2612正弦定理课件-高一下学期数学北师大版

2.6.1.2正弦定理北师大版（2019）必修第二册第二章

平面向量及其应用学习目标理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用02了解正弦定理推导过程，掌握正弦定理.01能应用正弦定理解斜三角形03知识回顾

已知三条边求任意角（SSS）已知两边及其夹角求第三边（SAS、SSA）余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.问题：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？追问1：初中我们得到三角形中等边对等角的结论．实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系．是否可以先把边、角关系量化之后，再对问题进行定量探究？可以描述为：在三角形△ABC中，设

A的对边为

a，B的对边为

b，求

A，B，a，b之间的定量关系.在三角形△ABC中，设

A的对边为

a，B的对边为

b，求

A，B，a，b之间的定量关系.可以先从熟悉的特殊三角形的边、角关系分析入手，具体如何研究呢？（1）当△ABC为等边三角形时，成立，∵A＝B＝C，∴sinA＝sinB＝sinC，又a＝b＝c，∴成立.

（2）当△ABC为直角三角形时成立，如图，C＝90°，

c问题：当△ABC是一般的三角形时，上述等式

还成立吗？

ACabcBD锐角三角形钝角三角形DABCabc

问题：你能用其它方式证明关系式

成立吗？

向量法1ABCj

ABCj

jj问题：你能用其它方式证明关系式

成立吗？

当该三角形为锐角三角形时向量法2

问题：你能用其它方式证明关系式

成立吗？

当该三角形为钝角三角形时向量法2

抽象概括正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即

正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.例4某地出土一块古代玉佩如图，其一角已破损.现测得如下数据：BC＝2.57cm，CE＝3.57cm，BD＝4.38cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0.01cm)解：将

BD，CE分别延长相交于点

A如图，在△ABC中，BC＝2.57cm，

B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝15°，由正弦定理得(cm)，

因此，原玉佩另两边的长分别约为7.02cm，8.60cm.例5

求证：如图，以Rt△ABC斜边

AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为

R，则

证明：在Rt△ABC中，C＝90°，

所以

思考：对于钝角三角形、锐角三角形，

还成立吗？

由图可知：∠B＝∠B'，在Rt△AB'C中

，由右图同理可得：解：成立，理由如下：例6

台风中心位于某市正东方向

300km

处，正向西北方向移动，速度的大小为

40km/h

，距离台风中心

250km

范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？(精确到0.1h)解：如图，设台风中心从点

B向西北方向沿射线

BD移动，该市位于点

B正西方向

300km

处的点

A.假设经过t

h，台风中心到达点C.由正弦定理得在△ABC中，AB＝300km，AC＝250km，BC＝40tkm，B＝45°.

例6

台风中心位于某市正东方向

300km

处，正向西北方向移动，速度的大小为

40km/h

，距离台风中心

250km

范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？(精确到0.1h)

从而(km)，

∴(h).因此约2h

后将要遭受台风影响，持续约6.6h.思考：在△ABC中，已知

a，b，A求其他边和角，它的解有几种情况？拓展正弦定理的常见变