2023-2024学年广东省深圳市福田区八校联考九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题福田区八校2023-2024学年第一学期九年级开学联考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.的值介于（）A.25与30之间 B.30与35之间 C.35与40之间 D.40与45之间2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.3.以下调查中，适宜全面调查的是（）A.了解全班同学每周体育锻炼的时间 B.调查某批次汽车的抗撞击能力C.调查春节联欢晚会的收视率 D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数4.若代数式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.且5.下列命题不正确的是（）A.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B.负数的立方根是负数C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.五边形的外角和是6.如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（）A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D.两点之间线段最短7.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（）A. B.C. D.8.下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个9.小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A2.7分钟 B.2.8分钟 C.3分钟 D.3.2分钟10.如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（）A.4 B. C. D.二．填空题（每题3分，共15分）11.计算：______________．12.如图，已知直线平分，则度数是_______．13.若实数m满足，则________．14.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，⋯，以此类推．则_______．15.如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则_______．三．解答题（共55分）16.计算：（1）；（2）．17.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．19.2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a98九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________，________．（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．20.如图，是矩形的对角线．（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．①判断四边形的形状，并说明理由；②若，求四边形周长．21.点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．①求直线l的解析式；②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．22.（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线中点，是的中点，是的中点，求证：．（2）用数学思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．（3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．福田区八校2023-2024学年第一学期九年级开学联考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.的值介于（）A.25与30之间 B.30与35之间 C.35与40之间 D.40与45之间【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．【详解】解∶∵．∴即，∴的值介于40与45之间．故选D．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；B、与不是同类二次根式，不符合题意；C、，与是同类二次根式，符合题意；D、，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3.以下调查中，适宜全面调查的是（）A.了解全班同学每周体育锻炼的时间 B.调查某批次汽车的抗撞击能力C.调查春节联欢晚会的收视率 D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【答案】A【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4.若代数式有意义，则实数取值范围是（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：∵代数式有意义，∴，解得且，故选：D【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．5.下列命题不正确的是（）A.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B.负数的立方根是负数C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.五边形的外角和是【答案】C【解析】【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．6.如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（）A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D.两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．【详解】解：O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．7.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】【分析】根据有理数的乘法，科学记数法，分式方程的解，一元一次不等式的解，实数的分类一一判断即可．【详解】解：①若，则，或，，故错误；②数用科学记数法表示为，故错误；③若关于x方程有增根，解得：，则，则，故错误；④是无理数，不是分数，故正确；⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则，∴，解得：，则a的最大值是4，故正确；∴共有2个正确，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的乘法，科学记数法，分式方程的解，一元一次不等式的解，实数的分类，知识点较多，但难度不大，要能熟练运用所学知识点对每个点进行准确判断，方能正确作答．9.小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A.2.7分钟 B.2.8分钟 C.3分钟 D.3.2分钟【答案】C【解析】【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．【详解】解：如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）设AE的解析式为y=kx+b，则，解得∴直线AE的解析式为y=x-a同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y=联立，解得联立，解得两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．故答案为C．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．10.如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，，，作交的延长线于，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【详解】解：如图，取的中点，连接，，，作交的延长线于，由题意可得：，，点是的中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，点的运动轨迹是射线，，，，，，，在中，，，，，在中，，，的最小值为；故选C．【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.计算：______________．【答案】【解析】【分析】运用同底数幂的运算法则计算求解．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂的运算；掌握运算法则是解题的关键．12.如图，已知直线平分，则的度数是_______．【答案】##70度【解析】【分析】由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．【详解】解：，，平分，，，．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．13.若实数m满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．14.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，⋯，以此类推．则_______．【答案】42【解析】【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到，这时；第3圈有16个点，即到，这时；，依次类推，第圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则，即，故答案为：42．【点睛】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．15.如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则_______．【答案】【解析】【分析】如图，过点作于，由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可得结论．【详解】解：如图，过点作于，∵，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，，∵，，∴；故答案为：．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三．解答题（共55分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）2022（2）【解析】【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解；（2）根据分式的运算可进行求解．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键．17.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：（2）若学校决定购买以上两种书总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元（2）该校最多可以购买甲种书40本【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．【小问1详解】解：设甲种书单价为x元，乙种书的单价为y元，可得方程，解得，原方程的解为，答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．【小问2详解】解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据题意可得，解得，故该校最多可以购买甲种书40本，答：该校最多可以购买甲种书40本．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．【答案】(1)（2）见解析（3）是【解析】【详解】试题分析:（1）（2）（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下：考点：本题考查轴对称图形．点评：轴对称的知识虽然是偏基础的，但是要求学生不仅能够辨认识别并判断轴对称图形，还要求学生能够画出已知图形的轴对称图形以及相应的对称轴．19.2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a98九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________，________．（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【答案】（1）84，100，；（2）200人【解析】【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：∵一共抽取八年级学生15人，∴中位数是排序后的第8个数据，∵1+5=6，∴第8个数据落在C组，∴a第八名学生成绩，即；∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，∴，∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，∴；故答案为：84，100，；【小问2详解】解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．20.如图，是矩形的对角线．（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．①判断四边形的形状，并说明理由；②若，求四边形的周长．【答案】（1）图见详解（2）①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为【解析】【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解；（2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．【小问1详解】解：所作线段的垂直平分线如图所示：【小问2详解】解：①四边形是菱形，理由如下：如图，由作图可知：，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵是的垂直平分线，∴，∴四边形是菱形；②∵四边形是矩形，，∴，由①可设，则，∵，∴，即，解得：，∴四边形的周长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．21.点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．①求直线l的解析式；②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．【答案】（1）y＝4﹣x（0＜x＜4）；（2）①y＝x+；②