中考数学图形函数真题题库（含参考答案）

中考数学图形、函数真题题库（含参考答案）

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

1.如图1,在8c中，ZB^C=90°,AB=AC,D为AABC内一点、,将线段

绕点/逆时针旋转90。得到片区连接CE,80的延长线与CE交于点尸.

（1）求证：BD=CE,BD1CE；

（2）如图2.连接力HDC,已知N8OC=135。，判断4尸与。C的位置关系，并说明

理由.

【答案】（1）见解析；（2）AF//CD,理由见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据旋转的性质，判断出ND4E=90。，AD=AE,进而判断出NAW=NC4E；

然后根据全等三角形判定的方法，判断出△450g△/（7£,即可判断出BZ>CE.再证

明NC6产+N8C产=90。，即可证明8O_LCE；

（2）由N8OC=135。得NCOr=45。，再证明4,D,F,E在以。E为直径的圆上，即

可证明乙4FD=45。,从而可证明AFHCD.

【详解】

解（1）由旋转的性质，可得ND4E=90。，AD=AE,

*：NBAD+NDAC=NB4C=90。,NCAE+ND4C=NDAE=90。,

:・NBAD=/CAE,

在△4班）和△彳CE中，

AB=AC

-NBAD=NCAE,

AD=AE

:.△ABD/AACE（SAS）,

・•・BD-CE,NABD=ZACE

•・•NA4c=90。

试卷第1页，共214页

AABC+ZACB=90°,即NABD+NFBC+NACB=90°

，NFBC+ZACB+ZACF=90°

，ZBFC=90°

:•BFLCE,即5OJ.CE;

(2)AF//CD,理由如下：

VNBDC=135。

：.4CDF=45°

由(1)知，ZDJ£=90°,NDFE=90。

・•・4,D,F,E在以。£为直径的圆上，如图，

•:AD=AE

，弧/2＞弧4后，

，NAFD=NAFE=45。

/.ZAFD=Z.CDF

AFUCDx

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点

到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、

后的图形全等.另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知

识，要熟练掌握.

2.如图，。0是zUBC的外接圆，点E是△48C的内心，4E的延长线交8c于点F,

交。。于点。，连接30,BE.

(1)求证：DB=DE；

(2)AE=3»DF=4,求。B的长.

试卷第2页，共214页

A

B

D

【答案】(1)证明过程见详解；(2)DB=6.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形的内心得到/B4E=NCAD,根据圆周角定理推论得到

ZDBC=ZCAD,结合三角形的外角性质，进而根据”等角对等边”证明结论；

(2)通过证明△DBFs^DAB,利用对应边成比例求解即可.

【详解】

解：(1)证明：•・•£是△力8c的内心，

・・・4。平分NBAC,BE平分乙奶C,

：・/ABE=/CBE,NBAE=/CAD,

根据圆周角定理推论，可知NO4C=N。。，

:./DBC=/BAE,

*：NDBE=NCBE+NDBC,NDEB=NABE+NBAE,

：.NDBE=/DEB,

:・DE=DB；

(2)由(1)知ND4B=NCAD,NDBF=/CAD,

:.NDBF=/DAB.

VZD=ZD,

/.△DBF^ADAB.

.DB_DF

''~DA~~DBy

，：DE=DB,

.DF+EF_DF

■■AE+EF+DF~DF+EF，

VAE=3tDF=4,

EF=2,

试卷第3页，共214页

，BD=DE=6.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角

形的判定与性质，三角形的外角定理.关键是正确理解三角形的内心定义.

3.先化简，再求代数式的值：二7+竺W+S，其中。=2sin30o+2（;r-l）°.

a-2a~-42-a

【解析】

【分析】

先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可.

【详解】

目t2〃+42a—4片+3a+2

原式二二——十二-------------

a-4a-4a~-4

_—a2+a—2

a2-4

Vfl=2sin30°+2（^-l）0

=1+2

=3

将a=3代入原式=3--=—

32-45

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入

计算要仔细，属于常考题型.

4.如图，抛物线y=Y+bx+c与x轴相交于48两点，与y轴相交于点C,对称轴为

直线x=2,项点为O,点8的巨标为（3,0）.

