专题02 整式与因式分解（练习）（15题型）

第02讲整式与因式分解目录TOC\o"1-2"\h\u题型过关练 2题型01列代数式 2题型02判断单项式系数、次数 2题型03判断多项式项、项数、次数 2题型04判断同类项 2题型05合并同类项 3题型06添（去）括号 3题型07整式的加减 3题型08幂的基本运算 4题型09幂的混合运算 4题型10整式的乘法 4题型11整式的除法 4题型12利用乘法公式计算 5题型13整式的化简求值 5题型14判断因式分解 6题型15选用合适的方法因式分解 7真题实战练 7重难创新练 10

题型过关练题型01列代数式1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（

）A．a+b元 B．3a+2b元 C．5a+b元 D．2a+3b2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（

）A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片a元下降到每片b元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则a与b满足的数量关系是（A．b=a1−10％−20C．a=b1+10％+20题型02判断单项式系数、次数1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．

3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3C．−23xy2的系数是2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（

）A．m2+m4 B．m24题型03判断多项式项、项数、次数1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．3x−2的项是3x，2 B．2xC．3x2y与−4yx2是同类项2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（

）A．4a+2的次数是1 B．4a+2表示a的4倍与2的和C．4a+2是多项式 D．4a+2可因式分解为4(a+1)3．（2023·广东茂名·一模）多项式2x3+3题型04判断同类项1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（

）A．5和3a B．2a2b和−ab2 C．3ab32．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab2是同类项的是（A．3a2b B．4ab2 题型05合并同类项1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是(

)A．3ab+2ab=5ab B．5C．7a+a=7a2 2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a2⋅a+（

）=3A．a B．a2 C．a3 题型06添（去）括号1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：(y2−A．y2−xC．y2−x2．（2023·浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（

A．−a−b+c B．−a+b−c C．−a−b−c D．−a+b+c3．（2023·河北张家口·三模）与−1−12结果相同的是（A．+−1+12 B．+−1−124．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如a−b−c−x−y−z=a−b−c+x+y+z，a−b−A．8种 B．16种 C．24种 D．32种题型07整式的加减1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2a+b的结果为（

A．−2b B．−3b C．b D．4a+b2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“−(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式为（A．x+2 B．−x2−1+3x C．3x−3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3题型08幂的基本运算1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（

）A．a2⋅aC．(ab)2=ab2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中1GB=210MB,1MB=210A．230B B．830B C．3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算2a43A．2a12 B．8a12 C．4．（2023·吉林松原·校联考三模）66是63的（A．2倍 B．36倍 C．3倍 D．216倍5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算：a−b3⋅题型09幂的混合运算1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a2⋅A．a8 B．－a8 C．a72．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．题型10整式的乘法1．（2022·天津·模拟预测）计算：12x2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab2=−3，则3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果x+mx−5=x2−3x+k，那么kA．k=10，m=2 B．k=10，m=−2C．k=−10，m=2 D．k=−10，m=−2题型11整式的除法1．（2023·天津·模拟预测）计算：12x22．（2023·陕西西安·模拟预测）计算：（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算abA．a2b2 B．a2b34（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算12x3−18A．−2x2+3x B．−2x2−3x题型12利用乘法公式计算1．（2023·湖北荆门·一模）将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.522．（2023·天津河北·三模）计算(19+1)(193．（2023·陕西西安·校考二模）化简：2x+14.（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x﹣3）（2x＋3）﹣（2x﹣1）2题型13整式的化简求值1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2A．0 B．－10 C．3 D．102．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x2−y2=69，3．（2023·陕西·模拟预测）已知m2+n24．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果x−4+y+62=0，那么5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x2−2xy，B=y2+3xy，当（2023·湖南岳阳·一模）已知x2+2x−2=0，求代数式7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+18．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项A=3x2−x+1(1)当x=−1(2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=3题型14判断因式分解1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（

）A．x2x+1=2xC．x+1x−1=x2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是()A．x2－yC．x2+xy＝x(x+y) 3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6x2y=2x⋅3xy，乙：xA．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解题型15选用合适的方法因式分解1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：xy22．（2023·广东清远·二模）因式分解：a2+4a+4=3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式：(1)3(2)a+b−2a（2022·山东淄博·一模）分解因式：2x真题实战练1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（

