浙教版八年级上册-全等三角形中几种模型-

/一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本结论①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'③AO平分∠BOC'二、例题例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。△AGB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需构造等边三角形证明）变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC变式练习2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC变式训练3：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a连接AE与CD.问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？ 例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 二、半角模型条件：两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.②.求证：AB=AH.例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.求证：变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且，求证：EF＝BE＋DF.练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固2：已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固3：如图，已知在正方形ABCD中，=45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；（3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍；（4）；（5）若=20°，求；（6）若，求；（7）；（8）与是等腰三角形；（9）。三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．变式训练：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，

PE交边BC于点F．连接BE、DF。求证：∠ADP=∠EPB；求∠CBE的度数；例3：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．

（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．

（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠CDF.变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.四、角平分线模型1、角平分线的性质模型如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。结论：PB=PA例1：（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。例2：如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=。例3：．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。2、翻折全等（对称）如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：△OPB≌△OPA。两个图形辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC.A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由. B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC.2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC.3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB.3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论：△AOB是等腰三角形。例1：如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。例2：如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。例3：（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。求证：(1)AB+AC+BC=MN（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？成立请说明理由，若不成立，那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。4、角平分线+平行线→等腰（底角相等）如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。例1：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为。例2：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD=AB-BC。二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当