2023-2024学年广东省深圳市龙城初级中学九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题龙城初级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.下列图标中，是中心对称图形是（）A. B. C. D.2.已知，下列式子不一定成立的是（）A B. C. D.3.若分式有意义，则x的取值范围是（）．A. B. C. D.4.正十边形的一个外角的度数为（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.6.下列命题中，为假命题的是()A.两组邻边分别相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形7.如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（）A（1，4） B.（1，3） C.（2，4） D.（2，3）8.如图，四边形是菱形，于点H，则线段长为（）A. B. C. D.9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，每天修建的公路比原计划增加了40%，结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（）A. B.C. D.10.如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（）A. B. C.17 D.二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：=____．12.若方程的一个根是m，则代数式_____．13.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．14.如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为_____．15.如图，在中，，点P是边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作边的垂线，垂足分别为M、N，则的最小值是______．三．解答题（共55分）16.先化简，再求值：，其中17.解一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．18.如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？19.如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（1）画出绕C点顺时针旋转90°得到的，直接写出的坐标为；（2）若和，关于原点O成中心对称，请画出；（3）在（1）的旋转过程中，求扫过图形的面积．20.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．21.如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，．（1）证明：四边形是菱形；（2）在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积．22.已知：直线经过点A（-8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）求直线AB的表达式．（2）求AC的长．（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．

龙城初级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.下列图标中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．2.已知，下列式子不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．【详解】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；C、∵，∴，∴；故C成立，不符合题意；D、，m的值不确定，故D不成立，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.若分式有意义，则x的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分式的分母不为零求解即可．【详解】解：∵分式有意义∴x+6≠0，解得，故选：D．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．4.正十边形一个外角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．【详解】解：，∴正十边形的每一个外角的度数是，故选：D．【点睛】本题主要考查了正多边形外角，熟知正多边形外角与边数的关系式解题的关键．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：，计算正确，故此选项符合题意；B、，原计算错误，故此选项不符合题意；C、，原计算错误，故此选项不符合题意；D、，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6.下列命题中，为假命题的是()A.两组邻边分别相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据特殊的平行四边形的判定即可逐一判断．【详解】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故选项A中的命题是假命题，故选项A符合题意；

对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；

四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；

故选：A．【点睛】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握特殊的平行四边形的判定定理，会判断命题的真假．7.如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B的对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（）A.（1，4） B.（1，3） C.（2，4） D.（2，3）【答案】A【解析】【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点D的坐标即可．【详解】∵A（﹣1，0）的对应点C的坐标为（2，1），∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1，∵点B（﹣2，3）的对应点为D，∴D的坐标为（1，4）．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．8.如图，四边形是菱形，于点H，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出菱形的边长，利用面积法求得的长.【详解】解：∵四边形是菱形，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握面积法是解题的关键．9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，每天修建的公路比原计划增加了40%，结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设原计划每天修建x米，求出现在每天修健x（1+40%）米，先求出原来修建需要天数，提高效率后需要天数为，两者作差等于提前的天数，列方程即可．【详解】解：设原计划每天修建x米，每天修健的公路比原计划增加了40%所以现在每天修健x（1+40%）米，根据题意得：，即：．故选C．【点睛】本题考查工程问题分式应用题，掌握列分式方程解工程问题的方法与步骤，抓住原计划天数-实际天数=5是解题关关键．10.如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（）A. B. C.17 D.【答案】C【解析】【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，∴，∴点从点运动到点所需的时间为；∴点从点运动到点的时间为，∴；在中：；故选C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：=____．【答案】．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．12.若方程的一个根是m，则代数式_____．【答案】6【解析】【分析】由方程的一个根是m可得，进而可求出的值．【详解】解：把代入，得，∴，∴代数式．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．13.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．【答案】9【解析】【分析】根据根判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据题意得△，解得．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．14.如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为_____．【答案】20．【解析】【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝30°，根据直角三角形的性质得到BC＝AB＝4，根据勾股定理得到AC＝，根据平移的性质得到AD＝BE＝7，AD∥BE，求得CE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论．【详解】∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵AB＝8，∴BC＝AB＝4，∴AC＝，∵将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，∴AD＝BE＝7，AD∥BE，∴CE＝3，∴图中四边形ACED的面积＝×（7+3）×4＝20，故答案为：20．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．15.如图，在中，，点P是边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作边的垂线，垂足分别为M、N，则的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】证明四边形是矩形，推出，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如下图，连接，在中，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小，即的值最小，，最小值是，故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．三．解答题（共55分）16.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】根据分式混合运算法则先化简，再代值求解即可得到答案．【详解】解：，，；当时，原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．17.解一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4），【解析】【分析】（1）先移项，然后根据因式分解法求解方程即可；（2）根据因式分解法求解方程即可；（3）根据配方法进行求解方程即可；（4）根据公式法进行求解方程即可．【小问1详解】解：解得：；【小问2详解】解：解得：；【小问3详解】解：∴【小问4详解】解：∴∴，∴∴，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18.如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？【答案】【解析】【分析】把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可．【详解】解：设水渠的宽度为xm，由题意得：(92-2x)(60-x)=885×6解得x1=105(不含题意，舍去)，x2=1∴x=1答：水渠的宽度为1m．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．19.如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（1）画出绕C点顺时针旋转90°得到的，直接写出的坐标为；（2）若和，关于原点O成中心对称，请画出；（3）在（1）的旋转过程中，求扫过图形的面积．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）如图，结合网格图特点，由勾股定理，确定A，B对应的点即为格点,为所作，点的坐标为；（2）如图，结合中心对称的定义，确定的对应点分别为，顺次连接三点即得；（3）由勾股定理，根据扇形的面积公式求解扫过图形的面积．【小问1详解】解：如图，由勾股定理可确定A，B对应的点即为格点,，为所作，点的坐标为；故答案为：；【小问2详解】解：如图，确定的对应点分别为，顺次连接三点即得；【小问3详解】解：∵，所以扫过图形的面积．【点睛】本题考查网格图中图形旋转，中心对称的定义及画图，扇形面积的求解；理解中心对称、旋转的定义是解题的关键．20.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．【答案】（1）每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．（2）购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为元，根据“用3300元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可；（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，然后根据意义列出y与m的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定m的取值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答．【小问1详解】解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为元，根据题意得，，解得，经检验，是原方程的根．（元）．答：每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．【小问2详解】解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得：，即，∵，∴y随x的增大而增大，当时，（元）．答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式以及函数解析式是解答本题的关键．21.如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，．（1）证明：四边形是菱形；（2）在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得出，由，得出四边形是菱形；（2）由菱形的性质得出，证明，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质和菱形的面积公式进行计算即可．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，是线段的垂直平分线，，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；【小问2详解】解：由（1）得：四边形是菱形，，，，，，，，，，四边形的面积．【点睛】本题考查