﹣x，∵13（∠AOC﹣∠AOF）＝2∠AOF+∠BOE∴13（2x﹣y）＝2y+90°﹣x∴5x﹣7y＝270°，即5∠DOE﹣7∠AOF＝270°．3．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）如图1，若∠AOM：∠DON＝2：3，求∠NOC的度数；（2）将∠BOC顺时针旋转至图2的位置，求∠MON的度数．【分析】（1）设∠AOM＝2x，则∠DON＝3x，根据角平分线的定义可得4x+6x＝180°，解方程可得答案；（2）设∠AOB＝m，则∠BOD＝130°+m，∠AOC＝50°﹣m，根据角平分线的定义与角的和差计算即可．【解答】解：（1）设∠AOM＝2x，则∠DON＝3x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠AOM＝4x，∠BOD＝2∠DON＝6x，∵∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC＝130°+50°＝180°，∴4x+6x＝180°，解得x＝18°，∴∠BOD＝6x＝108°，∠AOC＝4x＝72°，∠DON＝3x＝54°，∵∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝108°﹣50°＝58°，∴∠NOC＝∠DOC﹣∠DON＝58°﹣54°＝4°，答：∠NOC的度数是4°；（2）设∠AOB＝m，则∠BOD＝130°+m，∠AOC＝50°﹣m，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．∴∠AOM=12∠AOC=12（50°﹣m）＝25°-12m，∠BON=12∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝25°+12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝（65°+12m）﹣（25°+12答：∠MON的度数是40°．4．如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线．（1）如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数；（2）如图1，求∠EOF的度数；（3）若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由．【分析】（1）由OB是∠COD的平分线，则∠BOC＝∠BOD＝45°，由此得出∠AOC的度数，结合角平分线的定义可得出∠AOF的度数．（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝180°﹣x°，由角平分线的性质表示出∠COF和∠BOE，根据∠EOF＝∠FOC+∠BOC+∠BOE即可求出结果．（3）如图2，设∠AOC＝x°，则∠BOC＝180°﹣x°，由角平分线的性质表示出∠COF和∠BOE，根据∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF即可求出结果．如图3，设∠AOC＝x°，则∠AOD＝90°﹣x°，∠BOD＝90°+x°，由角平分线的性质表示出∠COF和∠BOE，根据∠EOF＝∠FOC+∠AOD+∠EOD即可求出结果．如图4，设∠AOC＝x°，则∠BOC＝180°﹣x°，由角平分线的性质表示出∠COF和∠BOE，根据∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF即可求出结果．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=12∠AOC＝（2）设∠AOC为x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC=12∠AOC=1∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣x°．∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝x°﹣90°．∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD=12（x°﹣90°）=1∴∠EOF＝∠FOC+∠BOC+∠BOE=12x°+（180°﹣x°）+（12x°﹣45°（3）如图2，设∠AOC为x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC=12∠AOC=1∵∠COD＝90°，∴BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝90°﹣x°．∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=12∠BOD=12（90°﹣x°）＝45°∴∠EOF＝∠FOC+∠COD+∠EOD=12x°+90°+（45°-12x如图3，设∠AOC为x°．∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣x°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝90°+x°．∵OF平分∠AOC，∴∠FOC=12∠AOC=1∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=12∠BOD=12（90°+x°）＝45°∴∠EOF＝∠FOC+∠AOD+∠EOD=12x°+90°﹣x°+（45°+12x如图4，∠EOF＝45°，理由如下：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝180﹣x°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝270°﹣x°，∵OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线，∴∠AOF=12∠AOC=12x°，∠BOE=12∠BOD=12（270°﹣∴∠EOF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOE＝180°-12x°﹣（135°-12x5．已知∠AOB＝90°，过点O作射线OC，射线OD平分∠AOC．（1）如图1，射线OC在∠AOB的外部（90°＜∠AOC＜180°），①若∠BOC＝30°，求∠BOD的度数．②若∠BOC﹣∠BOD＝15°，求∠BOC的度数．（2）如图2，射线OC在∠AOB的内部（0°＜∠AOC＜60°），若存在射线ON（0°＜∠BON＜30°），使得∠AON﹣∠BON＝∠DON，试求出∠AOD与∠CON之间的等量关系．【分析】（1）①由角的平分线可求解∠AOD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD可求解；②由角的平分线可得∠AOD＝∠COD，设∠DOB＝x°，根据∠BOC﹣∠DOB＝15°计算可求解x值，进而求解∠BOC的度数；（2）可分两种情况：若射线ON在∠AOB的外部，则∠AON﹣∠BON＝∠AOB＝90°；若射线ON在∠AOB的内部，利用角平分线的定义及角的和差可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°，答：∠BOD的度数为30°；②∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，设∠DOB＝x°，则∠AOD＝∠COD＝（90﹣x）°，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝（90﹣2x）°，∵∠BOC﹣∠DOB＝15°，∴90﹣2x﹣x＝15，解得x＝25，∴∠BOC＝90°﹣2×25°＝40°，答：∠BOC的度数为40°；（2）如图3，若射线ON在∠AOB的外部，则∠AON﹣∠BON＝∠AOB＝90°，∵∠AON﹣∠BON＝∠DON，∴∠DON＝∠AOB＝90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴∠AOD+∠CON＝90°；如图4，若射线ON在∠AOB的内部，∵∠AON﹣∠BON＝∠DON，∠AON﹣∠AOD＝∠DON，∴∠BON＝∠AOD，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴3∠AOD+∠CON＝90°．综上，∠AOD+∠CON＝90°或3∠AOD+∠CON＝90°．6．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC互补；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为3：7，求∠AOD的度数．