（1）填空：点力的坐标为,点。的坐标为,抛物线的解析式为

■

（2）当二次函数），=/+反+。的自变量：满足+2时，函数y的最小值为

求m的值；

（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点尸，使是以乂。为斜边的直角三

角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共214页

【答案】（1）（1,0）,（2,-1）,y=f-4x+3；（2）的值为一；或［；（3）点尸的

坐标为：（2,1）,（2,2）

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴及点8坐标可求出点/坐标，根据对称轴可求出人的值，把

点4或8的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；

（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；

（3）设尸（1,力，由/C为斜边，则N/PC=90。，根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】

解：（1）•・•抛物线的对称轴为广2,点8坐标为（3,0）,且点4在8点的左侧，

：.A（1,0）

又x=-g=2

2

，b=-4

把4（1,0）代入y一4%+c得，c=3

:,抛物线的解析式为y=x2-4x+3=（x-2f-1

・•・顶点。坐标为（2,-1）

故答案为：（1,0）,（2,-1）,y=»—4x+3;

（2）•・•抛物线y=W—4x+3开口向上，当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，

y随x的增大而增大，

①当〃+2<2,即机<0时，加小值=（/n+2-2>-1=；

解得，）V（舍去）或加=一:

22

试卷第5页，共214页

②当m>2时，y鼠小1fl=（小一2『一1=:

解得，〃?二:或小=（（舍去）

22

所以，加的值为3或;7

22

（3）假设存在,设尸（2,/）

当NJPC=90。时，如图，

过点C作CG_LPE于点G,则CG=2,PG=3“

4CGP=NAEP=90°,Z.CPG+Z.PCG=Z.CPG+/APE=90°,

Z.PCG=NAPE,

kCPG~"AE,

,CGPG23-t

..---=---,即—=-----

PEAEt1

整理得，/-3/+2=0

解得，q=2

经检验：q=2是原方程的根且符合题意，

工点尸的坐标为（2,1）,（2,2）

综上，点尸的坐标为：（2,1）,（2,2）

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应

用以上知识解决问题是本题的关键.

5.已知：在正方形488的边上任取一点尸，连接力尸，一条与/尸垂直的直线/（垂

足为点P）沿/产方向，从点A开始向下平移，交边AB于点、E.

试卷第6页，共214页

(1)当直线/经过正方形力8co的顶点。时，如图1所示.求证：AE=BF；

(2)当直线/经过胪的中点时，与对角线80交于点。，连接产。，如图2所示.求4世

的度数；

(3)直线/继续向下平移，当点尸恰好落在对角线8。上时，交边C。于点G,如图3

所示.^AB=2fBF=xfDG=y,求P与x之间的关系式.

【答案】(1)见详解；(2)4回0=45。；(3)丁二土4-三2x

【解析】

【分析】

(1)由题意易得/。=48,/"。=/下员4=90。，进而可得乙〃5=/瓦乂，则有

△ABF也2AE,然后问题可求证；

(2)连接4。，过点。作QW14O于点并延长MQ,交8c于点N,由题意易得

AQ=FQ,N4O8=45。，则有QM=MD,进而可得证“MQ知QNF,然后可得/MQF=90°,

则问题可求解；

(3)过点。作Q，〃EG,交于点〃，由题意易证四边形"EGO是平行四边形，则

有AH=BF=x,HE=DG=y,进而可得照=空=黑=、，然后可得"0=彳，

U(JADrU2VZ

则问题可求解.

【详解】

(1)证明：•・•四边形48c。是正方形，

.・・AD=AB/EAD=/FBA=90°,

•：AF上ED,

/.ZAPE=W,

/.Z.BAF+乙4EP=NAEP+ZADE=90°,

/.NFAB=NEDA,

:ABF知DAE(ASA),

/.AE=BF；

试卷第7页，共214页

（2）解：连接40,过点。作。A/L4。于点并延长M0,交8c于点M如图所

示:

