新北师大版八年级下册初中数学全册教案

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时1全等三角形、等腰三角形的性质

1.能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.

2.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索

活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.

3.启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖

和相互补充的辩证关系.

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.

明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.

提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.

【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.

L你能用所学知识证明吗？

已知：ZkABC与ADEF,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求证：△ABC^^DEF.

证明：VZA=ZD,ZB=ZE（已知），ZA+ZB+ZC=180°,

ZD+ZE+ZF=180°（三角形内角和等于180°）,

・•.ZC=180°-(ZA+ZB),ZF=180°-(ZD+ZE),

AZC=ZF(等量代换).又BC=EF(已知)，

AAABC^ADEF(ASA).

【归纳结论】

（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；

（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，

对应角相等；

2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折

【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可

以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组

进行交流，互相弥补不足.

【归纳结论】

（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角“）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.

例1在△ABC中，AB=AC,NA=500,求NB、NC的度数

分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于

180。来计算.

解：在△ABC中，AB=AC,

AZB=ZC.(等边对等角)

VZA+ZB+ZC=180°,NA=50°,

AZB=ZC=65°.

例2已知在△ABC中，AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上一动

点但不与A重合，且OB=OC,试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明

你的猜想的理由.

解：猜想：AE_LBC,BD=CD.

证明：VAB=AC,OB=OC,AO=AO,

AAABO^AACO(SSS).

AZBAO=ZCAO.

・・・AE为/BAC的平分线.

AAE1BC,BD=CD.

例3如图，AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点，且

AE=CF,DE二BF.请推导下列结论：(1)ZD=ZB；(2)AE〃CF.

证明：(1)•・•在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,

AAADE^ACBF(SSS).

AZD=ZB

(2)VAADE^ACBF,

JZAED=ZCFB,

ZAEO=ZCFO.

•・•在△AOE^ACOF中，NAEO=NCFO,

...AE〃CF.

例4如图，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC,NBAC=100。.求N1、N3、

NB的度数.

解：•・,在^ABC中，AB=AC,AD±BC,

JZBAD=ZCAD,AZ1=-ZBAC=50°.

又・・・AD_LBC・・・N3=90。.

在小ABC中,AB=AC,AZB=ZC=40°.

【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师

要在黑板上板书过程.

本节课应掌握：

1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.

2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.

教材“习题1.1”中第1、3题.

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时2等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质

1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.

2.把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三

角形的相同之处和不同之处.

3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

等腰三角形、等边三角形的相关性质.

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出

一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？

【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习

兴趣.

探究1.在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观

察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.

【归纳结论】

等腰三角形两个底角的平分线相等;

等腰三角形腰上的高相等;

等腰三角形腰上的中线相等.

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等“，的证明方法:

证明：VAB=AC,

/.ZABC=ZACB.

VBD>CE为NABC、NACB的平分线,

AZ3=Z4.

在^ABDfllAACE中，

Z3=Z4,AB=AC,NA=NA.

AABD^AACE(ASA).

・・・BD二CE（全等三角形的对应边相等）.

你能证明其它两个结论吗?

探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：在△ABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=ZB=ZC=60°.

证明：在△ABC中，VAB=AC,・・・NB=NC（等边对等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代换）.

又「NA+NB+NC=180〉，

AZA=ZB=ZC=60°

【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60。.

【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测

量验证的基础上探究出结论.

例L如图，己知△ABC和ABDE都是等边三角形.求证:AE=CD.

证明：••'△ABC和△BDE都是等边三角形.

・•・ZABE=ZCBD=60°,

AB=CR,BE=BD.

在^ABE与ACBD中，

AB=CB,

ZABE=ZCBD,

BE=BD.

；・AABE^ACBD(SAS).

AAE=CD.

例2.如图，△ABC中，AB=AC,E在CA的延长线上,且ED_LBC于D,

求证：AE=AF

证明：VAB=AC,

?.ZB=ZC,

VED±BC,

・•・ZB+ZBFD=90°,

ZC+ZE=90°,

NBFD=NEFA,

・•・ZB+ZEFA=90o,

・・・ZC+ZE=90°,

NB=NC,

・•・ZEFA=ZE,

/.AE=AF.

例3.如图，在△ABC中，ZA=20°,D在AB上，AD=DC,

ZACD：ZBCD=2：3,求：NABC的度数.

解：VAD=DC,

JZACD=ZA=20°,

•・・ZACD：ZBCD=2:3,/

ZBCD=30°,~-----~\

・•・ZACB=50°,

.'.ZABC=110°.

【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性

质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明

的书写格式

本节课应掌握：

掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索一发现一猜想一证明”的过

程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线

相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60。.

