2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：相等关系与不等关系（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：相等关系与不等关系（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•广汉市校级模拟）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＜c﹣d C．ad＞bc D．c（多选）2．（2024•邵阳三模）若正数x，y满足2x+y＝xy，则（）A．xy≤8 B．8x+y≥18 C．1x2+4（多选）3．已知a＞0，b＞0且a+b＝4，则a3+b3的取值可以为（）A．18 B．14 C．32 D．66（多选）4．（2024•天心区校级模拟）下列函数中最小值为2的是（）A．y＝x2+2x+3 B．y=|sinx|+1C．y＝2x+21﹣x D．y=lnx+（多选）5．（2024•蜀山区校级模拟）已知a，b为不相等的正实数，满足a+1A．a+b＞2 B．1aC．ba+16b（多选）6．（2024•河池二模）若a＞0＞b＞c，则下列结论正确的是（）A．ac＞ab B．b2a＞C．a-ba-c＞bc（多选）7．（2024•遵义二模）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a＞0，则下列结论正确的是（）A．（ac）2＞（bc）2 B．2024a﹣c＞2024a﹣b C．2a+3a＞2b+2b D．若a+b＝2，则a2+b2的最小值为2（多选）8．（2024•鼓楼区校级模拟）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝1，下列不等式恒成立的是（）A．1a+1b≥2 B．a+b≥2 C．a3+b3≤（多选）9．（2024•昔阳县校级模拟）下列结论中，错误的结论有（）A．y＝x（4﹣3x）取得最大值时x的值为1 B．若x＜﹣1，则x+1x+1的最大值为﹣C．函数f(x)=x2+5D．若a＞0，b＞0，且a+b＝2，那么1a+（多选）10．（2024•崂山区校级二模）已知正实数a，b，c，且a＞b＞c，x，y，z为自然数，则满足xa-b+yb-c+zc-a＞A．x＝1，y＝1，z＝4 B．x＝1，y＝2，z＝5 C．x＝2，y＝2，z＝7 D．x＝1，y＝3，z＝9

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：相等关系与不等关系（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•广汉市校级模拟）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＜c﹣d C．ad＞bc D．c【考点】不等式比较大小．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】AD【分析】利用不等式的性质可判断AD；举反例可判断BC．【解答】解：对于A，因为a＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正确；对于B，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，所以a﹣b＝1＝c﹣d＝1，故B错误；对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，所以ad＝﹣4＜bc＝﹣1，故C错误；对于D，因为a＞b＞0＞c＞d，所以1b可得-db＞-c故选：AD．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．（多选）2．（2024•邵阳三模）若正数x，y满足2x+y＝xy，则（）A．xy≤8 B．8x+y≥18 C．1x2+4【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用基本不等式、基本不等式“1”的妙用逐项判断即可．【解答】解：对于A，正数x，y满足2x+y＝xy，则xy=2x+y≥22xy，当且仅当y＝2x解得，xy≥8，A错误；对于B，由2x+y＝xy，得1x则8x+y=(8x+y)(1当且仅当yx=16xy，即y＝4x，即y＝6，x对于C，由1x+2y=1因此1x2+对于D，由2x+y＝xy，得xy﹣2x﹣y+2＝2，即（x﹣1）（y﹣2）＝2，由1x+2y=1，得x＞1，y当且仅当3x-1=1y-2，即故选：BCD．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．（多选）3．已知a＞0，b＞0且a+b＝4，则a3+b3的取值可以为（）A．18 B．14 C．32 D．66【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】AC【分析】先利用基本不等式求出ab的范围，再结合立方和公式即可得解．【解答】解：因为a+b＝4，所以ab≤(a+b)24=4，当且仅当所以ab∈（0，4]，所以a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝4（a2+b2﹣ab），又因为（a+b）2＝16，即a2+b2＝16﹣2ab，则a3+b3＝4（16﹣3ab）∈[16，64）．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．（多选）4．（2024•天心区校级模拟）下列函数中最小值为2的是（）A．y＝x2+2x+3 B．y=|sinx|+1C．y＝2x+21﹣x D．y=lnx+【考点】基本不等式及其应用；函数的最值；利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】AB【分析】利用基本不等式逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A，y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，所以y的最小值为2，故A正确，对于B，y=|sinx|+1|sinx|≥2，当且仅当|sinx|=1|sinx|，即sinx＝±1时，等号成立，所以y对于C，y＝2x+21﹣x≥22x⋅21-x=22，当且仅当2x＝21﹣x，即x=1对于D，当0＜x＜1时，lnx＜0，则y＝lnx+1lnx＜0，所以y的最小值不是2故选：AB．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．（多选）5．（2024•蜀山区校级模拟）已知a，b为不相等的正实数，满足a+1A．a+b＞2 B．1aC．ba+16b【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】ABD【分析】A选项，方程变形得到ab＝1，利用基本不等式求出答案；B选项，由ab＝1变形后，利用基本不等式求出最值；C选项，由由ab＝1变形得到ba+16b=b2ab+16b=b2+16b，构造f(x)=x【解答】解：由a+1a=b+1b故(a-因为a≠b，所以1-1ab=0，所以ab＝1，故由A选项可知，ab＝1，又a＞0，b＞0，故1a当且仅当a=2+1，b=2-1时或a=2-1由A选项可知，ab＝1，又a＞0，b＞0，故ba令f(x)=x2+令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，可知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），故f（x）≥f（2）＝12，故ba+168a2+b2a2+1≥4等价于8a2+b2≥4a2+4，即因为ab＝1，又a＞0，b＞0，故4a2+b2≥4ab＝4，当且仅当2a＝b，即a=22，故选：ABD．