丁点尸是力尸的中点，AFYEQ,

：.AQ=FQ,

・・•四边形力8c。是正方形，

・•・AD=DC,ZADC=ZC=90°,/ADB=45°,

・•・四边形MVCD是矩形，是等腰直角三角形,

JMN=CD=AD,MD=MQ,

:.AM=QN,

：.“MQ%QNF(HL),

:.UQM=KQFN,

VZFQN+4QFN=90。,

.・.Z.FQN+4。"=90。，即Z-AQF=90°,

・♦・△力。/是等腰直角三角形，

・・・4厂0=45。；

(3)过点。作DH〃EG,交.AB于点H,如图所示：

图3

・•・四边形HEGD是平行四边形,

试卷第8页，共214页

•・DG=HE,

JAFLEG,

\AFLHD,

由（1）中结论可得力，=8产，

.•AD//BFyAB//CD,

,・"PDs^FPB,xBPEsqPG,

.BFBPBEBP

t^D~~DPy~DG~~DP，

*AB=2,BF=x,DG=y,

•,AD=4B=2,AH=BF=x,HE=DG=y,

\BE=2-x-y,

.BEBFBP_x

'~DG~^D~~PD~2f

.2-x-y=x

,y一3'

•・〉与》之间的关系式为），=土4—以21.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的性质

与判定，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的

性质与判定是解题的关键.

6.如图，直线y=x+2与抛物线卜=加+队+6（。=0）相交于点力［；,11）和点8（4,m）,

抛物线与x轴的交点分别为“，K（点”在点K的左侧）.点尸在线段48上运动（不

与点4、8重合），过点尸作直线产CJ_x轴于点P,交抛物线于点C.

试卷第9页，共214页

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接4C,是否存在点凡使△H1C是直角三角形？若存在，求出点尸的

坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2,过点C作CE_LjB于点E,当"的周长最大时，过点尸作任意直线/,

把ACE尸沿直线/翻折180。，翻折后点C的对应点记为点。，求出当AC跖的周长最大

时，点尸的坐标，并直接写出翻折过程中线段K0的最大值和最小值.

【答案】(1)y=2x2—8x+6；(2)存在尸(3,5)或尸&,?),理由见解析；(3)尸(]7)

2244

KQ最大值为竺+矩奥，最小值为竺一也曳

8484

【解析】

【分析】

(1)根据题意，将8(4,“)代入直线解析式求得8点的坐标，将48坐标代入二次函

数解析式，待定系数法求解析式即可；

(2)先证明△4月C为等腰直角三角形，分情况讨论①当尸C为斜边时，设尸(也加+2),

则。(佻2.2-8加+6),根据%=&4户求得尸点的坐标；②尸4为斜边时:

根据力C//x轴求得产点的坐标；

(3)是等腰直角三角形，当尸。最大时，△EFC的周长最大，求得尸点的坐标;

过点尸作任意直线/,把ACM沿直线/翻折180。，翻折后点。的对应点记为点。

根据题意点。在以尸为圆心，EC为半径的圆上，根据0K2=尸。+相。长.=正。-心

试卷第10页，共214页

求得最值

【详解】

(1)•.•由题意y=x+2过点8(4,〃?)

贝lj：,«=4+2=6

5(4,6)

将8(4,6)

RA^=ar2+bx+6,得：

6=16。+48+6

,511,

—=—a+—b+x6

[242

a=2

y=2x2-8x+6

(2)存在，理由如下

设直线AB与x轴交于点。，与V轴交于点G

•.•户工+2过点。，G

令y=0,x=-2,令x=0/=2

.-.D(-2,0),G(0,2)

.•.△OOG是等腰直角三角形

试卷第11页，共214页

NGDO=45°

v4c是直角三角形

2

设F(mtm+2),则C(m92m-+6)

•••尸。_Lx轴

，FC〃y轴

4"=45。

.JC不可能为斜边

/C是等腰直角三角形

①当户C为斜边时：ACLAB

FC=42AF

..FC1=2AF2

•・FC=机+2—2/M2+8w-6=-2m2+9m—4

/尸=(机一；)2+(加+2一,=2阳2一+:

即(—2m2+9/n—4)2=4m*—4m+1，

解得：=3m=:(与点A重合)

2

.*.F(3,5)

②当E4为斜边时:力CJLCF

试卷第12页，共214页

,/尸C_Lx轴

:.ACHx^

2"?~—8w+6=一

2

解得：町=（,吗=g（与点A重合）

试卷第13页，共214页

由(2)可知NEFC=45。

♦;CE上AB

△aV是等腰直角三角形

加”.局”五”

EF=EC-sin45xFC-——FC

2

AEFC的周长等于£尸+EC+尸C=(1+际FC

当尸C最大时，的周长最大

设尸(〃,〃+2)(g<〃<6),则。5,2〃2一8〃+6),则

FC=〃+2-2/?+8n-6=-2if+9w-4

~%249

=-2(n——>+——

48

当n=：9时，FC取得最大值49?

