2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：常用逻辑用语（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：常用逻辑用语（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•辽宁模拟）若“∃x∈（0，+∞），使x2﹣ax+4＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．2．（2024•青羊区校级模拟）已知命题p：∀x∈R，2x＞1，则¬p是．3．（2024•北京模拟）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．4．（2024•江阴市校级一模）已知命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2＞a，则￢p为．5．（2024•金凤区校级三模）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4＝0有实根；命题q：关于x的函数y=log3(2x2+ax+3)在[3，+∞）上单调递增，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a6．（2024•安徽模拟）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是．7．（2024•开福区校级模拟）若命题“∃a＜0，a+1a＞b”是假命题，则实数b的取值范围为8．（2024•孝南区校级模拟）命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是．9．（2024•安康模拟）已知命题p：∀x∈[-1，0]，a10．（2024•射洪市校级模拟）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：常用逻辑用语（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•辽宁模拟）若“∃x∈（0，+∞），使x2﹣ax+4＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，4]．【考点】命题的真假判断与应用；存在量词命题的否定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】（﹣∞，4]．【分析】根据题意，若“∃x∈（0，+∞），使x2﹣ax+4＜0”是假命题，则其否定“∀x∈（0，+∞），都有x2﹣ax+4≥0”是真命题，则有x2﹣ax+4≥0在（0，+∞）上恒成立，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，若“∃x∈（0，+∞），使x2﹣ax+4＜0”是假命题，则其否定“∀x∈（0，+∞），都有x2﹣ax+4≥0”是真命题，即x2﹣ax+4≥0在（0，+∞）上恒成立，变形可得a≤x2+4又由x+4x≥2x×4x若a≤x2+4x=x+4x必有a≤4，即a的取值范围为（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题．2．（2024•青羊区校级模拟）已知命题p：∀x∈R，2x＞1，则¬p是∃x0∈R，2x0【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】∃x0∈R，2x【分析】根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．【解答】解：命题p：∀x∈R，2x＞1，则¬p是：∃x0∈R，2x故答案为：∃x0∈R，2x【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3．（2024•北京模拟）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是{m|1≤m≤【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】{m|1≤m【分析】解出p，q的范围，并设A＝{x|x∈p}、B＝{x|x∈q}，根据q是p的必要不充分条件，得出A⫋B，根据集合包含关系即可得出．【解答】解：解x2﹣8x+15＜0可得3＜x＜5，即p：3＜x＜5，因为m＞0，所以5m＞2m，解（x﹣2m）（x﹣5m）＜0可得2m＜x＜5m，即q：2m＜x＜5m．设A＝{x|x∈p}＝{x|3＜x＜5}，B＝{x|x∈q}＝{x|2m＜x＜5m，m＞0}，因为若q是p的必要不充分条件，所以A⫋B，所以有2m≤35m≥5故答案为：{m|1≤m【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4．（2024•江阴市校级一模）已知命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2＞a，则￢p为∀x∈[﹣1，1]，x2≤a．【考点】求存在量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】∀x∈[﹣1，1]，x2≤a．【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可得¬p为∀x∈[﹣1，1]，x2≤a．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2≤a．【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．5．（2024•金凤区校级三模）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4＝0有实根；命题q：关于x的函数y=log3(2x2+ax+3)在[3，+∞）上单调递增，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]【考点】命题的真假判断与应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；求对数函数及对数型复合函数的单调性；复合命题及其真假．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】（﹣∞，﹣7]∪（﹣4，4）．【分析】根据题意，分别求出两个命题p、q为真命题时a的范围，再分p真q假和p假q真两种情况讨论即可得解．【解答】解：根据题意，对于p，由关于x的方程x2﹣ax+4＝0有实根，则有Δ＝a2﹣16≥0，解得a≥4或a≤﹣4，对于q，由关于x的函数y=log3(2x2则有-a4≤32×3因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，a≥4或a≤-当p假q真时，-4＜a＜4a＞综上所述，a∈（﹣∞，﹣7]∪（﹣4，4）．故答案为：（﹣∞，﹣7]∪（﹣4，4）．【点评】本题考查复合命题真假的判断，涉及对数函数、二次函数的性质，属于基础题．6．（2024•安徽模拟）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；分析法；简易逻辑．【答案】见试题解答内容【分析】①，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②，若“p∨q”为假命题⇒p、q均为假命题则￢p、￢q均为真⇒“（￢p）∧（￢q）为真命题；③，“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件；④，“若xy＝0，则x＝0且y＝0”是假命题，命题与其逆否命题同真假．【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错；对于②，若“p∨q”为假命题⇒p、q均为假命题则￢p、￢q均为真⇒“（￢p）∧（￢q）为真命题，故正确；对于③，“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故错；对于④，“若xy＝0，则x＝0且y＝0”是假命题，命题与其逆否命题同真假，故错．故答案为：②【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．7．（2024•开福区校级模拟）若命题“∃a＜0，a+1a＞b”是假命题，则实数b的取值范围为[﹣2【考点】存在量词命题真假的应用．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】[﹣2，+∞）．【分析】将问题转化命题“∀a＜0，a+1【解答】解：因为命题“∃a＜0，a+1所以命题“∀a＜0，a+1当a＜0时，a+1当且仅当-a=1-a，即a所以(a+1所以b≥﹣2，所以实数b的取值范围是[﹣2，+∞），故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．8．（2024•孝南区校级模拟）命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是∃x∈R，x2≤1．【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】∃x∈R，x2≤1．【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题“∀x∈R．x2＞1“的否定是“∃x∈R，x2≤1“．故答案为：∃x∈R，x2≤1．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．9．（2024•安康模拟）已知命题p：∀x∈[-1，0]，a≤1【考点】全称量词命题真假的应用．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据全称命题的真假可知¬p：∃x∈【解答】解：由题意知命题p：∀则¬p：∃设f(x)=12x-5x，x∈[-1，0]，则由于y＝2x在R上单调递增，故f(x)=12x-5x在[﹣则f(x)min=12故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．10．（2024•射洪市校级模拟）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有（2）（3）（4）．（填写所有正确命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离．【答案】见试题解答内容【分析】由线面垂直和面面的位置关系，即可判断（1）；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断（2）；由面面平行的性质定理，即可判断（3）；运用面面平行和线面角的定义，即可判断（4）．【解答】解：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α、β相交，故（1）错；（2）如果m⊥α，n∥α，过n的平面与α的交线l平行于n，且m⊥l，那么m⊥n，故（2）正确；（3）如果α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（3）正确；（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，正确．故答案为：（2）（3）（4）．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断，考查线面平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，以及线面角的定义，考查推理能力，属于中档题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．全称量词和全称量词命题【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．全称命题含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．全称量词命题真假的应用【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算．【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．解：∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，则a≥当x∈[1，3]时，xx2+1=1故a≥所以实数a的最小值为12故答案为：124．存在量词命题真假的应用【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导．【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用存在量词命题的真假来推导方程的解的存在性、几何图形的某些特性．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是_____．解：“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命题，则它的否定命题：“∀x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命题；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．5．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．6．存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．7．求存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；（3）∃x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱产品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；（3）∀x∈R，使x2+x+1＞0．8．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．9．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命