北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米2．下列各组图形中一定相似的图形是（）A．底角对应相等的两个等腰梯形 B．有一个角为的两个菱形C．两邻边之比相等的两个平行四边形 D．两个矩形3．如图，四边形是平行四边形，要使它变成菱形，需要添加的条件是（）A．AC=BD B．AD=BC C．AB=BC D．AB=CD4．、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（）A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．已知，相似比为，则与的面积比为（）A．1:2 B．2:1 C．1: D．1:46．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，中，点是斜边上一点，过点作一条任意直线，使所截得的三角形与相似，这样的直线可以作（）条．A．1 B．2 C．3 D．48．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或99．如图，在中，，分别是，上的点，且，若，则A．1:5 B．1:9 C．1:10 D．1:1210．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高米），且落在对方区域离网米的位置上，已知她的击球高度是米，则她应站在离网的（）A．7.5米处 B．8米处 C．10米处 D．15米处二、填空题11．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至．设平均每次降息的百分率为，则依题意所列的方程为________．12．如图，点、分别在正方形的边、上，与对角线交于点，如果，，那么的比值是________．13．如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．14．如图，，，则与________位似图形．15．如图，已知点在的边上，交于，交于，若添加条件________，则四边形是矩形；若添加条件________，则四边形是菱形；若添加条件________，则四边形是正方形．16．如图，在中，，，，以为边作等腰直角，使，连接，则线段的长为________．17．菱形的周长是，两条对角线的长度之比是，则菱形的面积为________．18．不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是红球的概率是____________．三、解答题19．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）20．有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有数字3，4，5，第二组的三张卡片上分别写有数字1，3，5，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为正数的概率为________21．按指定的方法解方程（直接开平方法）

（2）（配方法）（3）（用公式法）22．如图，等腰直角三角形中，，，动点从出发沿向移动，通过点引，，问当等于多少时，平行四边形的面积等于？设的长为，列出关于的方程．23．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）能否使每天的利润为800元？为什么？24．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，且横、竖彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积为，应如何设计彩条的宽度？25．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．26．以的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：如图中四边形是什么四边形？并说明理由．当满足什么条件时，四边形是矩形？当满足什么条件时，四边形是正方形？答案与详解1．A【详解】分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为，所以∠BAO=30°，∴OA=米,∴AC=米.故选A.2．B【解析】【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此判断．【详解】A.不能保证对应边成比例，故本选项错误；B.因为菱形的四边相等，所有对应边成比例；又有一角是60°，则另一个大角为120°，对应角相等，故一定相似；C.不能保证对应角相等，故本选项错误；D.不能保证对应边成比例，故本选项错误；故选B.【点睛】本题考查的是相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.3．C【解析】【分析】根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形可得答案．【详解】A.

添加AC=BD可证明平行四边形ABCD是矩形，不能使它变成菱形，故此选项错误；

B.

添加AD=BC不能证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

C.

添加AB=BC可证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；

D.

添加AB=CD不能可证明平行四边形ABCD是变成菱形，故此选项错误；

故选：C.【点睛】本题考查的是菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.4．C【详解】试题解析：根据题意得△=（-2c）2-4（a2+b2）=0，

即a2+b2=c2，

所以原三角形为直角三角形．

故选C．点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．D【解析】【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1:2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1:4，故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.6．A【详解】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9−x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15.故选A.7．C【解析】【分析】过点D分别作与AC、BC平行的直线或作AB的垂线，即可得出结果．【详解】如图所示：过点D作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线共三条直线.故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.8．A【详解】因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选A.9．D【解析】试题分析：设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．解：∵S△BDE:S△CDE=1:3，∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴=，∴=，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE:S△ABC=1:16，∴S△ACD=16a−a−3a=12a，∴S△BDE:S△ACD=a:12a=1:12.故选D.10．C【解析】试题分析：设她应站在离网的x米处，根据题意得：，解得：x=10．故选C．考点：相似三角形的应用．11．【解析】【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.98%．【详解】经过一次降息,是2.25%(1−x)；经过两次降息,是2.25%(1−x)2.则有方程2.25%(1−x)2=1.98%.故选D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握一元二次方程的性质是解题的关键.12．【解析】【分析】作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，由正方形的性质得出∠ABD=∠CBD=45°，由角平分线的性质得出GM=GN，得出，即可得出结果．【详解】作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，

