数学中考专题训练-一次函数的综合

中考专题训练------次函数的综合

1.如图1,直线y=-Wr+3与x轴交于点A,与y轴交于点5,把直线A8沿直线折叠，

4

使点A落在.y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C.

（1）试求点A、8、C的坐标：

（2）点P是直线48上的一个动点，且△OCP的面积为4,求点P的坐标；

（3）如图2,点E为直线。4上的一个动点，将线段BE绕点七顺时针旋转90°后得到

线段ER求。尸+B广的最小值.

2.如图，直线y=-3x+6交x轴和），轴于点4和点以点C（0,-3）在y轴上，连接AC

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点P是直线A8上一点，若△及:2的面积为18,求点尸的坐标：

（3）过点8作直线BE交x轴于点E（E点在点4右侧），当/A8E=45°时，直接写

出直线BE的函数表达式.

3.如图，已知直线小y=£x+l与坐标轴分别交于点A、点8,直线以y=h+6与坐标轴

分别交于点。、点O，0C=20A,且两直线相交于点E.

（1）求直线，2的函数解析式：

（2）求四边形OBEC的面积；

（3）直接写出不等式上r+l>h+6的解集.

2

4.在平面直角坐标系直?y中，对于非坐标轴上的点尸给出如下定义：过点尸向两坐标轴作

垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为小，则称点P为阳系矩形点.图中的P,

Q两点均为10系矩形点.

（1）已知点A（-2,m）是6系矩形点，则〃?=；

（2）点8在第一象限，且是6系矩形点，则点B的坐标可以是：（写出一个即

可）

（3）点C在直线y=x+l上，且点。是6系矩形点，求点C；

（4）已知一次函数y=〃x+6的图象上存在6系矩形点，则〃的取值范围是.

5.如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（・2,0）•点8的坐标为

（-1，近）•

（1）求直线A8的解析式；

（2）如图2,点C在线段OA的延长线上.点。是线段4C的中点，连接8。、BO,设

点。的横坐标为haOB。的面积为S,求s与f之间的函数关系式（不要求写出自变量

，的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点。作。轴，连接AE,N、尸分别是AE,DE

的中点，连接0MCF,过点D作。K_Lb于点K,NKDE=4NDE,过点C作CP〃

4E交EK的延长线于点P,连接尸8,若ian/Pm=a时，求s的值.

6.在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点C（・4,0）,与y地交于点0（0,2）,

平面内有一点E（3,1）,直线与直线AB交于点8（2,3）,与x轴交于点尸.直

线AB的表达式记作y\=kx+b,直线BE表达式记作y2=mx+t.

（1）求直线BE的表达式和△BC尸的面积.

（2）观察函数图象：直接写出0Vh+6V加计，的解集为.

（3）在x轴上有一动点H,使得AOB〃为等腰三角形，请直接出点H的坐标.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线小），=h+b（ZWO）与直线/2：y=x交于点A（2,a）,

与），轴交于点8（0,5）,与工轴交于点C.

（1）求直线/1的函数表达式；

（2）在），轴上存在一点P,使得SMOP=S^AOC,请求出点P的坐标；

（3）点M为直线八上的动点，过点M作），轴的平行线，交于/2点N,点。为y轴上一

动点，且△MNQ为等腰直角三角形，求满足条件的点M的坐标.

8.如图1,在平面直角坐标系中，已知直线A：），=正#-3交x轴于点A,交），轴于点8,

直线/2：y=kx+b（攵#0）交x轴于点C（2弧,0）,交y轴于点。（0,1）,直线1\

和直线/2相交于点E,连接

（1）求直线/2的解析式；

（2）如图2,若点M是直线人上任意一点，且在E点的右侧，过点M作MN〃y轴，交

直线CO于点M当线段MN=6时，求△4DM的面积；

（3）如图3,将△AC。沿射线在4方向平移立个单位，点。的对应点为点尸，点G为

C。的中点，点P为直线，：4=-近上任意一点，在直线人上确定一点Q,使得以点F,

3

G,P,。为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点。的坐标，并任选

一个点的坐标，写出求解过程.

的坐标为（8,0）,四边形A8CO是正方形.

（1）求。的值和点。的坐标；

（2）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）.

①如图2,将△8MC沿CM折叠，点8的对应点是点E,连接ME并延长交4D边于点凡

问AAMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；

②探索在x轴上方是否存在另一个点M使得以0、B、M、N为顶点的四边形是菱形？

若不存在，请说明理由；若存在，清求出点N的坐标.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线人的解析式为)，=・长直线/2与/1交于点4(4,-

a),与y轴交于点8(0,b),其中a,b满足(a+2)2Wb-3=0。

(1)求直线/2的解析式；

(2)直线48上是否存在点P,使S"OP=2S"O8,若存在请求出其坐标；若不存在请

3

说明理由；

(3)将一个45°角的顶点。放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AB

备用图

11.如图，在直角坐标系中，B(0,20),D(25,0),一次函数y=+x+*的图象过C

(40,〃),与x轴交于4点.