）A．3 B．a C．ba D．2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（

A．a3+a6 B．a3⋅3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（

）A．a2b32C．(−a)3⋅a=a5．（2023·新疆·中考真题）计算4a⋅3a2b÷2abA．6a B．6ab C．6a2 6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（A．S1>S2 C．S1=S2 7．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(

)

A．6 B．7 C．8 D．98．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(

)A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）9．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是12．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，则k2−13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式mx2−16m14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2y16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当(2)比较S1与S重难创新练1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记PM=3a+b+c+d，QM=a−5，若2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；（2）若代数式a2−2ab−b2的值为零，则3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝−ba，x1x2材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝_；x1x2＝_．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nm(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求1s4．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将x2【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和ba>b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2则S==(2a+=b+2a例如：当a=1，b=3时，S根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3−S(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=

第02讲整式与因式分解答案解析题型过关练题型01列代数式1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（

）A．a+b元 B．3a+2b元 C．5a+b元 D．2a+3b【答案】D【提示】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．【详解】解：∵买2千克苹果需要2a元，买3千克香蕉需要3b元，∴买2千克苹果和3千克香蕉共需（2a＋3b）元．故选D．【点睛】此题考查列代数式，理解题意，明确数量关系是解决问题的关键．2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（

）A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a【答案】D【提示】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，根据意思代入即可．【详解】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a，故选：D．【点睛】本题考查列代数式的定义，实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换．3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片a元下降到每片b元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则a与b满足的数量关系是（A．b=a1−10％−20C．a=b1+10％+20【答案】B【提示】根据题意用含a的代数式表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，令第二次降价后的价格为b，进而可得答案．【详解】解：由题意知，第一次降价后的价格为a1−10％，第二次降价后的价格为∴b=a1−10故答案为：B．【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键在于表示降价后的价格．题型02判断单项式系数、次数1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．

3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3C．−23xy2的系数是【答案】C【提示】提示各选项中的单项式的系数或者次数，即可得出正确选项．【详解】A．π是数字，3πxy的系数是3π，不符题意；B．3πxy的次数是2，x，y指数都为1，不符题意；C．−23xD．−23x故选C．【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数是单项式所有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（

）A．m2+m4 B．m24【答案】C【提示】根据单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：A．＋m2B．m2C．m3D．mn6=故选C．【点睛】本题考查了单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．题型03判断多项式项、项数、次数1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．3x−2的项是3x，2 B．2xC．3x2y与−4yx2是同类项【答案】C【提示】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解．【详解】A.3x−2的项是3x，-2，故A错误；B.2xC.3x2yD.单项式−3πx2故选：C．【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质．2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（

）A．4a+2的次数是1 B．4a+2表示a的4倍与2的和C．4a+2是多项式 D．4a+2可因式分解为4(a+1)【答案】D【提示】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．【详解】解：A.4a+2的次数是1，故答案正确；B.4a+2表示a的4倍与2的和，故答案正确；C.4a+2是多项式，故答案正确；D.4a+2进行因式分解为：2(2a+故选D．【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键．3．（2023·广东茂名·一模）多项式2x3+3【答案】3【提示】由多项式知道二次项为3x【详解】解：多项式2x3+3故答案为：3．【点睛】本题考查多项式的项，单项式的系数，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键．题型04判断同类项1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（

）A．5和3a B．2a2b和−ab2 C．3ab3【答案】C【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．【详解】解：A．5和3a所含字母不同，不是同类项，选项不符合题意；B．2a2bC．3ab3和D．abc和a2故选：C．【点睛】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab2是同类项的是（A．3a2b B．4ab2 【答案】B【提示】同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可．【详解】解：A．3a2bB．4ab2与C．3a2bD．3ab与3ab故选：B．【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．题型05合并同类项1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是(

)A．3ab+2ab=5ab B．5C．7a+a=7a2 【答案】A【提示】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意；B、5yC、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意；D、m2故选：A．【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a2⋅a+（