48

过点尸作任意直线/,把ACM沿直线/翻折180。

翻折后点C的对应点记为点。

根据题意点。在以尸为圆心，"'为半径的圆上

2

y=2x-8x+6f令y=0

2X2-8X+6=0

解得：X1=1,》2=3

试卷第14页，共214页

根据题意，点H在点K的左侧,

K(3,0)

公居-灯+苧二华

QKgx=FC+FK=%+^L

84

0Kmin=产。一户长=竺_叵8

84

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，勾股定理，图形

的旋转，锐角三角函数，等腰三角形性质，圆的性质，二次函数最值问题，综合运用以

上知识是解题的关键.

7.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987

年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的

“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁"C"的高度，在楼

前的平地上力处，观测到楼顶C处的仰角为30。，在平地上8处观测到楼顶。处的仰角

为45。，并测得彳、8两处相距20m,求“一心阁”CH的高度.（结果保留小数点后一位,

试卷第15页，共214页

参考数据：V2«1.41»V3=1.73）

【答案】C〃=27.5m

【解析】

【分析】

由题意易得CH=BH,设CH=BH=xm,则有力〃=（20+x）m,进而杈据三角函数可进行

求解.

【详解】

解：由题意得：^CHA=90°,ZCBH=45°,=30°,AB=20m,

:.CH=BH,

设CH=BH=xm,贝ij有4〃=（20+x）m,

向

/.CH=JH-tan30°,HRx=?（20+x）,

解得：x=27.5,

.•・C〃=27.5m.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.

8.如图1,在△ZB。中，NC=90。，ZABC=3Q°,AC=\,。为△/5C内部的一动点（不

在边上），连接8。，将线段8。绕点。逆时针旋转60。，使点8到达点尸的位置；将线

段48绕点8顺时针旋转60。，使点力到达点£的位置，连接40,CD,AE,AF,BF,

EF.

试卷第16页，共214页

(1)求证：ABDAmABFE；

(2)①CZH0F+在•的最小值为；

②当CD+O尸+尸石取得最小值时，求证：AD//BF.

(3)如图2,M,N,尸分别是。尸，力尸，/£•的中点，连接MP,NP,在点。运动的过

程中，请判断NMQN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.

【答案】(1)见解答；

(2)①近：②见解答；

(3)是，NMPN=30。.

【解析】

【分析】

(1)由旋转60。知，NABD=/EBF、AB=AE.BD=BF,故由S4S证出全等即可；

(2)①由两点之间，线段最短知C、D、尸、£共线时CD+DF+FE最小,且CD+DF+FE

最小值为CE,再由N4C8=90。，ZJ5C=30°,AC=\求出8c和45,再由旋转知力

NCBE=90。,最后根据勾股定理求出CE即可；

②先由△8。尸为等边三角形得/加昨60。，再由C、。、F、E共线时CZHOQ■产石最小，

NBFE=120Q=NBDA,最后4)尸=/458-/80尸=120。-60。=60。，即证；

(3)由中位线定理知道〃幺。且PN〃E凡再设N8E尸=N84O=a,NR4N=0,则

NPN尸=60。-。+尸，NFNM=NE4D=60。+af,得/PNM=120。.

