2020年高考数学(理)之数列-专题11-数列的通项(-叠加法、累乘法求通项)(解析版)

PAGE1PAGE数列11数列的通项（叠加法、累乘法求通项）【考点讲解】【考点讲解】具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列的前项和和通项的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。4.已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.5.递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中均为常数，）.（或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.6.以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．类型1解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解例1.设数列中，，则通项.【解析】法一：由题意可知：所以有，，，，，，将以上各式相加得：故应填.法二：由题意可得：，，，，，，，.将以上各式相加得：故应填.【答案】类型2.解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。已知数列满足，，求。【解析】由条件知，分别令，代入上式得个等式后叠乘，即又，.【真题分析】【真题分析】1.【2019优选题】已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b10•b11＝2，则b7b14＝，a21＝．【分析】根据所给的关系式，依次令n＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a21的值．【解答】解：由得：，，，…，.以上20个式子相乘得，∵数列{bn}为等比数列，且b10•b11＝2，数列{an}的首项为1，∴210＝∴a21＝1024，∵b10•b11＝2，∴b7b14＝2，【答案】：2，1024．2.【2019优选题】已知数列＝。【解析】由题意可得：，，，，，，，.将以上各式相加得：=【答案】3.【2016江西】在数列中，，，则（）A．B．C．D．【解析】将以上各式相加得：所以有：【答案】A4.【2019优选题】已知数列满足，，则此数列的通项等于

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)A.B.C.D.【解析】法一：由得，数列是以2为首项，－1为公差的等差数列所以有，也可用叠加法.法二：由可得，所以有，，，。将上面的式子相加可得，所以有.【答案】D5.【2018年广东】已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由，得.，6.【2016山西】已知数列满足，求数列的通项公式.【解析】由可得，=（）.7.【2019优选题】已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1.【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1=2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，所以bn·bn+2<b2n+1.8.【2019优选题】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．【解析】（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，…………，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以【模拟考场】【模拟考场】1.已知一次函数图象关于对称的图象为，且，若点在上，，对于大于或等于2的自然数均有：.（1）求的方程；（2）求的通项公式．【解析】（1）设的方程为，又∵在上，∴而，∴∴∴的方程为（2）∵，∴，，，，，以上个等式相乘得：又∴2.若在数列中，，，求通项.【解析】法一：可用等差数列求通项.法二：由得，，所以有：，，将各式相加得：所以可得通项为：即：（）.3.若在数列中，，，求通项.【解析】由得，所以，…，将以上各式相加得：又所以=.即：（）.4.已知数列满足，求数列的通项公式.【解析】由，得则所以数列的通项公式为（）.5.已知数列中:，,确定数列的通项公式.【解析】∵，∴，…，以上个式子相乘得，即.6.已知数列满