2024-2025学年山东省临沂市郯城县高二上册11月期中数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省临沂市郯城县高二上学期11月期中数学检测试题注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选择每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40.0分）1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【正确答案】C【分析】先求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】变形为，故斜率为，设直线倾斜角为，则，因为，故.故选：C2.已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】根据椭圆焦点在轴，设出方程，结合题干条件列出方程组，求出，得到椭圆方程.【详解】因为椭圆的焦点在轴，所以设椭圆方程为，则，且，解得：，所以椭圆的标准方程为.故选：D3.已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出，进而利用两点式，求出直线方程.【详解】对化简得，，得，解得，点，又直线经过点P，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合，则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：.故选：B4.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.【详解】因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.5.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A.10 B.3 C. D.【正确答案】C【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.【详解】由题得，所以到平面的距离为，故选：C.6.一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】作点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，根据三角形三边关系可确定为所求的最短距离，由可求得结果.【详解】由圆的方程可得：圆心坐标，半径，设点关于轴对称点为，则，连接交轴于点，交圆于点，则为所求最短距离，证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号），，即最短路径的长度为.故选：A.7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.【正确答案】C【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.8.若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值.【详解】两直线满足，所以两直线垂直，由得，过定点，由得，过定点，故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，则线段OP的最大值为.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有一个或多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）9.关于直线，以下说法正确是（）A.直线l过定点 B.时，直线l过第二，三，四象限C.时，直线l不过第一象限 D.原点到直线l的距离的最大值为1【正确答案】ABD【分析】由确定定点坐标，根据a的符号判断直线所过的象限，根据时原点到直线l的距离的最大求最大距离.【详解】由过定点，A正确；当，过定点，斜率为负，故过第二、三、四象限，B正确；当，过定点，且斜率为正，过一、二、三象限，故C错误；要使原点到直线l的距离的最大，只需，即距离等于，D正确.故选：ABD10.已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（）A.两圆有两条公切线 B.直线的方程为C.线段的长为 D.圆上点，圆上点，的最大值为【正确答案】AD【分析】由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；对于B，因为圆，圆，两圆作差得即，所以直线的方程为，故B错误；对于C，圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，故C错误；对于D，圆的圆心，半径为1，所以，故D正确.故选：AD.11.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）A.2=2B.C.轴，且D.四边形的内切圆过焦点，【正确答案】BD【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．【详解】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；,若，则由射影定理可得：，即，所以，即，，解得；所以正确；，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，所以，所以不正确；，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，，，解得，所以，所以正确，故选：．三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.已知椭圆的离心率等于，则实数__________.【正确答案】或【分析】讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数的值.【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，，所以，解得：，当椭圆的焦点在轴时，，，，所以，解得.故或13.已知点在直线上，则的最小值为__________.【正确答案】5【分析】由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.【详解】由题得表示点到点的距离.又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.本题主要考查点到两点间距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.正方体棱长为1，为该正方体外接球表面上的两点，在正方体表面且不在直线上，若，则的最小值为__________．【正确答案】##0.5【分析】由向量的共线定理可得三点共线，再利用向量加法和数乘的运算法则计算即可.【详解】因为，所以三点共线，又因为正方体棱长为1，所以该正方体外接球的半径，所以.故答案为.四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16\17题各15分，18\19题各17分共77.0分）15.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；（2）根据向量的运算性质代入计算即可.【小问1详解】，，故∵点E为AD的中点，故.【小问2详解】由题意得，故，故.16.已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求（1）AC所在的直线的方程；（2）点B的坐标．【正确答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.【详解】因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.联立得方程组，化简得解得，故B(－1，－3)．(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．17.已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．（1）求圆的方程；（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.【小问1详解】解：圆心到直线的距离为，所以，圆的半径为，因此，圆的方程为.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，由题意可得，解得，此时，切线的方程为.综上所述，所求切线的方程为或.18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程为，利用“设而不求法”表示出，再表示出点到直线的距离，进而表示出，利用基本不等式求出面积的最大值．【小问1详解】由题意得，所以.因为的周长为12，所以，所以，故.所以椭圆的方程为．【小问2详解】由题意，直线不与轴重合，故设直线的方程为，由，得，，即，，．所以，又点到直线的距离．所以，所以（当且仅当时等号成立，且满足）.故面积的最大值为．19.已知三棱柱中，，，，．（1）求证：平面平面ABC；（2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，，理由见解析.【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.（2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性.【小问1