2024年新高考新题型第19题新定义压轴解答题数学试题及答案

新高考新题型第19题新定义压轴解答题全归纳

【目录】

考点一:集合新定义

考点二:函数与导数新定义

考点三:立体几何新定义

考点四:三角函数新定义

考点五:平面向量与解三角形新定义

考点六:数列新定义

考点七:圆锥曲线新定义

考点八:概率与统计新定义

考点九:高等数学背景下新定义

考:情I分1折

创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神

与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的

交汇与融合,很好地融入创新意识与创新应用.

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求同

学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

考点要求统计考情分析

集合新定义2018年北京卷第20题，14分【命题俐】

2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在

2023年北京卷第21题，15分

也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省

数列新定义2022年北京卷第21题，15分

十联考等。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定

2021年北京卷第21题，15分

义问题，压轴题,难度比较大.

1.代数型新定义问题的常见考查形式

（1）概念中的新定义；

（2）运算中的新定义；•••

(3)规则的新定义等.

2.解决“新定义”问题的方法

在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定

义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决

方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳,结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！

题目jJ(2018。北京)设九为正整数，集合A={a\a—(。，右，1，土店{0,1},A；=1,2,…，n},对于集合A

中的任意元素&=(0,x2,…，/”)和6=(%，…%)，记河(a，£)=/[(，1+%-山一如)+(，2+夕2—上2-例

I)4"…(xn+yn—\xn—yn\)].

(I)当「=3时，若a=(1,1,0),(=(0,1,1),求7W(a,a)和的值；

(II)当n=4时，设B是＞1的子集，且满足:对于3中的任意元素a,£,当必，6相同时，M(a,0)是奇数;当&,

0不同时，是偶数.求集合B中元素个数的最大值；

(III)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素a，B，M(a,0)=0,写出

一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.

题目口(2023•北京)数列{%},{bn}的项数均为m(nz>2),且®,bnE{1,2,…，m\,{a„},{60}的前n■项和

分别为An，并规定4=瓦=0.对于ke{0,1,2,…，m},定义以=max{i|B，W4,iG{0,1,2,…，m}

}，其中，maxW表示数集”中最大的数.

(I)若的=2,ci2=1,a3=3,b尸1,b2=3,几=3,求R,n，r2,r3的值；

(II)若a1>瓦,且2r产—+i+勺_气,j—1,2,…，—1,求r”；

(III)证明:存在0Wp<qWm,0Wr<sW7n,使得Ap+B=Aq+Br.

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题目①(2022•北京)已知Q：s，a2,…，a*为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的八e｛1,2,…，m｝,

在Q中存在3a计1，Q计2,…，。计式，>0)，使得氏+。计1+0^1^--^。计/=九，则称。为小一连续可表数列.

(I)判断Q:2,1,4是否为5—连续可表数列？是否为6—连续可表数列？说明理由；

(II)若Qg，电，…，出为8—连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(III)若,。2，…，为20—连续可表数列，且Q1+Q2+—卜耿<20，求证：k>7.

题目@(2021•北京)设P为实数.若无穷数列｛册｝满足如下三个性质，则称｛册｝为况P数列：

①Qi+p>0,且a2+p=0；

②a4n-l<Q4n(九=1，2,…)；

③^m+nC｛am+an+p,am+an+p+1｝(m=1,2,­••；n=1,2,•••)■

(I)如果数列｛斯｝的前四项为2,—2,—2,—1,那么｛飙｝是否可能为此数列？说明理由；

(II)若数列｛aj是火。数歹IJ,求as；

(HI)设数列｛册｝的前几项和为S0,是否存在%，数列｛4｝,使得S.'S。恒成立？如果存在，求出所有的p；如

果不存在，说明理由.

考点一:集合新定义

:题目[（2024•北京顺义•高三统考期末）给定正整数n>3,设集合人=｛电,a?,…,飙｝.若对任意i,/C｛1,2,

…,n｝,QZ+Q,,Q「Q,两数中至少有一个属于4,则称集合A具有性质P

（1）分别判断集合｛1,2,3｝与｛—1,0,1,2｝是否具有性质F；

（2）若集合A=｛l,a,b｝具有性质P,求Q+b的值；

（3）若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1eB求集合B.