【详解】

解：(1)证明：:/DBF=N4BE=60。,

ANDBF-NABF=NABE-/ABF,

：.NABD=NEBF,

在△8D4与4BFE中,

BD=BF

<UBD=4EBF,

AB=BE

:•△BDWABFE(SAS)；

(2)①•・•两点之间，线段最短，

即C、D、尸、E共线时8+。P+房最小，

：.CD+DF+FE最小值为CE,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=\,

:,BE=AB=2,BC=ylAB2-AC2=73»

试卷第17页，共214页

VNCBE=/ABC+NABE=90°,

:.CEEBE'BC?="

故答案为：，7：

②证明：*：BD=BF,NDBF=60。,

・•・△BQ尸为等边三角形，

即N8FZA60。，

,:C、D、F、E共线时CZHOF-尸£最小，

；・NBFE=120。,

〈△BD3ABFE,

：.ZBDA=\2Q0,

：.Z.ADF=Z.ADB-ABDF=120°-60°=60°,

・•・/ADF—/BFD,

：.AD//BF,

（3）NM/W的大小是为定值，理由如下:

如图，连接MN,

,:M,N,A分别是。尸，AF,dE的中点，

・・・也〃4。且PN//EF,

":AB=BE且ZJ5E=60°,

:.4ABE为等边三角形,

设NBEF=NBAD=a,NPAN="

则N/EF=N/PN=60O-a,N£/Z）=600+a,

:./PNF=6G0-a邛,NFNM=NE4D=6O0+a-0,

/./PNM=NPNF+ZFW=60°-a+/?+60°+a-^=120°,

,:△BDA/ABFE,

1I

.・.MN=-AD=-FE=PN,

试卷第18页，共214页

/.ZMPN=（180°-ZPMW）=30°.

【点睛】

本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、

平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解

题关键.

9.如图，在中，为直径，P为上一点,PA=1,PB=m（m为常数,且

0）.过点尸的弦CO_L48,。为说上一动点（与点5不重合），AHLQD,垂足为连

接NO、BQ.

（1）若m=3.

①求证：ZOAD=6Q°；

②求笑的值；

un

（2）用含机的代数式表示器，请直接写出结果；

（3）存在一个大小确定的。O,对于点0的任意位置，都有8。-2皿/2+尸82的值是一

个定值，求此时N。的度数.

【答案】（1）①见解析；②2；［2）71+^；（3）存在半径为1的圆，45。

【解析】

【分析】

（1）①连接则易得CQ垂直平分线段04，从而。＞40,由04=0。，即可得

△04。是等边三角形，从而可得结论；

②连接力。，由圆周角定理得：ZABQ=ZADH,从而其余弦值相等，因此可得

照=组，由①可得48、力Z）的值，从而可得结论；

DHAD

（2）连接力0、BD,首先与（1）中的②相同，有照=空，由△”DS/\4DB,可

DHAD

求得力。的长，从而求得结果；

2222222

（3）由（2）的结论可得：BQ=（\+ni）DHtAMTuBQ-2DH+PB=（m-\）DH+m

试卷第19页，共214页

当机=1时，即可得是一个定值，从而可求得NQ的值.

【详解】

(1)①如图，连接OD,则囚=00

*：AB=PA+PB=\+3=4

.\OA=-AB=2

2

：.OP=AP=\

即点尸是线段04的中点

*：CDVAB

•••CO垂直平分线段0/

：.OD=AD

：.OA=OD=AD

即△040是等边三角形

，ZOJD=60°

②连接40

'：AB是直径

：.AQA.BQ

根据圆周角定理得：NABQ=/ADH,

/.cosZ.ABQ=cosZ.ADH

'：AHLDQ

在Rt^ABQ和Rt^ADH中

cosZ.ABQ==cosZ.ADH=2^

ABAD

.BQ二AB

''~DH~~AD

'：AD=OA=2,AB=4

试卷第20页，共214页

.BQAB_4

'~DH~^4D~2

(2)连接40、BD

与(1)中的②相同，有照=空

DnAD

是直径

：.AD±BD

，NDAB+NADP=NDAB+NABD=9。。

ANADP=NABD

:.RtAAPDsRtAADB

.PAAD

,•茄一万

,：AB=PA+PB=\+m

：•AD=dPAMB=y/i+ni

工丝=丝=兽=标

DHADy/\+m

(3)由(2)知,

***BQ=-J\+m*DH

即BC=(]+m)DH2

：.Bff-2DH2+PB2=(\+ni)DH2-2DH2+m2=(m-\)DH2+m

试卷第21页，共214页

当M=1时，^^—。环+尸炉是一个定值，且这个定值为1,此时丹=尸3=1,即点尸与

圆心O重合

'：CDLAB,OA=OD=\

是等腰直角三角形

:.N。40=45。

•；NOAD与/。对着同一条弧

：.ZQ=ZOAD=45°

故存在半径为1的圆，对于点0的任意位置，都有6。-2。，2+尸"的值是一个定值1,

此时/。的度数为45.