）=3A．a B．a2 C．a3 【答案】C【提示】根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．【详解】解：∵3a3-2a2⋅a=3∴等式2a2⋅a+（a故选C．【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键．题型06添（去）括号1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：(y2−A．y2−xC．y2−x【答案】D【提示】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题．【详解】解：y=故选：D．【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键．2．（2023·浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（

）A．−a−b+c B．−a+b−c C．−a−b−c D．−a+b+c【答案】D【提示】根据去括号法则进行去括号即可求解．【详解】解：−[a−(b+c)]=−=−a+b+c，故选：D【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律．3．（2023·河北张家口·三模）与−1−12结果相同的是（A．+−1+12 B．+−1−12【答案】B【提示】分别将选项中的进行化简即可得到答案．【详解】解：A.+−1+B.+−1−C.−−1+D.−−1−故选：B．【点睛】本题考查去括号的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如a−b−c−x−y−z=a−b−c+x+y+z，a−b−A．8种 B．16种 C．24种 D．32种【答案】B【提示】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解．【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，

共有16种不同结果，故选：B．【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键．题型07整式的加减1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2a+b的结果为（

A．−2b B．−3b C．b D．4a+b【答案】B【提示】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案．【详解】解：2a−b−2=2a−b−2a−2b=−3b，故选：B．【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键．2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“−(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式为（A．x+2 B．−x2−1+3x C．3x−【答案】D【提示】根据整式的加减运算法则即可求解．【详解】解：设被覆盖的多项式为A，则A−(x∴A=3x+x∴覆盖的多项式为3x+x故选：D．【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键．3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3【答案】5【提示】先去括号，然后合并同类项即可．【详解】解：3=3=5a【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算．题型08幂的基本运算1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（