教材“习题1.2”中第2、3题.

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第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时3等腰三角形的判定与反证法

1.探索等腰三角形判定定理，掌握反证法

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.培养学生的逆向思维能力.

理解等腰三角形的判定定理.

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是

什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求

学生独立思考后再进行交流.

1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个

三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）

2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边

也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知NBrNC,此时AB与AC要么相等，要么不相

B

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假设AB二AC,那么根据“等边对等角“定理可得NC=NB,但已知条件是

NBrNC.“NONB”与已知条件“NBrNC”相矛盾，因此AB#AC

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也兀以采用这位同学的

证法，假设有两个角是直角，不妨设ZA=90°,ZB=90°,可得

ZA+ZB=180°,但ZA+ZB+ZC=180°,“NA+NB=180。”与

“NA+NB+NC=180。”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角.

引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢？

【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公

理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立,这也是证明命题

的一种方法，我们把它叫做反证法.

【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.

OS®

例1.己知：如图，NCAE是△ABC的外角，AD〃BC且N1=N2.求证：

AB=AC.

证明：VAD//BC,

・・.N1=NB（两直线平行，同位角相等），

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又・・・N1=N2,/.ZB=ZC.

・•・AB=AC（等角对等边）.

例2.如图，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN//BC,设AB=12,

AC=18,求4AMN的周长.

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解：・・・BD平分NCBA,CD平分NACB,

:.ZMBD=ZDBC,ZNCD=ZBCD.

VMN/7BC,

，ZMDB=ZDBC,ZNDC=ZBCD.

ZMDB=ZMBD,ZNDC=ZNCD.

.*.MB=MD,NC=ND.

ACAAMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MR)+(AN+NC)=AB+AC=30.

例3.如图，在^ABC中，BD±AC于D,CE±AB于E,BD=CE.求证：

△ABC是等腰三角形.

解：*/SAABC=-(ABCE)=-(AC-BD)且BD=CE,

22

?.AB=AC.

•••△ABC是等腰三角形.

例4.如图，在^ABC中，AB=AC,DE〃BC,求证：△ADE是等腰三角

形.

证明：VAB=AC,

AZB=ZC,

VDE/7BC,

AZB=ZE,ZD=ZC.

AZD=ZE.

•••△ADE是等腰三角形.

例5,垂直于同一条直线的两条直线平行.

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ba

―JZ_____

c

证明：假设a、b不平行，那么a、b相交

Va±c,b±c

AZ1=900,Z2=900

Zl+Z2=180°

而a、b相交，则Nl+N2#180。与Nl+N2=180。相矛盾.

・・・假设不成立.

即：垂直于同一条直线的两条直线平行

【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流，培养学生应用知识解决

问题的能力.

本节课应掌握：

等腰三角形性质的判定的区别和联系.

教材“习题1.3”中第中2、3题.

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第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时4等边三角形的判定与含30。角的直角三角形的性质

1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30。角的直角三角形性质

及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.

2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符

号感，发展抽象思维.

3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

等边三角形判定定理的发现与证明.

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？

2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别

一个三角形是等边三角形呢？

【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.

1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条

件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.

【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇

报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的

判别条件，并引导学生总结.

2.用含30。角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边

三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在

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倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.

【教学说明】学生通过动手操作，观察，找出一些线段存在相等关系.从而

得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对

的直角边等于斜边的一半.

【归纳结论】

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一角是60。的等腰三角形是等边三角形.

例1.己知：如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=-AB.求证:

2

ZBAC=30°

证明：延长BC至D,使CD二BC,连接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

XVAC=AC.

AACB^AACD(SAS).

AB=AD.

VCD=BC,ABC=-BD.

2

XVBC=-AB,.\AB=BD.

2

.*.AB=AD=BD,

即△ABD是等边三角形.

.e.ZB=60°.

在RlZkABC中，ZBAC=30°.

例2.如图，△ABC是等边三角形，BD=CE,N1=/2.求证：4ADE是等

边三角形

证明：:△ABC是等边三角形，

AAB=AC.

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在^ABD^AACE中,AB=AC,N1=Z2,BD=CE,

」.△ABD乌△ACE(SAS).

・•・ZEAD=ZBAC=60°,EA=DA.

•・.△ADE是等边三角形(有一角是60。的等腰三角形是等边三角形).

例3,如图，在RtZkABC中，ZB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长.

解：在RtZkABC,ZB=30°

VBD=AD

AZB=ZBAD=30°

ZADC=60°.

•・・ZC=90°,

・•・ZDAC=30°.

在RtAADC中,NDAC=30。

・・.CD=1AD（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角

2

边等于斜边的一半）.