【点睛】

本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，

等边三角形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出5？-

2DH2+PB2=（相-1）。甲+而后,当“1即可得出BQ2-是一个定值.

10.如图，游客从旅游景区山脚下的地面4处出发，沿坡角。=30。的斜坡48步行50m

至山坡3处，乘直立电梯上升30m至。处，再乘缆车沿长为180m的索道CO至山顶O

处，此时观测C处的俯角为19°30\索道CO看作在一条直线上.求山顶。的高度.（精

确到Im,sin19°30^0.33,cos19°30,-0.94,tanl9030M）.35）

【答案】114m

【解析】

【分析】

过点C作CE_LOG于E,C8的延长线交力G于尸，在出Z\8力厂中可求得8户的长，从

而可得b的长:在Rl^DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长,从而由DG=DE+CF

即可求得山顶。的高度.

【详解】

过点。作CE_LOG于E,C8的延长线交4G于凡设山顶的所在线段为OG,如图所示

试卷第22页，共214页

D

在用产中，a=30°,48=50m

贝(JBF=a=50x；=25(m)

/.CF=BC+BF=30+25=55(m)

在H/ZXOCE中，ZDCE=19o30f,8=180m

ADE=CO・sinNDCE=180x0.33工59(m)

丁四边形CFGE是矩形

：.EG-CF

・・.Z)G=OE+EG=OE+b=59+55=l14(m)

即山顶。的高度为114m.

【点睛】

本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角

等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决.

11.如图，力B为。。的直径，。为。。上一点，40和过点。的切线互相垂直，垂足

为D.

(1)求证：4c平分

(2)若40=8,tanZCJB=-,求：边力C及4B的长.

【答案】(1)见详解；(2)JC=10,AB=—

【解析】

1分析】

(1)连接0C,由题意易得4OC=NOCO=90。，则有力D//0C,进而可得

试卷第23页，共214页

NACO=NOAC=NDAC,然后问题可求证；

(2)连接8C,由题意及(1)=则芍OC=6,然后可得

4

4

cosZCAB=cosZCAD=-f然后问题可求解.

【详解】

(1)证明：连接OC,如图所示：

是。。的切线，

,ZOCD=9（F,

*：AD±CD,

:.ZADC=ZOCD=90°,

:.AD//OC,

：.ZDAC=ZACO,

•：OA=OC,

JNACO=Z.OAC=Z.DAC,

，力C平分/O84；

（2）解：连接8C,如图所示:

由（1）可得：ZBAC=NDAC,

3

*.*tanZ.CAB=—,

4

/.tanZ.CAD=tanZ.CAB=-,

4

•/AD=S,

/.CD=AD-tanZ.DAC=6,

试卷第24页，共214页

AC=\IAD1+CDr=10»

jn4

・•・cosNCAB=cosZCAD=——=-

AC5

・・・/5为。。的直径,

二405=90。，

cos/C力B2

【点睛】

本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关

键.

12.计算：（一2）°-曲一|-5|+4sin45。.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根据零次累、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解.

【详解】

解：原式=l-2&-5+4x匹=一4.

【点睛】

本题主要考查零次幕、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幕、特殊三角函数

值及算术平方根是解题的关键.

13.如图，四边形48。为矩形，/出=3,BC=4,P、0均从点3出发，点P以2个

单位每秒的速度沿历1-4C的方向运动，点。以1个单位每秒的速度沿BC-8运动，

设运动时间为1秒.

（1）求/C的长；

（2）若S.BPQ=S,求S关于，的解析式.

AD

BQC

试卷第25页，共214页

【答案】(1)AC=5：(2)S=<-r+—t,-<t<4

552

2/-8,r>4

【解析】

【分析】

(1)由题意易得N5=90。，然后根据勾股定理可求解；

3

(2)由题意易得①当点P在48上时，即04K5,则8P=2"2=乙②当点P在4C

3

上，点。在8c上时，即5<f44,过点P作PELBC于点E,然后可得

PC=8-2tfPE=-(8-2i)t③当点尸与点C重合，点。在8上时，即”4,则有

BP=4,CQ=J,进而根据面积计算公式可求解.

