极坐标参数方程题型归纳7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化’7 ’7 7*A的极坐标为A2®—，则I4)1.(2015•广东理,14)已知直线l的极坐标方程为2psin0-%I 4)点A到直线l的距离为.［立意与点拨］本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化2、设P是椭帙I2/+刃户=12上的一个动点，则了+订的堆大值是.域小位为【解析】椭圆方程为：上+二=1,因为sHx+cos2x=1,令卜="116sm。,则有6 4 ［y=2cosaX+2y=w6sina+4cosa=.<6+16sinG+9),最大值工22,最小值—</22三、根据条件求直线和圆的极坐标方程日画的参数方程为日画的参数方程为::.:著—的肉为x=3sin^+4cos6, .L,,解析：ilr.门， 1#月-+尸=2口故半径为解析：ilry=4sin^-3cos^四、求曲线的交点及交点距离4.(2015・湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l+15的极坐标方程为P(sin0-5的极坐标方程为P(sin0-3cos0)=0,曲线C的参数方程为t（t为参数），l与C相交于A,B1ly=t++

两点,则|AB|=【解析】直线l的极坐标方程P（sin0-3cos切=0化为直角坐标方程为3x-y=0,曲线C的参数5方程1x二t-丁3x-y=05方程1x二t-丁3x-y=0，y2-X2=4两式经过平方相减，化为普通方程为乎-X2=4，联立,，3\：21ly=t+t，B停,亭\：2x=1-宁，5.5.在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2，y9.（t为参数，y9.（t为参数）.以原点为5+当，=4x相交于A、B两点，求线段AB的长.［解析］解法1:将l的方程化为普通方程得l:x+y=3，•y=-x+3，代入抛物线方程y2=4x并整理得x2-10x+9=0，.•交点A（1,2），B（9，-6），故|AB|=泡+82=8<2.2解法2：将l的参数方程代入y2=4x中得，（2+/t）2=4（1-解之得t1=0，t2=-8短，,1ABi=1tl-12|二8季x/t，2 26.（2015•陕西理，23）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，oC的极坐标方程为p=2\,：3sine.（1）写出。C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.［立意与点拨］考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题（1）需熟记极直互化公式；（2）用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解.［解析］(1)由P=2\"sine,得P2=2\,"psine,从而有X2+y2=2季V，所以X2+(y-\间2=3.(2)设P(3+2t,二t),又C(0,、$),则|PC|=\ 3+2t2+T1-\：'32=\「2+12,故当t=0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0).五、利用参数方程求最值（转化与化归思想和函数思想）了，农曲践孰：<；一如］炉c为参数）上求-使它到直线qJC=-2^/2-4-—f， 2（f为参数）的距离最小，并求出读点坐标和最小距离1>［立意与点拨］（用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧）TOC\o"1-5"\h\z解：直然心化成普通“程是工•”五-1。 C设阳求时点为P£I,门皤凡sin。）则C到直线G的距离d= 十胃+、五一" （\=|sin（-7.| \:例？■争九即》=苧|由d联最小值1 、 Vx=tcosa,8.（2015•新课标n高考）在直角坐标系xOy中，曲线C：< （t为参数,t/0），其中0«a<n,y=tsina在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=2sine，C3：p=2\「cose.

⑴求c2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB的最大值.X=0,<y=0，或【解】⑴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=,，曲线C3的直角坐标方程为X2+YX=0,<y=0，或X2+y2-2y=0，联立' c解解解得,X2+y2-2y3x=0，所以C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和［金，2⑵曲线C1的极坐标方程为e=a（pwR，PW0），其中0«a<n.（此题C1代表的是一条过原点的直线）因此A的极坐标为（2sina，a），B的极坐标为（2\Acosa，a）.所以|AB|=|2sina-Z^cosa|=4sin1-5n当a=工时，|AB|取得最大值，最大值为4.9.（2015•商丘市二模）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的n'极坐标方程为：n'极坐标方程为：psin0-716）12,曲线c的参数方程为x=2+2cosa，y=2sina.⑴写出直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值./ n、［/ n、［解析］⑴7psin0-6I 6)1，qsin。-‘cosS=］，\,'13 1 1•・y-2x=2，即1：x-'；'3y+1=0.（2）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为（2+2cosa，2sina），所以，曲线C上的点到直线l的距离d|2+2cosa-d|2+2cosa-213sina+1|n、4cosa+3I3)2+3<2，所以最大距离为2.解法二：曲线C为以（2,0）为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为2，所以，最大距离为2+2=x=2x=2+t彳+ （t为参数）.y=2-2t当sin(0+a)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为—ii.已知直线，叠过点尸a,d领斜他以二三6x2y210.（文）（2014•新课标I理，23）已知曲线C:4+-=1，直线l:⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA的最大值与最小值.x=2cos0,［解析］(1)曲线C的参数方程为| 八(0为参数)直线l的普通方程为：2x+y-6=0.y=3sin0,（2）曲线C上任意一点P（2cos0,3sin。）到l的距离为d二?4cosC+3sin0-6|.d 2,J5 4则|PA|二i二|5sin(0+a)-6|,其中a为锐角,且tana=-.sn(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化,转化化归思想,高考考点考察学生思维能力)①匕出了国U的参数方程;②设I与圆/+丁=4相交与两点儿求点尸到两点的距离之根.

