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第11章数的开方11.1平方根与立方根 11.1.1平方根与立方根 1.理解并掌握平方根、算术平方根概念,体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程.2.会求一个数的平方根、算术平方根,了解平方运算和开平方运算的互逆性;通过实际问题的研究,认识平方根、算术平方根;会用计算器求任意正数的算术平方根.正确区分平方根与算术平方根的关系.一、情景导入感受新知问题1:要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少?问题2:已知圆的面积是16πcm2,求圆的半径长.(学生探索,回答问题)二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P1-P3内容,然后完成下面问题:问题1:解:设正方形纸片的边长为xcm,依题意有:x2=25,求出满足x2=25的x值,就可得正方形纸片的边长.因52=25,(-5)2=25,故满足x2=25的x的值可以是5,也可以是-5,但正方形边长只能取正值.所以x=5.答:正方形纸片的边长为5cm.这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于25.问题2:解:设圆的半径为Rcm,依题意有:__πR2=16π__,即__R2=16__,求出满足R2=16的R的值即可求出圆的半径.因42=16,(-4)2=16,故满足R2=16的R的值为__4或-4__,但圆的半径只能取正值.所以数R=4.答:圆的半径为4cm.这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于16.【合作探究】刚才具体的两个例子,从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题:已知某数的平方,求这个数.用式子来表示就是已知x2=a,求x的值.问题3:什么叫一个数的平方根?归纳:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(squareroot)(也叫a的二次方根).问题4:(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3)eq\f(4,25)的平方根是什么?(4)-4有没有平方根?为什么?请学生也编三道求平方根的题目,并给出解答.与同学交流,你发现了什么?归纳:1.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.2.一个非负数a的平方根的表示为:±eq\r(a).求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方.3.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作eq\r(a),读作“根号a”;另一个平方根是它的__相反数__,即-eq\r(a),因此,正数a的平方根可以记作±eq\r(a),a称为__被开方数__.例:eq\r(3)表示3的__算术平方根__,±eq\r(3)表示3的__平方根__;【师生活动】①明了学情:关注学生在探究过程中对平方根、算术平方根概念的理解与掌握情况.②差异指导:对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨.③生生互助:学生在小组内交流、讨论,相互释疑,达成共识.三、典例剖析运用新知【合作探究】例1:求100的平方根.解:因为102=100,(-10)2=100,除了10和-10以外,任何数的平方都不等于100,所以100的平方根是10和-10,也可以说,100的平方根是±10.例2:将下列各数开平方:(1)49,(2)1.69.解:(1)±7;(2)±1.3.例3:下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,请说明理由.(1)-64;(2)0;(3)(-4)2.解:(学生独立完成)四、课堂小结回顾新知通过本节课学习,你有哪些收获?还有什么疑惑?【师生共同回顾】(1)平方根的定义和性质.(2)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.(3)平方和开平方运算互为逆运算.五、检测反馈落实新知1.将下列各数开平方:(1)49;(2)1.96;(3)eq\f(25,36);(4)0.01.解:(1)∵72=49,∴eq\r(49)=7.∴49的平方根是±eq\r(49)=±7;(2)∵1.42=1.96,∴eq\r(1.96)=1.4.∴1.96的平方根是±eq\r(1.96)=±1.4;(3)∵(eq\f(5,6))2=eq\f(25,36),∴eq\r(\f(25,36))=eq\f(5,6).∴eq\f(25,36)的平方根是±eq\r(\f(25,36))=±eq\f(5,6);(4)∵0.12=0.01,∴eq\r(0.01)=0.1.∴0.01的平方根是±eq\r(0.01)=±0.1.2.求下列各式的值,并说明它们各表示的意义:eq\r(1000);-eq\r(144);eq\r(\f(25,121));-eq\r(0.0001);±eq\r(625);±eq\r(\f(49,81));eq\r(0).解:10eq\r(10);-12;eq\f(5,11);-0.01;±25.意义略.3.若已知一个正数的平方根是m+3和2m-15.(1)求这个正数是多少;(2)求eq\r(m+5)的平方根.解:(1)∵这个正数的平方根是m+3和
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