任意角三角函数的定义（2）课件高一上学期数学

任意角三角函数的定义（2）（一）问题引入复习回顾

设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则

思考：半径为1的圆称为“单位圆”.如何利用单位圆定义任意角的三角函数？（二）新知探究

问题1：如何借助单位圆定义任意角的三角函数？

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则r=1（二）新知探究

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则

问题2：任意角的三角函数值的符号与什么有关？其变化有什么规律？

sinαycosαxtanαx和y三角函数值的符号规律角α的终边在第一、二象限或者y轴正半轴上sinα>0当且仅当++y>0三角函数值的符号规律角α的终边在第一、二象限或者y轴正半轴上sinα>0角α的终边在第三、四象限或者y轴负半轴上sinα<0++－－y>0y<0三角函数值的符号规律角α的终边在第一、四象限或者x轴正半轴上cosα>0角α的终边在第二、三象限或者x轴负半轴上cosα<0++x>0－－x<0三角函数值的符号规律角α的终边在第一、三象限tanα>0角α的终边在第二、四象限tanα<0++－－异号异号同号同号三角函数值的符号规律（二）新知探究问题3：任意角的三角函数值如何用图形进行表示？思考1：若角α终边在第一象限，sinα和cosα的值用图形如何表示？OD＝x＝cosα.DP＝y＝sinα，（二）新知探究问题3：任意角的三角函数值如何用图形进行表示？

设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.思考1：若角α终边在第一象限，sinα和cosα的值用图形如何表示？任意角的三角函数线

过点A(1，0)作单位圆的切线，切线垂直于x轴，设该切线与角α的终边(或其反向延长线)相交于点T．思考2：此时，tanα的值和什么几何元素有关？如何表示？任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？sinα线段DPcosα线段ODtanα线段AT任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？sinα线段DPcosα线段ODtanα线段AT任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？sinα有向线段DPcosα有向线段ODtanα有向线段AT任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？sinα有向线段DPD为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零值．称DP为角α的正弦线.任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？O为起点，D为终点：当它指向x轴的正方向时，取正实数值x；当它指向x轴的负方向时，取负实数值x；当它的长度为0时，取零值．cosα有向线段OD称OD为角α的余弦线.任意角的三角函数线思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？A为起点，T为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值；当它指向y轴的负方向时，取负实数值；当它的长度为0时，取零值．tanα有向线段AT称AT为角α的正切线.任意角的三角函数线正弦线DP余弦线OD正切线AT三角函数线（三）例题讲解

解：观察图中各象限角的三角函数线可知

第一、二象限角的正弦线DP为正向，正弦值为正；第三、四象限角的正弦线DP为负向，正弦值为负.

第一、四象限角的余弦线OD为正向，余弦值为正；第二、三象限角的余弦线OD为负向，余弦值为负.

例1利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限角的三角函数值的符号．（三）例题讲解

解：观察图中各象限角的三角函数线可知

例1利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限角的三角函数值的符号．

第一、三象限角的正切线AT为正向，正切值为正；第二、四象限角的正切线AT为负向，正切值为负.代数几何（三）例题讲解

练习

判断下列各值的符号：

（1）

（2）

（3）

解：（1）因为

是第三象限角，所以

（2）因为

的角是第二象限角，所以（3）因为

的角是第三象限角，

所以

得（三）例题讲解

解：因为sinθ<0，

所以θ是第三或第四象限的角因为tanθ>0，

所以θ是第一或第三象限的角.因此满足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限的角.

例2设sinθ<0且tanθ>0，试确定θ是第几象限的角．或终边在y轴的负半轴上.（三）例题讲解例3已知

试借助单位圆比较下列实数的大小.

（1）在单位圆中，

借助三角函数线由两边之和大于第三边,可得（1）sinα+cosα与1；（2）α，sinα，tanα.

解：sinα+cosα>1.1（三）例题讲解例3已知

试借助单位圆比较下列实数的大小.

（2）思路1：借助长度之间的不等关系

解：

所以.

因为

，（1）sinα+cosα与1；（2）α，sinα，tanα.（三）例题讲