题目可（2024.北京•高三北京四中校考期末）已知集合5=色1,02,…,Q/（TI>3）,集合

｛（劣,g）,ES,yES,力Wg｝,且满足，V与%£S（i,，=1,2,…,?i,iW/）,（而％）eT与（Q,,QJET恰有一个成

立.对于T定义电（0,6）=以及Ga）=£47@乌）,其中1=1,2,・；丸

[U,（仇。）t13=1,

例如，7（。2）=一式。2，。1）+d7（电,。3）++…+日丁（。2,。九）•

（1）若n=4,（电,电），（。3，。2）,（。2,。4）GT，求心（。2）的值及，丁（。4）的最大值；

⑵从必Q1）,…占3）中任意删去两个数，记剩下的数的和为河,求河的最小值（用"表示）；

（3）对于满足b（Q）v?i—l（i=l,2,…，九）的每一个集合T,集合S中是否都存在三个不同的元素e,/,g,使

得d乂ej）+d£/,g）+d?（g,e）=3恒成立？请说明理由.

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［题目叵（2024・北京・高三景山学校校考期末）设集合4“={1,2,3,…,2"}（nCN*,rz＞3）,如果对于A2n的每一

个含有m（m＞4）个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4九+1,称正整数m为集合A2„的一个“相关

数”.

⑴当九=3时，判断5和6是否为集合4的“相关数”，说明理由；

（2）若山为集合4”的“相关数”，证明：M一九一320；

（3）给定正整数外，求集合4”的“相关数”m的最小值.

题目目（2024・北京J01中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集,如果对于任意cCA,都有①-

1eA或c+1eA,则称A为自邻集.记集合A.={1,2…,n}（九＞2,neN）的所有子集中的自邻集的个数

为an.

（1）直接写出省的所有自邻集；

（2）若n为偶数且几＞6,求证：4,的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

（3）若＞4,求证：an42an--i_.

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考点二:函数与导数新定义

［题目①(2024・广东茂名・统考一模)若函数/(c)在［a向上有定义,且对于任意不同的如gC［a,b］,都有

|/(d)一/(旬|〈砸1—词，则称/㈤为［a,b］上的"类函数”.

(1)若/⑸=+，，判断〃力)是否为［1,2］上的“3类函数”；

(2)若/(c)=矶7-l)ex-Y-xlnx为［l,e］上的“2类函数”,求实数a的取值范围；

⑶若/(，)为［1,2］上的“2类函数”，且/⑴=/⑵，证明：V的,X2G［1,2］,1/(x0-/(s2)|<l.

题目(2024•山东二校联考阶段练习)定义函数力(c)=1—c+'—H----F(—(nEN*).

/OTb

⑴求曲线y=力(力)在c=-2处的切线斜率；

(2)若力(2)一2)ke"对任意①eR恒成立，求k的取值范围；

(3)讨论函数九(①)的零点个数，并判断力(，)是否有最小值.若力(2)有最小值m,证明：rn>l—ln2；若

力⑸没有最小值，说明理由.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

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［题目叵(2024・上海嘉定・统考一模)对于函数沙=/3),把/'(0称为函数9=/(0的一阶导，令/'(0=9(°),则

将9'(，)称为函数"=/(，)的二阶导，以此类推…得到九阶导.为了方便书写，我们将n阶导用［/㈤表

示.

(1)已知函数/(0ul+aln,—式,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

(2)现定义一个新的数列:在g=/㈤取a产/⑴作为数列的首项,并将［f(l+n)］„,n>l作为数列的第n+

1项.我们称该数列为y=f(x)的“九阶导数列”

①若函数g(x)=d(n>1)，数列｛册｝是？=g(x)的/阶导数列”，取T九为｛an｝的前n项积,求数列

［式］的通项公式.

IJ-n-1)

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列,

请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

H(2024・上海•高三上海市七宝中学校联考阶段练习)已知函数/(,)=,g(M=e~+c，其中e为自

然对数的底数，设函数F(c)=of⑸—g(c),

(1)若01=6,求函数“=_?(*)的单调区间，并写出函数y=F(a:)—ni有三个零点时实数小的取值范围；

(2)当0VaV1时，g、g分别为函数y=FQ)的极大值点和极小值点，且不等式F(X1)+tF(x2)>0对任

意aC(0,1)恒成立，求实数t的取值范围.

