《幂函数》教学设计

2/2《幂函数》教学设计教学设计一、实例观察，引入新课教师出示下列例子，要求学生写出数学表达式：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付元.（2）正方体的边长为x，体积为y，则.（3）若某放射性物质每经过1年，其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种物质经过100年后，其剩留量应为.（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长.（5）如果某人驾车在ts内行进了1km，那么该车的平均速度.【师生互动】以上问题中的函数表达式具有什么共同特征？生：都是指数幂的形式，底数都是自变量，指数都是常数.设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.二、类比联想，探究新知1.幂函数的定义.一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.注意：幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为1，只有1项”，自变量x在底数位置，常数在指数位置.【师生互动】判断下列函数是否是幂函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数性质探究.例1、写出下列幂函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：（1）；（2）；（3）.活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价.教师引导学生根据学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，及判断函数奇偶性的方法.判断函数奇偶性时一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解（1）函数的定义域是R.因为对任意的，而且都有，所以由奇函数的定义知，函数是奇函数.（2）函数即，其定义域是.因为当时，，所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）由函数即可知，所以此函数的定义域是.因为对任意的，都有，且，所以由偶函数的定义知，函数是偶函数.点评：函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.问题1：在同一坐标系内画出幂函数的图象，并思考：它们之间有什么共同特性？活动：学生以小组为单位，讨论尝试用描点法画图，然后教师出示用计算机画出的图象（如图），让学生观察这三个幂函数图象的共同特性，并汇报结论.观察图象，可以发现这3个函数有如下共同特性：（1）函数的图象都过点和；（2）在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间上是增函数.一般地，对于函数，当时，也具有上述两条性质.例2、试比较下列各组数的大小：（1）；（2）；（3）.活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨.比较数的大小，常借助于函数的单调性.对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对（3）只利用幂函数的单调性是不够的，事实上，这里“1”可作为中间量.解（1）因为函数在区间上是增函数，又，所以.（2）因为函数在区间上是增函数，又，所以.（3）因为函数在区间上是增函数，又，所以.因为函数在区间上是增函数，又，所以，于是.问题2：在同一坐标系内画出幂函数的图象，并思考：它们之间有什么共同特性？活动：以小组为单位，结合前面画指数a为正数时的幂函数的图象的方法，画出指数a为负数时的图象，再观察教师给出的计算机画出的图象（如图），观察并归纳其性质.观察图象，可以发现，这3个函数有如下共同特性（1）函数的图象都过点；（2）在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间上是减函数.一般地，对于函数，当时，也具有上述两条性质.3.幂函数的性质推广.（1）五个具体的幂函数的性质.①函数和的图象都通过点.②函数是奇函数，函数是偶函数，函数是非奇非偶函数.③在区间上，函数和是增函数，函数是减函数.④在第一象限内，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.（2）一般的幂函数的性质：①所有的幂函数在内都有定义，并且图象都过点.②时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.时，图象在图象上方，靠近y轴；时，图象在图象下方，靠近x轴；时，图象是条直线.③时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当x趋向0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；在y轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.4.利用信息技术研究幂函数.学生阅读教材第133页“信息技术”相关内容，了解利用信息技术作幂函数图象的方法，进而研究幂函数的性质.三、课堂小结，归纳提升可从以下几个方面小结：（1）幂函数的定义.（2）幂函数的性质.（3）利用幂函数的单调性比较大小.四、课后作业，巩固训练教材第134页习题6.1第1，2题.板书设计6.1幂函数1.幂函数的定义一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2.幂函数的性质例1问题1例2问题23.一般幂函数的性质①所有的幂函数在内都有定义，并且图象都过点②时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.时，图象在图象上方，靠近y轴；时，图象在图象下方，靠近x轴；时，图象是条直线③时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当x趋向0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴④幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；在y轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大4.小结（1）幂函数的定义（2）幂函数的性质（3）利用幂函数的单调性比较大小教学研讨幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了函数的概念和性质