统考版2024高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲10空间几何体的三视图表面积体积学案含解析文

PAGE10-空间几何体的三视图、表面积、体积命题点1空间几何体的三视图、绽开图、截面图三视图、绽开图、截面图中的几何度量(1)空间几何体的三视图：①在长方体或正方体中依据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系；②依据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量．(2)空间几何体表面距离最短问题：其解题思路经常是将几何体绽开．一般地，多面体以棱所在的直线为剪开线绽开，旋转体以母线为剪开线绽开．(3)空间几何体的三类截面：轴截面、横截面与斜截面．利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．[高考题型全通关]1．[教材改编]已知圆锥的侧面绽开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l∶r＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中全部正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③A[对于①，由题意得eq\f(2πr,l)＝eq\f(3,2)π，∴eq\f(l,r)＝eq\f(4,3)，∴l∶r＝4∶3，∴该结论正确；对于②，由题意得eq\f(S圆锥侧面积,S圆锥底面积)＝eq\f(\f(1,2)·l·2πr,πr2)＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,3)，∴圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3，∴该结论正确；对于③，由题意得轴截面的三角形的三边长分别为eq\f(4,3)r，eq\f(4,3)r,2r，顶角α最大，其余弦值为cosα＝eq\f(\f(16,9)r2＋\f(16,9)r2－4r2,2×\f(16,9)r2)＝－eq\f(1,8)<0，∴顶角为钝角，∴轴截面三角形是钝角三角形，∴该结论错误．]2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，C[过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图，则该几何体的侧(左)视图为C．故选C．]3.(2024·芜湖仿真模拟一)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是(A．①④B．②③C．②④D．①②A[从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的状况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的状况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的状况，故选A．]4．(2024·全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E B．FC．G D．HA[该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，明显选A．]5．[高考改编]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(3,2)D[在棱长为2的正方体中还原该四面体P­ABC．如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC．因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为eq\f(3,2)，故选D．]6．圆锥的母线长为l，过顶点的最大截面的面积为eq\f(1,2)l2，则圆锥底面半径与母线长的比eq\f(r,l)的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D[设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝eq\f(1,2)l2sinθ，而0＜sinθ≤1，所以当sinθ＝1，即截面为等腰直角三角形时取得最大值，故圆锥的轴截面的顶角必需大于或等于90°，得l＞r≥lcos45°＝eq\f(\r(2),2)l，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,l)＜1.]7．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝eq\r(3)，AA1＝4，若点P从点A动身，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A．5 B．eq\r(31)C．4eq\r(2) D．6B[将三棱柱绽开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝eq\f(\r(3),2)，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin60°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，所以C1D＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2)，AD＝eq\f(\r(3),2)，所以AC1＝eq\r(AD2＋C1D2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(31).]命题点2空间几何体的表面积、体积求解几何体的表面积或体积的策略(1)干脆法：对于规则几何体可干脆利用公式计算；(2)割补法：对于不规则几何体，可采纳“分割、补体”的思想，采纳化整为零或化零为整求解．(3)轴截面法：对于旋转体的表面积问题，经常借助轴截面求解．(4)等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，干脆求解不便利时，可采纳转换底面的方式求解；尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采纳等体积转换法求解．[高考题型全通关]1．(2024·潍坊模拟)若圆锥的高等于底面直径，侧面积为eq\r(5)π，则该圆锥的体积为()A．eq\f(1,3)πB．eq\f(2,3)πC．2πD．eq\f(16,3)πB[圆锥的高等于底面直径，侧面积为eq\r(5)π，设底面半径为r，则高h＝2r，∴母线长l＝eq\r(r2＋4r2)＝eq\r(5)r，∴s＝π×r×eq\r(5)r＝eq\r(5)π，解得r＝1，该圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(2,3)π.故选B．]2．[高考改编]榫卯(sǔnmǎo)是两个木构件上所采纳的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为()A．8＋16π，2＋8π B．9＋16π，2＋8πC．8＋16π，4＋8π D．9＋16π，4＋8πA[由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱(底面圆半径为2，高为2)．其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×2))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×2))＝8＋16π.其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))×2＋1×1×2＝8π＋2.故选A．]3.设直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V，点P，Q分别在侧棱AA1，CC1上，且PA＝QC1，则三棱锥B1­BPQA．eq\f(1,6)V B．eq\f(1,4)VC．eq\f(1,3)V D．eq\f(1,2)VC[设A到BC的距离为h,∵直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V点P，Q分别在侧棱AA1，CC1上，且PA＝QC1,∴V＝eq\f(1,2)×BC×h×AA1，三棱锥B1­BPQ的体积为：VB1­BPQ＝VP­BB1Q＝eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)BC×AA1＝eq\f(1,3)V.故选C．]4．若正三棱锥A­BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A­BCD的高为()A．eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(6),3)A[设三棱锥A­BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(2),2)BC＝eq\f(\r(2),2)，△BCD的面积为eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).由VA­BCD＝VB­ACD得eq\f(1,3)S△BCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·AB，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝eq\f(\r(6),6)，即三棱锥A­BCD的高h＝eq\f(\r(6),6).]5．已知一个三棱锥的全部棱长都是eq\r(2)，则该三棱锥的体积为________．eq\f(1,3)[记全部棱长都是eq\r(2)的三棱锥为P­ABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱锥P­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).]6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB11∶eq\r(3)[设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1­AB1C为正四面体，每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).]7.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧eq\o(EB,\s\up20(︵))、eq\o(EC,\s\up20(︵))(E在线段AD上)．由两圆弧eq\o(EB,\s\up20(︵))、eq\o(EC,\s\up20(︵))及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为__________．eq\f(2π,3)[题图中阴影部分绕AD旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，两个半球的体积为：2×eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4,3)π.圆柱的底面半径为1，高为2，∴圆柱的体积为π×12×2＝2π，∴该几何体的体积为2π－eq\f(4,3)π＝eq\f(2π,3).]8．[高考改编]已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3.eq\f(7π,3)[依据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1的圆锥．上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1.法一：(分割法)几何体的体积是eq\f(1,3)×π×12×1＋π×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×2))＝eq\f(7π,3).法二：(补体法)几何体的体积是eq\f(1,3)×π×12×1＋eq\f(1,2)×π×12×(1＋3)＝eq\f(7π,3).]9．用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为________．eq\f(16\r(3),π2)[设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)，∵R2＝r2＋h2，∴h＝eq\f(\r(3),2)R，∴V圆锥＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3；用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，圆柱的体积V圆柱＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,π)))eq\s\up12(2)π×2R＝eq\f(2,π)R3.则该圆柱与圆锥的体积之比为eq\f(\f(2,π)R3,\f(\r(3),24)πR3)＝eq\f(16\r(3),π2).]10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，①AE∥平面C1BD；②四面体ACEF的体积不为