(3)对于函数夕=/(,),若实数g满足/(g)/(g+F)=。,其中F、。为非零实数，则物称为函数/(2)的"F

—0—笃志点”.

e*/Q

①已知函数/(力)=；八，且函数八⑼有且只有3个“1—1—笃志点”,求实数a的取值范围；

—；一,x<0

②定义在R上的函数/(c)满足:存在唯一实数m,对任意的实数①，使得/(馆+，)=/(小一2)恒成立或

/(m+,)=—/(馆—①)恒成立.对于有序实数对(F,。)，讨论函数/(2)“F—。—笃志点”个数的奇偶性，并

说明理由

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考点三:立体几何新定义

题目工（2024・安徽•校联考模拟预测）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果

坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条

数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°

坐标系”下向量的斜60°坐标：手了,分分别为“斜60°坐标系”下三条数轴Q轴、夕轴、z轴）正方向的单位向

量，若向量五=rc孑+yj+z1，则方与有序实数组相对应，称向量方的斜60°坐标为[‘,沙,2],记作4=

⑴若云=[1,2,3],1=[―1,1,2],求日+族的斜60°坐标;

（2）在平行六面体ABCD-ABCrD.中，AB=4D=2,44产3,/BAD=NB44尸/。44产60°,N为线段

DC的中点.如图，以AD,为基底建立“空间斜60°坐标系”.

①求前的斜60°坐标；

②若瓦面=[2,—2,0],求互法与前夹角的余弦值.

Qi。2。3

［题目②(2024.河南.高三校联考期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：瓦匕2匕3

C1。2C3

->->

13k

=Qib2c3+电匕3。1+。3ble2一。3匕2。1一。2ble3一。力3c2・若日义G=

X1UiZi,则称日x3为空间向量日与坂的叉乘,

为2V222

其中日=g孑+gj+z质比1,如为6R),i—Xil+y2j+z^X2,y2,z2&R),{1,1,补为单位正交基底.以O为

坐标原点、分别以77%的方向为，轴、?/轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角坐标

系中异于。的不同两点.

(1)①若人(1,2,1),口(0,-1,1),求加乂屈；

②证明：。1*历+无乂。1=6.

(2)记△AOB的面积为S^OB，证明：S&AOB=y|OAxOB\.

⑶证明：(己NxOB)2的几何意义表示以△AQB为底面、|瓦5xOB\为高的三棱锥体积的6倍.

［题目包(2024•上海普陀・高三校考期末)对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个

平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O-g/z中，球。的半径为1,记平面加。9、平面zOc、平面

gOz分别为a、B、了.

(1)若棱长为a的正方体、棱长为6的正四面体的内切球均为球。，求M的值；

0

(2)若球。在(J,))处有一切平面为4,求儿与a的交线方程，并写出它的一个法向量；

(3)如果在球面上任意一点作切平面4,记/I与a、/?、7的交线分别为nz、n、p,求O到m、n、p距离乘积的最

小值.

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[题目回（2024・全国•高三专题练习）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年建党百年天安门

广场三千人合唱的磅礴震撼,“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严……171金帆合唱团，

这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典

礼中,我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾,让人心向往之.图1就是金帆排练厅,大家都亲切的称

之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3）,正

六棱柱的侧棱交AQi的延长线于点H,经测量4DQH=12°,且AB=10,4口产8♦（sinl2°=0.2）

图3

（1）写出三条正六棱台的结构特征.

（2）“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅,假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面,忽略墙壁厚度,估

算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：丁=:%（6+原+5））

（3）“小迷糊”站在“六角楼”下,陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说:“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.

学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数S（,）=sine+

]sin2a;（①6兄），你看这多美妙!”

“小迷糊”：“..…”

亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下SQ）的最大值吧.

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考点四:三角函数新定义

题目1对于定义域五上的函数/（，），如果存在非零常数T,对任意Xe儿都有，Q+T）=叮⑸成立，则称

,3）为“为函数”.