VBD=AD=12,

.\CD=6.

【教学说明】变式训练，巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有

关性质.

本节课应掌握：

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.

教材“习题1.4”中第3、5题.

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第一章三角形的证明

2直角三角形

课时1直角三角形的性质与判定

1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能

运用定理解决与直角三角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成

立，其逆命题不一定成立.

3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步

的符号感，发展抽象思维.

4.体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学

生学数学、用数学的兴趣.

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.

运用定理解决与直角三角形有关的问题.

我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.

【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫.

探究1：直角三角形的性质和判定

直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？

如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什

么？

【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.

【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是

直角三角形.

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探究2：勾股定理及其逆定理.

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及

由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？

【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.

【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平

方.勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角

形是直角三角形.

探究3：互逆命题和互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中

还有类似的命题吗？

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理

的结论，结论是第二个定理的条件.

在前面的学习中还有类似的命题吗？

【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，

要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.

【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题

的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题

的逆命题.

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为

互逆定理.

例L说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

(1)四边形是多边形；

(2)两直线平行，同旁内角互补；

(3)如果ab=O,那么a=0,b=0.

分析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤

其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对

于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定匪难.可先分析命题

的条件和结论，然后写出逆命题.

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解：(1)多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真.

(3)如果a=0,b=0,那么ab=O.原命题是假命题，而逆命题是真命

题.

例2.如图，BA_LDA于A,AD=12,DC=9,CA=15,求证：BA/7DC.

证明：在△ADC中，AD=12,DC=9,CA=15.

VAD2+DC2=CA2,

.,•△ADC是直角三角形.(如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那

么这个三角形是直角三角形)

AAD1CD,

VBA1DA,

・・・BA〃DC.

例3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，

NACB=90。，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边

AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价

最低？最低造价是多少？

解：当CD_LAB时，CD最短，造价最低.

VZACB=90°,AC=80,BC=60,

JAB=100.

设AD=x,贝ljBD=100-x.

・・•在RtAADC与RtABDC中，

JCD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.

.,.AC2-AD2=BC2-BD2.

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/.802-X2=602-(100-x)2.

解得：x=64.

・••在RSADC中，CD=48.

，最低造价是：48x10=480(元).

你还能用其他方法求出CD的长吗？

(提示：用面积法)

例4.已知：如图，ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求

证：a2+b2=c2.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,

并取BE=c,连接ED、AE(如图)，则ZkABCg/XBED.

・・・NBDE=90。，ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相等).

2

・•・四边形ACDE是直角梯形.・・・S梯形ACDE=^(a+b)(a+b)=L(a+b).

22

AZABE=180°-(NABC+NEBD)=180°-90°=90°,AB=BE.

•_17.._

•'•SAABE=-c•・•$梯形ACDE=S^ABE+SAABC+SABED,

2

/.—(a+b)2=J-c2+Lab+」ab,即La2+ab+Lb2=Lc2+ab,

2222222

:.a2+b2=c2

本节课应掌握：

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的

例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不

一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力

教材“习题1.5”中第2、3题

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第一章三角形的证明

2直角三角形

课时2直角三角形全等的判定

1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性.

2.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步

的符号感.

3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理

进一步理解证明的必要性.

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互

交流.

3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个

角是直角呢？请证明你的结论.

【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等

的两个直角三角形全等"，从而引入新课.

探究：“HL”定理.

己知：在RIAABC刃RIAA'B'C'中,ZC=ZCz=90o,AB=A'B',

BC=B'C'.求证：RtAABC^RtAA'B'C'.

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证明：在RSABC中，AC?=AB?一BC2（勾股定理）.

又•在Rs中，A，C'2=AB2—B，C，2（勾股定理）.

，AB=AB,BOBC,AC=AC.

ARtAABC^RtAA'B'C（SSS）.

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（这一

定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.）

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命

题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总

结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.

例1.填空：如下图，RtAABCftRtADEF,ZC=ZF=90°.

(1)若NA=ND,BC=EF,则RtAABC^RtADEF的依据是AAS.

(2)若NA=ND,AC=DF,则为△ABCgRtaDEF的依据是ASA.

(3)若NA二ND,AB=DE,则RsABCgRsDEF的依据是AAS.

(4)若AC=DF,AB=DE,则RtAABC^RtADEF的依据是HL.

(5)若AC二DF,CB=FE,则RtAABC^RtADEF的依据是SAS.

例2.已知：RSABC和RSABC,ZC=ZC=90°,BC=B'C,BD、B'D'

分别是AC、A，C边上的中线,且BD=BD.求证:RtAABC^RtAA'B'C.