x=14-fees—fl）直线的参数方程为， 6y=1+fsin—（2）把直线J“ 6（2）把直线J方法户=近8鼠口+工）方法户=近8鼠口+工）分别化为普通方程:4得（1+口1尸+（1+:/=4,八（,+1,*-2=。.也则点P到4B两点的距离之枳为2.㈠为参数）破曲线q=0883+工）所戳的弦长.43a,+4y+1=0x'+y2-x+y=Ot圆心C（1.-1）,半径为正圆心到直线的距离d='.骁长=R产一产=入口,=:2 2 2 10 121005方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长二|。式2«将方程P=V2cos（^+—）分别化为普通方程：F+y1-x+y=0.44x=n■一r将53r代入国方程y=I f5得：-卜丁I5J35方程化简，然后用韦达定理求弦长叫＜=+12—4%t-2 1213.（理）在直角坐标系xOy中,过点P（?,｝作倾斜角为a的直线l与曲线C:X2+y2=1相交于不同的两点M、N.11⑴写出直线1的参数方程；（2）求两+两的取值范围.11（根据直线参数方程中t的几何意义,用参数t表示所求量两+两，然后用t的二次方程的韦达定理,转化成三角函数进而求范围，此题较难）<［解析］ (1)3x=亍<［解析］ (1)3x=亍+tcosa,、y=2+tsina,（t为参数）.<(2)将x=-2-+tcosa,、y=3+tsina.

2(t为参数)代入X2+y2=1中，消去x,y得，t2+(y3cosa+3sina)t由△=(、：’3cosa+3sina)由△=(、：’3cosa+3sina)2-8=12sin2(a+6)-8>0=sin(a+q)>1111

f+f.= +1PMiipni-t1-t2t+1 、：3cosa+3sina广nll中=」2 1①岫+/、2,\网.12七、求动点坐标、求变量的值<14.（2015•陕西理<14.（2015•陕西理，23）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1x=3+2t,y"tiy-2t（t为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，oC的极坐标方程为p=2\'3sine.（1）写出。C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.

［立意与点拨］考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题⑴需熟记极直互化公式；（2）用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解.(2)设P(3+1t,当t)［解析］⑴由P=2\"sin。，得P2=2-'3psin0,从而有X2+y2=2y3y，所以X2(2)设P(3+1t,当t),又C(0,1r3),则|PC|=\3 3+|t2+知-手2=\产2+12,故当t=0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为（3,0）.（此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值）15.（2016全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线c的参数方程为］'—acost， （t为参数，a>0）.在1 ［y=1+asint,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:p=4cos9.（i）说明c1是哪一种曲线，并将c1的方程化为极坐标方程；（口）直线。3的极坐标方程为9=a0,其中a0满足tana0=2,若曲线Q与C2的公共点都在C3上,求a,【解析】：⑴1%=61C0St （t均为参数）〃•.x2+（y一1）2=a2①y=1+asint・••C1为以（0，1）为圆心，a为半径的圆•方程为x2+y2-2y+1-a2=0:%2+y2=p2，y=psin9，:p2-2psin9+1-a2=0即为C的极坐标方程⑵C：p=4cos9，两边同乘p得p2=4pcos9 p2=%2+y2，pcos9=xx2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4②,C§：化为普通方程为y=2x由题意：C/口C2的公共方程所在直线即为C3，①一②得：4x-2y+1-a2=0,即为C3・T-a2=0,•.a=1（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减，可得变量的方程）'n）316.（文）（2015•唐山市二模）在极坐标系中，曲线C：p=2acos0（a>0）,l：pcos0-3=-,C与l有且仅I 3J2有一个公共点.n⑴求a; （2）O为极点，A,B为C上的两点，且/AOB=a,求|OA|+|OB|的最大