（1）设函数/（2）=以判断/（。）是否为“T函数”，说明理由；

（2）若函数9（0=靖（a>0且a/1）的图象与函数y=x的图象有公共点，证明：g（,）为“T函数”；

（3）若函数/I（2）=COSMC为“T函数”，求实数机的取值范围.

题目因若对于定义在R上的连续函数/（，），存在常数a（aeR）,使得/Q+a）+af（x）=0对任意的实数必成

立，则称/Q）是回旋函数，且阶数为a.

⑴试判断函数/Q）=sin7ra是否是一个阶数为1的回旋函数,并说明理由；

（2）已知/（力）=sins/是回旋函数，求实数⑶的值；

（3）若回旋函数/（/）=sin切力一1（0>0）在［0,1］恰有100个零点，求实数切的值.

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考点五:平面向量与解三角形新定义

［题目1)已知。为坐标原点，对于函数/(c)=asinrc+6cos0,称向量3必=(a,b)为函数/(a?)的相伴特征向

量，同时称函数/(c)为向量OM的相伴函数.

⑴记向量丽=(1,通)的相伴函数为了㈤,若当加)=|■且优)时,求sin力的值；

(2)已知4—2,3),B(2,6),OT=(-73,1)为h(±)=msin(x-y)的相伴特征向量，<p(x)=h居一1)，请

问在沙=wQ)的图象上是否存在一点P,使得AP±BP.若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由；

(3)记向量成=(1,73)的相伴函数为了(⑼，若当cC［0,晋］时不等式/⑵+磔•(，+>0恒成立,求实

数%的取值范围.

题目也如图，半圆。的直径为2cm,A为直径延长线上的点，04=2cm,B为半圆上任意一点，以48为一

边作等边三角形ABC.设ZAOB=a.

⑴当a=看时，求四边形。4cB的周长；

(2)克罗狄斯・托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理:任意凸四

边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料，则当

线段。。的长取最大值时,求ZAOC.

(3)问：5在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值.

A

0

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题目区将平面直角坐标系中的一列点4(1,©)、4(2,<12)、…、45,M)、…，记为｛4｝，设/⑺=4瓦〉

)，其中宁为与V轴方向相同的单位向量.若对任意的正整数外，都有/⑺+1)>/(九)，则称｛4J为T点歹！J.

(1)判断4(1,1)、出仅9)、4(3,；)、…、…是否为T点列,并说明理由；

(2)若｛AJ为T点歹！J,且a2>ai.任取其中连续三点4、A+O入/2,证明△44+14+2为钝角三角形；

(3)若｛4｝为T点列,对于正整数MZ、机(％VZV机)，比较小不­j与MX-j的大小，并说明理由.

、题目切对于给定的正整数n,记集合/?”=｛司4=(如曲,g,…，我)，叼e五,/=1,2,3」”,71｝,其中元素宣称为一

个一维向量.特别地，6=(0,0,…,0)称为零向量.

1

ER,a—(ai,a2,,",«■«)CR=(几也，…,b”)G定义加法和数乘：a+^—(a1+b1,a2+b2,―,an+&„)，

ka=(k的,卜。2,…,k%).

对一组向量石，石，…,4(sEN+，s>2),若存在一组不全为零的实数自，岛,…,鼠，使得自房+k2芯H----卜鼠

区=6,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(I)对口=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关,并说明理由.

①日=(1,1,1),彼=(2,2,2)；

②日=(1,1,1),/=(2,2,2),斤=(5,1,4)；

③♦=(1,1,0),%=(1,0,1),/=(0,1,1),1=(1,1,1).

(H)已知向量入及歹线性无关，判断向量4+击/+落4+斤是线性相关还是线性无关，并说明理由.

(III)已知馆(馆>2)个向量属，石，…，或线性相关，但其中任意恒—1个都线性无关，证明下列结论：

(i)如果存在等式向&+自加H---1•除15^=6低£/?"=1,2,3,・・・,771),则这些系数自，k?,…,心或者全为零，

或者全不为零；

(ii)如果两个等式k荷+后显H-----\~kmoZ=0,+。芯H----\-lmaZ=0(kiERJRR,i=1,2,3,—,m)同时成

立，其中廿0,则单=单=...=与i.