）A．a2⋅aC．(ab)2=ab【答案】A【提示】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．【详解】解：A、a2B、a3C、(ab)2D、a6故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中1GB=210MB,1MB=210A．230B B．830B C．【答案】A【提示】根据题意及幂的运算法则即可求解．【详解】依题意得1GB=210故选A．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算2a43A．2a12 B．8a12 C．【答案】B【提示】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．【详解】解：2a故答案为B．【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．4．（2023·吉林松原·校联考三模）66是63的（A．2倍 B．36倍 C．3倍 D．216倍【答案】D【提示】把问题转化为同底数幂的除法计算即可．【详解】∵66÷63=故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算：a−b3⋅【答案】a−b7/【提示】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．【详解】a−b故答案为：a−b【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．题型09幂的混合运算1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a2⋅A．a8 B．－a8 C．a7【答案】B【提示】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：-a2•（a2）3=-a2•a6=-a8．故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【提示】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n【详解】∵32m−4n依题意得：4x2=2∴4x∴x=故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．题型10整式的乘法1．（2022·天津·模拟预测）计算：12x【答案】−2【提示】根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解．【详解】解：12故答案为：−2【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab2=−3，则【答案】33【提示】利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知的代数式值代入即可【详解】原式=−=−又∵a∴原式=−=−=27+9−3=33【点睛】本题考查了整式的混合运算以及代数式的求值，掌握相关法则及概念是关键3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果x+mx−5=x2−3x+k，那么kA．k=10，m=2 B．k=10，m=−2C．k=−10，m=2 D．k=−10，m=−2【答案】C【提示】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出k、m的值即可．【详解】解：x+mx−5∴x2∴5−m=3,−5m=k，解得：m=2,k=−10；故选C．【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．题型11整式的除法1．（2023·天津·模拟预测）计算：12x2【答案】−2x【提示】运用单项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：原式=−2x，故答案为：−2x．【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．2．（2023·陕西西安·模拟预测）计算：（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．【答案】（1）2x8y12；（2）y﹣3x．【提示】（1）原式先计算乘方运算，再合并同类项；（2）原式先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式求出结果即可．【详解】解：（1）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2＝9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2＝y﹣3x．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn和积的乘方（ab）m＝ambm，多项式除以单项式的运算法则是解题关键．3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算abA．a2b2 B．a2b3【答案】C【提示】先计算积的乘方去括号，然后根据单项式除以单项式的计算法则求解即可．【详解】解：a==故选：C．【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．4（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算12x3−18A．−2x2+3x B．−2x2−3x【答案】D【提示】根据多项式除以单项式的运算法则计算．【详解】解：12x故选：D．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．题型12利用乘法公式计算1．（2023·湖北荆门·一模）将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【提示】根据完全平方公式进行计算，判断即可．【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．2．（2023·天津河北·三模）计算(19+1)(19【答案】18【提示】根据平方差公式即可求解．【详解】解：(19故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．3．（2023·陕西西安·校考二模）化简：2x+1【答案】−x【提示】利用乘法公式化简，再合并同类项即可．【详解】2x+1=4=4=−x．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解本题的关键．4．（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x﹣3）（2x＋3）﹣（2x﹣1）2【答案】4x﹣10【提示】用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．【详解】解：(2x−3)(2x+3)−=(4=4=4x−10．【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−题型13整式的化简求值1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2A．0 B．－10 C．3 D．10【答案】A【提示】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴m2故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．2．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x2−y2=69，【答案】23【提示】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．【详解】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，解得：x﹣y＝23．故答案为：23．【点睛】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．3．（2023·陕西·模拟预测）已知m2+n2【答案】4【提示】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得m,n的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解：∵m2∴m即m−32∴m=3,n=−1，∴m−n=3−−1故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果x−4+y+62=0，那么【答案】±14/14或−14/−【提示】根据算术平方根和平方的非负性，求出x、y的值，然后进行计算即可．【详解】解：∵x−4+又∵x−4≥0∴x−4=0∴x−4=0，y+6=0，∴x=4，y=−6，∴2x−y=2×4−−6∴2x−y的平方根为：±14故答案为：±14【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出x、y的值．5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x2−2xy，B=y2+3xy，当【答案】-43【提示】方法1：根据x，y的值，先求出A，B的值，再代入所求的代数式；方法2：先化简2A−B，然后再代入x，y的值．【详解】解：【方法1】当x=−2，y=−3时，A=xB=y2A−B=2×(−8)−27=−43．【方法2】当A=x2−2xy2A−B=2(=2=2当x=−2，y=−3时，2A−B=2×(−2)【关键点拨】求代数式的值时，为了避免重复、多次的有理数混合运算出现，一般先把整式运算做完，即完成合并同类项的工作后再代入求值．在上述方法中，虽然两种方法的步骤都很多，但是方法二要优于方法一，因为在方法二中先做了化简的工作，化简是针对字母进行运算，没有有理数运算中的符号问题，避免运算出错．所以，在求代数式的值时要养成先化简再求值的好习惯．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算的四则运算法则是解题的关键．6．（2023·湖南岳阳·一模）已知x2+2x−2=0，求代数式【答案】５【提示】先根据x2+2x−2=0，得出x2+2x=2，将【详解】解：∵x2∴x2∴x(x+2)+==2=2=2×2+1=5【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将x(x+2)+(x+1)2变形为7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1【答案】7【提示】先将等式两边同时除以x，并整理可得x+1【详解】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+1∴x+1∴x2+1x2=（x+1【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．8．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项A=3x2−x+1(1)当x=−1(2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．【答案】(1)5(2)小明说法对，理由见解析【提示】（1）把x=−1，代入A=3x（2）直接计算A−B的值，根据结果确定谁的说法正确．【详解】（1）解：把x=−1，代入A=3xA=3x故A的值为5；（2）解：小明说法对；A−B=3当5−k=0，即k=5时，A−B=−1，故小明说法对．【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式加减的无关型问题，解题得的关键是熟练掌握运算法则，正确化简即可．9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=3【答案】x2−4【提示】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式=3x=x2当x=3−1原式=(=3+1-2=-23【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．题型14判断因式分解1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（