【详解】

解：(1)•・•四边形48CO是矩形，

/.ZB=90°,

VAB=3tBC=4,

AC=ylAB2+BC2=5;

(2)由题意得当点P到达点。时，点。恰好到达点C,则有：

当点尸在上时，即0W/K1,如图所示：

2

BP=2t,BQ=t,

S=gBP.BQ=；x2fxe=产；

当点尸在4c上，点。在8c上时，即过点P作PE_LBC于点E,如图所示:

试卷第26页，共214页

AD

由(1)可得sin/PCE=|,

APE=CPsinNPCE=1(8-2/),

1111

212

：.S=^BQ-PE=^x^x(s-2t)xt=~t+~5t；

当点尸与点C重合，点0在CD上时，即/>4,如图所示:

・・・S=；8PPQ=；x4x(f-4)=2f-8；

1

3123

综上所述：S关于E的解析式为S=2

552

2r-8,r>4

【点睛】

本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数，熟练掌握矩形的性质、勾股定

理、三角函数及函数是解题的关键.

14.如图，抛物线y="2-2x+c（。=0）与x轴交于力、B（3,0）两点，与V轴交于点C

（0,一3）,抛物线的顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸在抛物线的对称轴上，点。在“轴上，若以点P、0、B、C为顶点，BC为

边的四边形为平行四边形，请直接写出点尸、。的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的

试卷第27页，共214页

点M,使得以点4、M、G为顶点的三角形与△88相似，若存在，请求出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）点尸（1,-3）或尸（1,3）、点。（4,0）或点0（-2,0）；（3）

810

存在，M（0,0）或股（'，0）或“（6,0）或“（1，0）

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数表达式和己知坐标点代入计算即可，

（2）以点尸、。、5、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：RQJ/BC

或PQJIBC,根据平行四边形对边相等且平行求解即可，

（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B,C,D坐标点得知△8QC是直角

三角形，且NBCZ）=90"，设点”得坐标（机,0）,则点G得坐标为（加,〃，-2加-3）,

根据相似的性质分情况求解即可.

【详解】

解：（1）将点B（3,0）,C（0,一3）分别代入尸.2-2升（;中，

19"2x3+c=0

得：2，

[c=-3

a=\

解得仆

c=-3

・•・抛物线得函数关系为y=x2-2x-3

（2）点0（1,一3）或「（1,3）、点0（4,0）或点。（―2,0）.

如图:

试卷第28页，共214页

♦・•以点尸、Q、B、。为顶点，为边的四边形为平行四边形,

・•・PQJIBC或P&iBC,

•:点B(3,0),C(0,-3),

当42//8C时，则

设对称轴与x轴交于点M,

・・.RM=OC=3,MQ|=O8=3,

/./>(1,3),0(-2,0)；

同理刃时,/>(1,-3),ft(4,0)；

故答案为：/?(l,3),Q(-2,0)./5(1,-3),22(4,0).

2

(3)当y=0时，X-2X-3=0>

解得：X=-LX2=3,

：.A(-1,0)

又尸/-2x-3=(x-炉-4,

・•・抛物线得顶点。得坐标为(1，-4)

,:C(0,一3)、B(3,0)、D(1,-4)

A8752+22+4?=20,CD2=12-H1,BC2=^2-B2，

:.BD2=CD2+BC2

•••△8OC是直角三角形，且N3CO=90°

设点A/得坐标(如0),则点G得坐标为(/明〃，-2州-3),

根据题意知:

试卷第29页，共214页

NAMG=/BCD=90。

••・要使以Z、M、G为顶点得三角形与△SCO相似，需要满足条件：

-A-M-=-B-C-项—-A--M-=-C-D-

MGCD'MGBC

①当加＜7时，此时有：2一丁广毕或2T了「斗

ni2-2m-3V2m2-2m-33V2

Q

解得：叫=§，切2=-1或町=0，吗=T，都不符合加VT,所以机〈-1时无解.