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论，函数的单调性在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）6．（2024•河池二模）若a＞0＞b＞c，则下列结论正确的是（）A．ac＞ab B．b2a＞C．a-ba-c＞bc【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：∵a＞0＞b＞c，∴b﹣c＞0，bc＞0，∴ac-ab=a(b-c)不妨取a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2a＝（﹣2）2＝4，c2a＝（﹣3）2＝9，显然4＜9，故B错误；∵a＞0＞b＞c，∴c﹣b＜0，a﹣c＞0，∴a-ba-c-bc=∵a＞0＞b＞c，∴a﹣c＞0，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a-∴a-c≥故选：ACD．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．（多选）7．（2024•遵义二模）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a＞0，则下列结论正确的是（）A．（ac）2＞（bc）2 B．2024a﹣c＞2024a﹣b C．2a+3a＞2b+2b D．若a+b＝2，则a2+b2的最小值为2【考点】基本不等式及其应用；等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】BC【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，函数的性质，即可求解．【解答】解：对于A，当c＝0时，（ac）2＝（bc）2，故A错误；对于B，a＞b＞c，则a﹣c＞a﹣b，y＝2024x在R上单调递增，故2024a﹣c＞2024a﹣b，故B正确；对于C，a＞b，则3a＞2a＞2b，2a＞2b，故2a+3a＞2b+2b，故C正确；对于D，a+b＝2，则a2+b2＝a2+（2﹣a）2＝2（a﹣1）2+2，a＞0，当a＝1时，a2+b2的最小值为2，但当a＝1时，b＝1，不符合题意，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于中档题．（多选）8．（2024•鼓楼区校级模拟）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝1，下列不等式恒成立的是（）A．1a+1b≥2 B．a+b≥2 C．a3+b3≤【考点】基本不等式及其应用；不等关系与不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，利用基本不等式转化变形，然后对选项逐一判断，即可证明．【解答】解：对于A，因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，所以1+ab≥2ab，所以ab≤1，又1a+1b≥2ab又ab≤1，所以2ab≥21=2对于B，因为a＞0，b＞0，所以ab≤由a2+b2﹣ab＝1，得（a+b）2﹣3ab＝1，则(a+b)2-1=3ab≤3(a+b)24所以（a+b）2≤4，即a+b≤2，故B错误；对于C，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），又a2+b2﹣ab＝1，即a3+b3＝a+b，由B选项可知，a+b≤2，所以a3+b3≤2，故C正确；对于D，由a2+b2﹣ab＝1，得(a-则1-34b2又b＞0，所以0＜b≤故选：ACD．【点评】本题考查了不等关系与不等式，基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．（多选）9．（2024•昔阳县校级模拟）下列结论中，错误的结论有（）A．y＝x（4﹣3x）取得最大值时x的值为1 B．若x＜﹣1，则x+1x+1的最大值为﹣C．函数f(x)=x2+5D．若a＞0，b＞0，且a+b＝2，那么1a+【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】ABC【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式判断各选项．【解答】解：对于A，y＝x（4﹣3x）的对称轴为x=2所以y＝x（4﹣3x）取得最大值时x的值为23，故A对于B，令y=x+1若x＜﹣1，则﹣（x+1）＞0，所以-(x+1)-1x+1≥2所以(x+1)+1x+1≤-2即最大值为﹣3，故B错误；对于C，函数f(x)=x令t=x2+4≥2，当t+1t=2对于D，若a＞0，b＞0，且a+b＝2，1a当ba=2ab且a+b＝所以1a+2b的最小值为故选：ABC．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）10．（2024•崂山区校级二模）已知正实数a，b，c，且a＞b＞c，x，y，z为自然数，则满足xa-b+yb-c+zc-a＞A．x＝1，y＝1，z＝4 B．x＝1，y＝2，z＝5 C．x＝2，y＝2，z＝7 D．x＝1，y＝3，z＝9【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】BC【分析】根据题意，不等式xa-b+yb-c+zc-a＞0等价于[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+yb-c）＞z，利用基本不等式求最值，算出不等式左边的最小值是（x+y）2，因此满足【解答】解：根据正实数a、b、c满足a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，不等式xa-b+将a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）代入，整理得[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+y因为[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+yb-c）＝x+y+x(b-c)a-b+y(a-b)b-c≥当且仅当x(b-c)a-b=y(a-b)若xa-b+yb-c+zc-a＞0恒成立，即对于A，x＝1，y＝1，z＝4时，（x+y）2＝4＝z，故对于B，x＝1，y＝2，z＝5时，（x+y）2＝3+22＞z＝对于C，x＝2，y＝2，z＝7时，（x+y）2＝8＞z＝7，故对于D，x＝1，y＝3，z＝9时，（x+y）2＝4+23＜z＝故选：BC．【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．

考点卡片1．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且2．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．3．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．4．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．6．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法