证明：在RtABDC和RtABDC中,

VBD=B'D',BC=B,C,,

/.RtABDC^RtABDC(HL定理).

.•.CD=C'D'.

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XVAC=2CD,AC=2CD,

/.AC=AC'.

，在RtAABC和RtAABC，中，

VBC=BC,,ZC=ZC'=90°,AC=A'C',

ARtAABC^RtAA'B'C(SAS).

例3•如图，已知NACB二NBDA=90。，要使△ACB04BDA,还需要什么

条件?把它们分别写出来，并证明.

解：AC=DB.

VAC=DB,AB=BA,

AAACB^ABDA(HL)

其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.

【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公

理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学

之间的交流，获得各种不同的答案.

例4.如图，在4ABC与△ABC'中，CD、CD分别分别是高，并且AC=

AC,CD二C'D'.ZACB=ZA'C'B'.求证：△ABCg/\ABC'.

DRA1O'B'

分析：要证△ABC0△ABC,由已知中找到条件：一组边AC=A'C',一

组角NACB二NACB：如果寻求NA二NAT就可用ASA证明全等；也可以寻

求NB=NB\这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C',那么就可根据SAS……注

意到题目中有CD、C'D是三角形的高，CD=CD：观察图形，这里有三对三角

形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得

RIAADC^RIAAD'C,因此证明NA=/A，就可行.

证明：:CD、CD分别是△ABC、△ABC的高(已知)，

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・•.ZADC=ZA,D'C'=90°.

在RtAADC和RtAA'D'C'中，

AC=A'C（已知），CD=CD（已知），

ARtAADCRtAAD'C（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的对应角相等）.

在^ABC和^ABC，中，

NA二NA'（己证），

AGAC（已知），

NACB=NA'C'B'（已知），

.,.△ABC^AA'B'C（ASA）.

【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生

去纠错，教师最后再总结.

本节课应掌握：

直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.

教材“习题1.6”中第3、4、5题.

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第一章三角形的证明

3线段的垂直平分线

课时1线段的垂直平分线

1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对

几何图形的认识.

3.通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它

到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

.A

--------

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来

源于生活，用于生活.

探究1:垂直平分线的性质.

已知：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求

证：PA=PB.

证明：VMN1AB,

・•・ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

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•••△PCA丝△PCB（SAS）.

・,.PA=PB（全等三角形的对应边相等）

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？

逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么

这个点在这条线段的垂直平分线上.”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，

则需用反例说明.

引导学生分析证明过程.

已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.

求证：P点在AB的垂直平分线上.

证明：过点P作己知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,

ARtAPACERSPBC（HL定理）.

・・・AC=BC,

即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.

【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分

线上.

例L已知：如图，在△ABC中，AB=AC,。是△ABC内一点，且0B二

0C.求证：直线A0垂直平分线段BC.

证明：VAB=AC,/K

・・・点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距ZJ\

离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点0在线段BC的垂直平分线上.

・•・直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

例2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于

E,AC=5,BC=8,求AAEC的周长.

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解：TDE为^ABC的AB边的垂直平分线,

/.AE=BE.

CAAEC=AC+AE+CE=AC4-BE+CE=AC+BC=5+8=13.

例3.如图，已知：线段CD垂直平分AB,AB平分NDAC.求证：AD〃BC

证明：•・•CD是AB的垂直平分线，

AAC=BC,

AZCAB=ZB,

XVZCAB=ZDAB,

・・・NDAB二NB,・・・AD〃BC.

例4.如图，已知：AD是AABC的高，E为AD上一点，且BE=CE.求证:

△ABC是等腰三角形.

证明：VBE=CE,AD±BC

・・・AD是BC的垂直平分线，

.*.AB=AC,

•••△ABC是等腰三角形.

例5.如图，己知：AB1BC,CD1BC,ZAMB=75°,ZDMC=45°,

AM=DM.求证：AB=BC.

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证明：连接AC.

ZAMD=180o-75°-45o=60°,且AM=DM,

•••△AMD是等边三角形.

・・・AM=AD.

XVZMDC=90°-45°=45°,

AZMDC=ZDMC,

・・・CD=CM,

AAC为DM的垂直平分线，

XVCD=CM

・・・CH是NDCM角平分线

/.ZACM=90°-45°=45°,

JZBAC=180°-ZB=ZACM=90°-ZACM=45°

・・・AB=BC.

【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此

老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.

本节课应掌握：

到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

教材“习题1.7”中第1、3题.

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第一章三角形的证明

3线段的垂直平分线

课时2三角形三边的垂直平分线的性质

2.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.

2.垂直平分线的应用

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能

力.体验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识.