w+13＞/2也

②当-1＜腔3时，此时有：心一2〃一)=跖或一品一加.3)二子

Q

解得：叫=5,加2=-1(不符合要求，舍去)或班=0,恤=T(不符合要求，舍去),

Q

所以M(-＞0)或M(0,0)

，山I心切+13x/5fm-\-\y/2

③当机＞3时，此时有：2C——：；=—?—或2C——

m-2m-3V2m2-2m-33y/2

解得：网=与，%=T(不符合要求，舍去)或叫=6,吗=-1(不符要求，舍去)

所以点M(6,0)或M(y,0)

答：存在点M,使得力、M、G为顶点得三角形与△BCO相似，点M得坐标为：M(0,

810

0)或M(§,0)或必(6,0)或M(§,0).

【点睛】

此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定

理，有一定难度.

15.在四边形48co中，对角线4C平分

【探究发现】

(1)如图①，若/A4O=120。，ZABC=ZADC=90°.求证：AD+AB=AC^

试卷第30页，共214页

【拓展迁移】

(2)如图②，若N"0=12O。，ZJ5C+ZJDC=180°.

①猜想力8、AD、三条线段的数量关系，并说明理由；

②若4c=10,求四边形力4co的面积.

【答案】⑴见解析；(2)①ZD+/5FC,见解析；②25后

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的性质得到ND4C=N历1C=60。，然后根据直角三角形中30。是斜

边的一半即可写出数量关系；

(2)①根据第一问中的思路，过点C分别作CE_L4O于E,b_L4B于E构造力/S证

明ACFB=ACED,根据全等的性质得到处=。&结合第一问结论即可写出数量关系；

②根据题意应用60。的正弦值求得CE的长，然后根据

S四边形械7)=；/。'底+；”乂。/=；(力。+”)、。£的数量关系即可求解四边形"8

的面积.

【详解】

(1)证明：:力。平分NB4O,N840=120°,

・•・ZDAC=NBAC=60°，

VZADC=NABC=90"，

图①

:.N4CD=N4CB=30",

：.AD=-AC,AB=-AC.

22

；・AD+AB=AC,

(2)®AD-\-AB=AC,

理由：过点C分别作CE_L4O于E,ChAB于F.

试卷第31页，共214页

图②

•・】C平分

:・CF=CE,

VZABC+^ADC=180"，NEDC+ZADC=180"，

/.4FBC=4EDC,

又NCFB=ZCED=90。，

/.△cra=ACED⑷S),

:・FB=DE,

3

：.AD-\-AB=AD-\-FB-\-AF=AD-rDE-\-AF=AE+AFi

在四边形力产CE中，由⑴题知：AE-\-AF=AC,

；・AD+4B=4C；

②在R/A4CE中，・・7。平分N8/O,ZBAD=120°

:.ZDAC=/BAC=60°，

又・・,4C=10,

.*.CE=JsinZDJC=1Osin60)=573,

,:CF=CE,AD+AB=AC,

・•・S四边形襁e=g4OxCE+g为4x6=g(4Q+/8)xC£

=-ACxCE=-x\Ox5yf3=25y/3.

22

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是

辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线.

16.(1)计算：2cos30。-2"一处一|6-2卜6.14-4)°

(2)先化简：/+3x+包然后'从0、］、2三个数中选一个你认为合适

X2-4X+4x-2x

的数代入求值.

试卷第32页，共214页

3

【答案】(1)(2)x+2,当x=l时，原式=3

【解析】

【分析】

(1)根据实数的运算，零指数基，负整数指数耗，特殊角的三角函数值进行计算即可;

(2)先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可得结果.

【详解】

解：(1)2cos30。-2T-处-快-2卜0.14-乃)"

=2x^y-i-2>/3-(2->/3)+l

=>/3---2>/3-2+x/3+l

2

_3

~~2；

/八x2+3xx+3x2-4

(2)-----------+----------------

x~-4x+4x-2x

x(x+3)x-2(x+2)(x-2)

一(x-2)2x+3x

=x+2

•・・》取0或2时，原式无意义，

・♦・x只能取1

当x=l时，原式=3

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数累，负整数指数累，特殊角的三角函

数值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则.

17.如图，在山坡4P的坡脚4处竖有一根电线杆48(BPABLM