∴GM=GN，

∴，

∴；

故答案为：.【点睛】本题考查的是正方形的综合运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.13．【解析】【分析】求出∠A=∠D=90°,CD∥AB,AP=4t,DQ=12-2t,由矩形的性质得出∠A=∠D=90°,CD∥AB,得出AP=DQ时,四边形APQD是矩形,得出方程4t=12-2t,解方程即可.【详解】根据题意得:∠A=∠D=90°,CD∥AB

则DQ=12-2t,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠D=90°,CD∥AB,

∴当AP=DQ时,四边形APQD是矩形,

即4t=12-2t,

解得:t=2,

∴当t=2s时,四边形APQD是矩形;

故答案为2s.【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、解方程等知识;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.14．是【解析】【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，因而△ADE与△ABC是位似图形．【详解】∵DE∥BC，AD:DB=1:1，∴△ADE∽△ABC，且每组对应点所在的直线都经过同一个点，∴△ADE与△ABC是位似图形.【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键.15．平分且平分【分析】根据已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定方法添加适当的条件即可解答.【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形；①添加条件：，根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得四边形是矩形；②添加条件：平分，可得∠DAF=∠DAE，由DE∥AC，∠ADE=∠DAF，所以∠ADE=∠DAE，即可得AE=ED，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得四边形AEDF是菱形；③添加条件：且平分，在①②的基础上即可判定四边形AEDF是正方形．故答案为∠BAC=90°；AD平分∠BAC；∠BAC=90°且AD平分∠BAC.【点睛】本题考查了矩形、菱形及正方形的判定方法，熟记矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键.16．【解析】【分析】延长BC交AD于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=

AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得CD的长．【详解】延长BC交AD于点E，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD，∴BE=DE=AD，BE⊥AD，∵AB=3，∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴CD=故答案为：.【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键.17．24【解析】菱形的四边相等，对角线互相垂直，菱形的面积等于对角线乘积的一半．解：由题意得，菱形的边长为20/4=5cm，设OA=3x，BO=4x，则AB==5x，即5x=5解得：x=1．∴AO=3，BO=4．∴AC=6，BD=8．所以菱形的面积：1/2×6×8=24．故答案为24．18．．【详解】试题分析：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率=．故答案为．考点：列表法与树状图法．19．1米【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．整理，得x2﹣35x+34=0，解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．20．【详解】由树状图易得差为正数的概率为.21．，；（2），；（3），．【解析】【分析】（1）将方程常数项移动右边，开方转化为两个一元一次方程来求解；

（2）方程两边都除以2并将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；

（3）将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】，变形得：，开方得：，则，；（2），变形得：，配方得：，即，开方得：，则，；（3），整理得：，这里，，，∵，∴，则，．【点睛】本题考查的是方程的求解，熟练掌握直接开方法，配方法和公式法是解题的关键.22．．【分析】设AP的长为xcm，▱PQCR的面积等于16cm2，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解．【详解】设的长为时，的面积等于，依题意有．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语“▱PQCR的面积等于16cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．23．（1）售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）不能，理由见解析.【分析】（1）设涨价x元，根据题意可得：销量×每件利润=总利润，即可得出方程，解出x的值；

（2）设涨价x元，根据题意可得：销量×每件利润=总利润，即可得出方程，判断方程根的情况即可．【详解】设涨价x元，(10+整理得：x2-8x+15=0解得：x=3或x=5售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）不能，理由：设涨价x元，(10+x此方程无解，故不能使每天的利润为800元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键.24．彩条宽2cm．【详解】试题分析：假设图案中的彩条被减去，剩余的图案就可以合并成一个长方形．为所以如果设彩条的x，那么这个长方形的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣x）cm．然后再根据彩条所占面积为184cm2，列出一元二次方程．试题解析：设彩条的宽为xcm，则有（30﹣2x）（20﹣x）=20×30﹣184，整理，得x2﹣25x+46=0，解得x1=2，x2=23．当x=23时，20﹣2x＜0，不合题意，舍去答：彩条宽2cm．考点：一元二次方程的应用．25．（1）6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P为【详解】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）画树状图得：由树状