【分析】（1）根据周角得出∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC，再代入求出答案即可；（2）根据角平分线的定义得出∠EOD＝∠EOA，根据邻补角互补得出∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，再求出答案即可；（3）设∠COG＝3x，∠FOG＝7x，求出∠FOC＝∠BOF＝4x，根据邻补角互补求出x，再求出答案即可．【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC互补，理由是：∵∠AOB＝∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠AOD和∠BOC互补，故答案为：互补；（2）OF是∠BOC的平分线，理由是：∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠EOA，∵∠AOB＝∠DOC＝90°∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，∴∠BOF＝∠COF，∴OF是∠BOC的平分线；（3）设∠COG＝3x，∠FOG＝7x，∴∠FOC＝∠BOF＝7x﹣3x＝4x，∵∠AOB+∠BOF+∠FOG＝180°，∴90°+4x+7x＝180°，解得：x＝（9011）°∴∠BOG＝4x+7x＝11x＝90°，∠FOC＝4x＝（36011）∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠DOC＝360°﹣90°﹣（36011）°﹣90°＝（162011）7．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC=13∠AOB=13∠BOC=23∠AOB=23（2）∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC=12∵∠CON：∠BON＝1：3，∴∠CON=14∠BOC=14∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；（3）如图，当OD在∠AOB内部时，设∠BOD＝x°，∵2∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD=32x∵∠AOB＝120°，∴x+32x＝解得：x＝48，∴∠BOD＝48°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，如图，当OD在∠AOB外部时，设∠BOD＝y°，∵2∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD=32y∵∠AOB＝120°，∴32y+y+120°＝解得：y＝96°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝96°+80°＝176°，综上所述，∠COD的度数为32°或176°．类型六分类讨论思想求角度1．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB．（1）求∠AOC的度数；（2）引射线OM，∠AOM＝30°，求∠MOC的度数；（3）在（2）的基础上引射线OE和OF，OE平分∠AOM，OF平分∠BOM，求∠EOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；（2）分射线OM在∠AOC的内部和外部两种情况解答即可；（3）结合（2）的结论分情况讨论解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=12∠AOB＝（2）如图（1）所示，当线OM在∠AOC的内部时，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝45°﹣30°＝15°；如图（2）所示，当线OM在∠AOC的外部时，∠MOC＝∠AOC+∠AOM＝45°+30°＝75°；（3）如图（3）所示，∵OE平分∠AOM，OF平分∠BOM，∴∠MOE=12∠∴∠EOF＝∠MOE+∠MOF＝15°+30°＝45°；如图（4）所示，∵OE平分∠AOM，OF平分∠BOM，∴∠MOE=12∠∴∠MOF﹣∠MOE＝60°﹣15°＝45°．2．如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝40°，其它条件不变，求∠MON的值．（用含α式子表示）【分析】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；【解答】解：（1）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+60°＝170°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA=12∠AOC＝∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝110°﹣85°＝25°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝30°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+30°＝55°；（2）当OM、ON在直线OC同侧时，∵∠AOB＝α，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+40°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA=12∠AOC=1∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α-12（α+40°）=12∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝20°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON=12α﹣20°+20°=当OM、ON在直线OC异侧时，∠AOC+∠BOC＝360°﹣α，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=1∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12（∠AOC+∠BOC）=12（360°﹣α）＝综上，∠MON=12α或180°-3．如图，∠AOD＝138°，∠DON＝52°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝20°，直接写出∠COM的度数．【分析】（1）欲求∠MON，需求∠BON和∠BOM．由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠NOB=12∠DOB，∠BOM=1（2）由题意得射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部，故需分类讨论．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠NOB=12∠DOB，∠BOM=1∴∠NOB+∠BOM=12∠DOB+12∠BOA=12∴∠MON=12∠又∵∠AOD＝138°，∴∠MON=12×138°（2）由题意得：射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部．①当射线OC可能在∠DON内部时，如图1．由（1）知：∠MON＝69°．∴∠COM＝∠CON+∠MON＝20°+69°＝89°；②当射线OC在∠NOB内部时，如图2．由（1）知：∠MON＝69°．∴∠COM＝∠MON﹣∠NOC＝69°﹣20°＝49°．综上：∠COM＝89°或49°．4．点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°．（1）如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为50°；（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据已知可得∠DOE＝65°，再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数，最后利用平角是180°进行计算即可解答；（2）利用平角是180°先求出∠AOC+∠BOD＝90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；（3）分两