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考点六:数列新定义

题目工(2024・北京・高三北京市第五中学校考阶段练习)若数列｛册｝满足：anE｛0,1｝,neN*,且a尸1,则称

｛%｝为一个X数列.对于一个X数列｛册｝,若数列｛氏｝满足：8=1,且鼠+产鼠—罗卜，"eN*,则称｛鼠｝

为｛aj的伴随数列.

⑴若X数列｛QJ中，。2=1，。3=0,04=1，写出其伴随数列｛fen｝中也的值;

(2)若｛an｝为一个X数列，｛'｝为｛Q/的伴随数列.

①证明："｛aj为常数列”是“｛图｝为等比数列”的充要条件；

②求匕2019的最大值.

题目叵〕(2024.北京西城.北京师大附中校考模拟预测)已知人为有限个实数构成的非空集合，设入+力=

｛ai+a^a^ajEA｝,A—A—｛ai—a^a^a^4｝,记集合A+4和A—其元素个数分别为|A+A|,\A-A\.

设7t(A)=|A+A|—\A—川.例如当4=｛1,2｝时,A.-\-A—｛2,3,4｝,A-A—｛—1,0,1｝,|J4+A|=\A—川,

所以"(A)=0.

⑴若A=｛1,3,5｝,求九(A)的值；

(2)设A是由3个正实数组成的集合且(A+A)AA=0,4=AU｛0｝,证明：n(A")-n(A)为定值；

(3)若｛aj是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列,对任意nEN*,设4九=｛a1,a?,…,厮｝，bn=n(An).

已知Qi=1,出=2,且对任意nEN*也＞0,求数列｛册｝的通项公式.

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【题目回（2024•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）已知数列｛册｝：1,-2,-2,3,3,3,—4,—4,—4,

k个

—4,•••,（―•••,（—即当（-2I*〈nW一依；1）（卜GN*）时，an=（一1）"%,记Sn=a1+a2H—

+an（nGN"）.

⑴求S2020的值；

（fc+1）（fc+2）

（2）求当0<n<2（fcGN*），试用九、k的代数式表示Sn（neN*）;

（3）对于teN*,定义集合£=｛n四是a”的整数倍，nGN*,且1<n<力｝,求集合为20中元素的个数.

题目④（2024.全国.高三专题练习）对于无穷数列｛4｝,若存在正整数T,使得an+T=册对一切正整数n都成

立,则称无穷数列｛斯｝是周期为T的周期数列.

（1）已知无穷数列｛册｝是周期为2的周期数列，且5=3,a?=1,S”是数列｛斯｝的前九项和，若生Wt对一

切正整数n恒成立，求常数t的取值范围；

（2）若无穷数列｛厮｝和｛0｝满足勾=%+「厮,求证:“｛M｝是周期为T的周期数列”的充要条件是“｛氏｝是周

T

期为T的周期数列，且1>=>1,=0"：

b=1,62=0

（3）若无穷数列｛a“｝和｛心｝满足b=an+1-an，且4+2二零（九＞1,九eN）'是否存在非零常数a,使得｛%｝

是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在,请说明理由.

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考点七:圆锥曲线新定义

题目切直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如:方程g=k,+l中，当％取给定的实数时，表示一条

直线;当k在实数范围内变化时，表示过点（0,1）的直线族（不含y轴）.记直线族2（a-2）7+4y-4a+a2-0

（其中aCR）为9,直线族y=3t2®-2寅其中t>0）为Q.

（1）分别判断点A（0,l）,B（l,2）是否在V的某条直线上，并说明理由；

（2）对于给定的正实数g,点P（g,%）不在Q的任意一条直线上，求go的取值范围（用g表示）；

（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上

每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求。的包络和田的包络.

•••

［题目区(2024・贵州贵阳•高三统考期末)阅读材料：

在平面直角坐标系中，若点M{x,y)与定点F(c,O)(或FX-c.O)的距离和它到定直线l:x=，(或l'-.x=

-^)的距离之比是常数色(0<c<a),则―评=色，化简可得+萼y=1,设a2-c2(b>

Caal_.aja2-c2

ca

0)，则得到方程W+¥=l(a>6>0),所以点M的轨迹是一个椭圆,这是从另一个角度给出了椭圆的定

ab

义.这里定点F(c,0)是椭圆的一个焦点，直线l-.x=亚称为相应于焦点F的准线;定点r(-c,0)是椭圆的

C

另一个焦点,直线l'-.x=-亚称为相应于焦点F'的准线.