）A．x2x+1=2xC．x+1x−1=x【答案】B【提示】根据因式分解的定义解答即可．【详解】解：A．x2x+1B．1−aC．x+1x−1D．a2故选：D．【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是()A．x2－yC．x2+xy＝x(x+y)【答案】D【提示】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【详解】A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故D选项错误；故选D．【点睛】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6x2y=2x⋅3xy，乙：xA．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解【答案】B【提示】利用因式分解的定义判定即可．【详解】解：甲：6x2y=2x⋅3xy乙：x2所以甲、乙均不是因式分解，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，理解定义是解题的关键．题型15选用合适的方法因式分解1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：xy2【答案】x【提示】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】x=x=x故答案为：xy+1【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．2．（2023·广东清远·二模）因式分解：a2+4a+4=【答案】(a+2)【提示】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：a2+4a+4=故答案为：(a+2)2【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式：(1)3(2)a+b−2a【答案】(1)3(x+3y)(x−3y)；(2)(a+b)【提示】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．【详解】（1）解：原式=3x=3(x+3y)(x−3y)；（2）解：原式=a+b=(a+b)(1−a)【点睛】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．4．（2022·山东淄博·一模）分解因式：2x【答案】2【提示】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可【详解】解：2=2=2故答案为：2x−3【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键真题实战练1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（

）A．3 B．a C．ba D．【答案】C【提示】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；B、a是单项式，故本选项不符合题意；C、baD、12故选：C．【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（

A．a3+a6 B．a3⋅【答案】B【提示】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A．a3B．a3C．a10D．a18故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数【答案】D【提示】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：左上角的数字为a−1，故选项A错误，不符合题意；左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；把方框中4个位置的数相加，即：a−1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（

）A．a2b32=a4【答案】A【提示】根据幂的运算法则，乘法公式处理．【详解】A.a2B.3ab−2ab=ab，原计算错误，本选项不合题意；C.(−a)3D.(a+b)2【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．5．（2023·新疆·中考真题）计算4a⋅3a2b÷2abA．6a B．6ab C．6a2 【答案】C【提示】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：4a⋅3=12=6a故选：C．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（A．S1>S2C．S1=S2【答案】C【提示】根据题意，由勾股定理可得a2+b2=c2，易得c【详解】解：如下图，∵a,b,c为直角三角形的三边，且c>a>b。∴a2∴c2∵S1S2∴S1故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出S1和S7．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(

)

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【提示】计算出长为3a+b，宽为2a+2b的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．【详解】解：长为3a+b，宽为2a+2b的大长方形的面积为：3a+b2a+2b需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．故选：C．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解3a+b2a+2b结果中ab8．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(

)A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【答案】A【提示】根据立方差公式即可求解．【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A．【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．9．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a【答案】−2【提示】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0【详解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=−3,a∴a2∴a==4+=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷【答案】16【提示】先将已知3m−n−4=0变形为3m−n=4，再将8m÷2【详解】解：∵3m−n−4=0∴3m−n=4∴8故答案为：16．【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是【答案】±2【提示】根据a±b2【详解】解：∵y2∴−m=±2，解得m=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：a±b212．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，则k2−【答案】−6【提示】把点1,3和−1,2代入y=kx+b，可得k+b=3k−b=−2【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，∴k+b=3−k+b=2，即k+b=3∴k2故答案为：−6【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式mx2−16m【答案】m【提示】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．【详解】解：m故答案为：mx+4【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a【答案】14【提示】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为2a+b2+22a+b【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，∴2a+b=3，∴4===14．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2y【答案】2xy，1【提示】根据a±b2=a【详解】解：原式=4=4=2xy．当x=122023原式=2×=1．【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当(2)比较S1与S【答案】(1)S1=a2+3a+2，(2)S1【提示】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲∴S1=S∴S1∴当a=2时，S1（2）S1∵S1=∴S∵a>1，∴S1∴S1【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．重难创新练1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记PM=3a+b+c+d，QM=a−5，若【答案】62009313【提示】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到c+d=a+b−8，进而PMQM=4a+b−8a−5，若【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，a−d=6，b−c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，则c+d=a+b∴PM∴PM若M最大，只需千位数字a取最大，即a=9，∴PM∵PM∴b=3，∴满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200