4.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

作已知线段的垂直平分线.

垂直平分线的应用.

上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判

定定理是什么？

【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.

探究1:请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分

线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流.

【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向

性的提示.

【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距

离相等.

探究2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段a、h

求作：ZkABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h

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作法：1.作BC=a；

2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4.连接AB、AC.

・・・AABC就是所求作的三角形（如图所示）.

4

B~\DC

探究3：已知直线1和1二一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.

如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1的垂线，使它经过点P

呢？

【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理

由.

③）Hl®

例1.如图，己知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求

证：点P在AC的垂直平分线上.%

证明：P是AB、BC边上的垂直平分线，\

/.AP=BP,BP=CP,\

JAP=CP,£__iA,

・・・P点在AC的垂直平分线上.

例2.如图所示，在RsABC中，ZC=90°,NA=30。.

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线1（保留作图痕迹，不写作

法）；

（2）在已作的图形中，若1分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、

F,连接BE.

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求证：EF=2DE.

解：(1)直线1即为所求.

(2)证明：在RSABC中，

VZA=30°,AZABC=60°,

又•.」为线段AB的垂直平分线，

AEA=EB,

.,.ZEBA=ZA=30°,ZAED=ZBED=60°,

AZEBC=30°=ZEBA,ZFEC=60°.

XVEDIAB,EC±BC,AED=EC.

在RSECF中，

ZFEC=60°,ZEFC=30°,

.*.EF=2EC,

AEF=2ED.

【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题.

本节课应掌握：

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的

垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据

此结论“已知等腰三角形的底河底边的高，求作等腰三角形”.

教材“习题1.8”中第1、2题.

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第一章三角形的证明

4角平分线

课时1角平分线的性质与判定

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能

力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

3.经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.

止确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分

别说出它们的作用.

【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤

其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的

积极性.

探究1:角平分线定理

己知：如图，0C是NAOB的平分线，点P在OC上，PD1OA,

PE10B,垂足分别为D、E.

求证：PD=PE.

证明：VZ1=Z2,OP=OP,

ZPDO=ZPEO=90°,

・•・APDO^APEO(AAS).

・・・PD=PE（全等三角形的对应边相等）.

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【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交

流.教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.

【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

探究2：角平分线的判定定理.

已知：在NAOB内部有一点P,且PD±OA,PE±OB,D、E为垂足且

PD=PE.

求证：点P在NAOB的角平分线上.

证明：APD1OA,PEJLOB,

ZPDO=ZPEO=90°.

在RSODP和RSOEP中，OP=OP,

PD=PE,

ARtAODP^RtAOEP（HL定理）.

・・・N1=N2（全等三角形对应角相等）.

・••点P在NAOB的角平分线上.

【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距禽相等的点在这个角的角平

分线上.

例1.如图，已知：ZC=90°,DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC

于E,AB=2AC.求证：CE=DE.

证明：连接AE,由于NC=90。，AB=2AC,

.e.ZB=30°,ZCAB=60°.

•/DE是AB的垂直平分线，

AAE=BE,/.ZEAB=ZB=30°,/•"1

j---------D-------f

ZCAE=60°-30°=30°,

即AE是NCAB的角平分线,

ACE=DE.

例2.如图，已知：E是NAOB的平分线上的一点，且EC±OA,

ED1OB,垂足分别是C、D.求证：0E垂直平分CD.

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证明：・.・0£是/人08的平分线，

，CE=DE,

/.RtAOCE^RtAODE,

.*.OC=OD,

AO与E都在CD的垂直平分线上，

JOE垂直平分CD.

例3•如图，己知：在AABC中，ZBAC的平分线交BC于D,且

DE1AB,DF1AC,垂足分别是E、F.求证：AD是EF的垂直平分线.

证明：TAD是/BAC的平分线，且DE_LAB,DF1AC,

ADE=DF,

RtAADE=RtAADF,

.,.AE=AF,

JA与D都在EF的垂直平分线上，

AAD就是EF的垂直平分线.

【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相

关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基

础上，教师要给出书写示范.

本节课应掌握：

1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等..

2.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

教材“习题1.9”中第2、3题.

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第一章三角形的证明

4角平分线

课时2三角形三个内角的平分线的性质

1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能

力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

三角形三个内角的平分线的性质.

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.

本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那

么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习

的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习.

【教学说明】通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了

整体的认识和把握，学生可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容.同

时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受

到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验.在教师的帮助

下提炼出数学中的联系，构建认知结构.

探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相

等.

1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点

己知：如图，设4ABC的角平分线BM、相交于点P,求证：P点在

NBAC的角平分线上.

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