C

根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点“(2,夕)在椭圆W+M=l(a

ab

>6>0)上，F(c,0)是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e=且,则点M(x,y)到准线l-.x=—的距离为^-x,

acc

所以|W|=9x(迂一/)=a—=a—ec,我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.

aVc)a

结合阅读材料回答下面的问题：

已知椭圆C:4+与=l(a>6>0)的右焦点为点P是该椭圆上第一象限的点，且PF,2轴,若直线1-.X

ab

=9是椭圆右准线方程，点P到直线I的距离为8.

(1)求点P的坐标；

(2)若点A/,N也在椭圆。上且ZWAP的重心为F,判断是否能构成等差数列？如果能，求

出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.

•••

［题目①(2024・重庆•高三重庆八中校考阶段练习)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，

可以定义曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程FQ,：y,z)=0之间满足:①曲面S上任意一点的坐标

均为三元方程F(6,g,z)=0的解;②以三元方程尸(力,g,2)=0的任意解(如泱,％)为坐标的点均在曲面S

上，则称曲面S的方程为F{x,y,£)=0,方程F(c,y,z)=0的曲面为S.已知曲面。的方程为冬+¥-f

114

=1.

(1)已知直线Z过曲面。上一点Q(1,L2)，以2=(-2,0,-4)为方向向量，求证:直线Z在曲面。上(即Z上任

意一点均在曲面。上)；

(2)已知曲面。可视为平面力Oz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时,过曲面。上任意一

点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面。上.设直线Z'在曲面。上,且过点T(2,0,2),求异面直线I与I'

所成角的余弦值.

•••

［题目回(2024・广东中山•高三统考期末)类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适

合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系。-g/z中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程

F{x,y,z)—0.

(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：

①过点P(g,%,z0)，法向量为五=的平面的方程；

②平面的一般方程；

③在必y,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程(abcW0)；(不需要说明理由)

(2)设4E为空间中的两个定点，|瓦砌=2c>0,我们将曲面「定义为满足炉用+启园=2a(a>c)的动

点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系O-g/z,并推导出曲面「的方程.

题目回(2024•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)定义:一般地，当久>0且;I/1时，我们把方程4+^

ab

=4(a>b>0)表示的椭圆G称为椭圆考■+K=l(a>b>0)的相似椭圆.

ab

⑴如图，已知E(—四,0),砥，^,0),河为。。：/+d=4上的动点，延长用河至点N,使得=\MF^FXN

的垂直平分线与月N交于点P,记点P的轨迹为曲线。，求C的方程；

⑵在条件⑴下，已知椭圆G是椭圆。的相似椭圆，是椭圆G的左右顶点.点Q是G上异于四个顶

点的任意一点，当4=e2(e为曲线C的离心率)时,设直线QM与椭圆。交于点AB,直线QM与椭圆。交

于点D,E,求|4B|+\DE\的值.

•••

[题瓦回(2024・全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(4B)=max{E-g|,|阴-纺|}为两点

4(小明)、3(狈纳)的“切比雪夫距离”，例如：点吕(1,2),点2(3,5),因为|1—3|<|2—5],所以点打与点£

的“切比雪夫距离”为|2—5|=3,记为d(Pi，B)=3.

(1)已知点A(O,/),B为re轴上的一个动点，

①若d(AB)=3,写出点B的坐标；

②直接写出d(4B)的最小值

(2)求证:对任意三点4B,。，都有d(A,C)+d(C,B)>d(AB)；

(3)定点C(g,%),动点。(外夕)满足矶C,P)=r(r>0),若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36,求r

的值.

题目⑦(2024•上海黄浦・高三格致中学校考开学考试)定义:若椭圆C：4+£=l(a>6>0)上的两个点

ab

明),取电,物)满足弩+瞥=0,则称AB为该椭圆的一个“共轨点对”，记作[AB].已知椭圆。的

a~b

一个焦点坐标为E(—22,0),且椭圆。过点A(3,l).

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)求“共轨点对”[AB]中点B所在直线I的方程；

(3)设O为坐标原点，点P,Q在椭圆。上，且PQ〃。4,(2)中的直线Z与椭圆。交于两点BP?，且5点的

纵坐标大于0,设四点在椭圆。上逆时针排列.证明：四边形BFBQ的面积小于8V3.

•••

考点八:概率与统计新定义

题目切在平面直角坐标系，中，设点集4=｛（0,0）,（1,0乂2,0）「-，（九,0）｝，&=｛（0,1）,（%1）｝，&=｛（0,

2）,（1⑵,（2,2）,……，伍,2）｝,mCN*.令峪=4U&Ua.从集合跖中任取两个不同的点，用随机变量X

表示它们之间的距离.

⑴当口=1时，求X的概率分布；

（2）对给定的正整数n（n>3），求概率P（X4九）（用口表示）.

题目区（2024•河北•高三雄县第一高级中学校联考期末）在信息论中，燧（entropy）是接收的每条消息中包含

的信息的平均量，又被称为信息燧信源燧平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件样

本或特征.（焙最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的嫡越大）来自信源的另

一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于

一些其他的原因,把信息（嫡）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的

信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即”商）.

端的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量,取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信

息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了IS/i的信息，而掷机次就为小位.更一般地,你需要

用log2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年,克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的燧，引入到信息

论，因此它又被称为香农滴.而正是信息帽的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明

违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量£所有取值为1,2,…，九，定义£

的信息崎=—,汇舄=i,i=i,2,…,/

（1）若九=2,试探索W的信息嫡关于H的解析式,并求其最大值；

（2）若丹=吕=/，Pk+1=2Pk（k=2,3,…,n）,求此时的信息嫡.

2

•••

［题目①(2024・北京・高三阶段练习)设离散型随机变量X和y有相同的可能取值,它们的分布列分别为

72TI

P^X—a^—xk,P(y=Q。—yk,软>0,%>0,k=1,2,…,可>^软=汰=1.指标。(X||y)可用来刻画

k=lk=l

x和y的相似程度，其定义为n(x||y)=之>由也.设x~Bgp),o<P<i.

念练

(1)若Y-B(n,q),0<q<1,求D(X\\Y)；

(2)若n=2,P(y=%—1)=5#=1,2,3,求。伊||丫)的最小值；

O

(3)对任意与x有相同可能取值的随机变量y,证明：o(x|*)>o,并指出取等号的充要条件

［题目］©（2024•山西朔州•高三校考开学考试）某校20名学生的数学成绩g（i=1,2,…,20）和知识竞赛成绩仅

(i=l,2,-,20)如下表:

学生编号i12345678910

数学成绩为100999693908885838077

知识竞赛成绩仍29016022020065709010060270

学生编号i11121314151617181920

数学成绩为75747270686660503935

知识竞赛成绩仍4535405025302015105

20

计算可得数学成绩的平均值是元=75,知识竞赛成绩的平均值是歹=90,并且£（色一可2=6464,

i=l

2020

2（%一歹）2=149450,2（电一动（加一万）=21650.

i=li=l

（I）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）;

⑵设NGN*,变量力和变量g的一组样本数据为｛（电，%）|i=1,2,…,N｝,其中为（i=1,2,…,N）两两不相同，

%（i=1,2,…,N）两两不相同.记应在｛①/"=1,2,…,N｝中的排名是第R位，%在｛外加=1,2,…,N｝中的排

名是第SM立，i=1,2,…,N.定义变量力和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为p）为变量力的排名和变量y的

排名的样本相关系数.

AN

⑴记4=兄-S"i=1,2,…,N.证明：p=l--------------三£壶

7V（7V2-1）2=1

（沉）用⑴的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔

曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.

注:参考公式与参考数据.

九

「元）（仇一见

X3TV

i=l;之肥=n(n+1)(2n+1)

V—“6464x149450〜31000.

In_6

\之@-前之(或-明2k=l

Vi=li=l

•••

：题目回(2024・安徽合肥・合肥一六八中学校考模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一

定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用

中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的