(1)求点A和点C坐标；

(2)求证：四边形ABC。为平行四边形；

(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△AiOBi,问：能否使以0、Ai、。、81为顶

点的四边形是平行四边形？若能，求点4的坐标；若不能，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知直线必是一次函数（加>0）的图象，直线

PB是一次函数y=-3%+〃（〃>〃?）的图象，点尸是两直线的交点，点A、B、C、Q分别

是两条直线与坐标轴的交点.

（1）用〃?、〃分别表示点4、B、P的坐标及N以8的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是署，且CQ=^AO,试求点P的坐标，并求出直线PA

与F6的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点。，使以4、B、P、。为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数），=履+匕经过A（小0）,B（0,b）两点，且

a,6满足（°+8）2+Vb+6=0>N4BO的平分线交x轴于点E.

（1）求直线A8的表达式；

（2）求直线BE的表达式；

（3）点8关于x轴的对称点为点C,过点A作y轴的平行线交直线8E于点。，点M是

线段A£>上一动点，点P是直线3E上一动点，则ACPM能否为不以点C为直角顶点的

等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由.

14.已知长方形ABC。，0为坐标原点，B的坐标为（8,6）,点A,C分别在坐标轴上,

P是线段BC上的动点，设尸。=加，

（1）已知点。在第一象限且是直线y=2计6上的一点，设。点横坐标为〃，则。点纵

坐标可用含〃的代数式表示为,此时若△4PO是等腰直角三角形，求点。的坐

标；

（2）直线y=2x+方过点（3,0）,请问在该直线上，是否存在第一象限的点。使△APD

是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由.

15.直线y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点直线AC交y轴正半轴于点C,tanNCAO

_——1.

2

（1）求点C的坐标；

（2）如图1,过点8作8尸_LA8交x轴于点RE为线段。尸上一点，连接设点E

的横坐标为〃，NFBE的正切值为机，求机与〃之间的函数关系式（不要求写出自变量

〃的取值范围）：

（3）如图2,在（2）的条件下，。为线段AC上一点，作。G_LBF于点G,连接。£、

EG,当NDEG=2NFGE,机=工时，求sin/FGE的值.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线），=x+4与丁=履+4分别交x轴于点A、B,两直

线交于y轴上同一点C,点力的坐标为（-0）,点七是AC的中点，连接OE交CD

（1）求点尸的坐标；

（2）若NOCB=/ACD,求左的值；

（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线/,点M是直线8c上的动点，点N是x

轴上的动点，点P是直线/上的动点，使得以B,P,M、N为顶点的四边形是菱形，求

点P的坐标.

17.直线/：y=£x・l分别交x轴，y轴于A,8两点，

（1）求线段48的长；

（2）如图，将/沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E,尸两点，若直线所上存在

两点C,D,使四边形ABCO为正方形，求此时E点坐标和直线AZ）的解析式；

（3）在（2）的条件下，将EF绕E点旋转,交直线/于P点，若NO4B+NOEP=45°,

求P点的坐标.

V'y

18.如图1,平面直角坐标系中，直线AB：丁=一旦卢力交x轴于点A（8,0）,交），轴正

4

半轴于点B.

（1）求点8的坐标；

（2）如图2,直线AC交y轴负半轴于点C,AB=BC,P为线段AB上一点，过点P作

y轴的平行线交直线4c于点Q,设点P的横坐标为，，线段PQ的长为d,求d与1之间

的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，M为C4延长线上一点，且4M=CQ,在直线AC上方的直线

4B上是否存在点M使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N

19.如图，己知函数丁=的图象与k轴、y轴分别交于点A、R,与函数y=x的图象

2

交于点M,点M的横坐标为2.

（1）求点A的坐标；

（2）在x轴上有一动点尸（〃，0）（其中。>2）,过点P作x轴的垂线，分别交函数y

=-1■%+匕和y=x的图象于点C、D.

2

①若。8=2C£>,求a的值；

②是否存在这样的点P,使以8、0、C、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如图，直线A8交x轴于点B,交y轴于点A,过点4另一条的直线交x轴于点C,且

AB=BC,线段OC、8C的长是方程W-6x+5=0的两个根.

（1）求4点坐标；

（2）若过点0（2,0）,E（0,1）的直线OE交直线AC于点凡求经过点尸的正比例

函数解析式；

（3）在（2）的条件下，点P在直线4?上，点Q在直线AC上，使以。、E、P、Q为

顶点的四边形是平行四边形，请宜接写出点。的坐标.

21.如图，直线y=br-l与x轴、y轴分别交于B、C两点，OB=£oC.

（1）求8点的坐标和攵的值；

（2）若点A（%,y）是第一象限内的直线丫=区-1上的一个动点.当点A运动过程中，

试写出AAOB的面积S与X的函数关系式；

（3）探索：在（2）的条件下：

①当△AO8的面积是▲时，求点A的坐标；

4

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形？若存在，请写

出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图，直线y=x+l交x轴于点A,交），轴于点8,直线y=Ax+b交x轴于点C,交y轴

于点O,交直线AB于点E,EF_L%轴于点凡OF=3OA,80=6.

（1）求直线CO的解析式；

（2）点M在4E的延长线上，连接/M,FH1FM交直线CD于点H,设点M的横坐标

为线段”。的长为d,求d与，的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，连接CM,过点尸作尸0_LCM,垂足为0,尸。交CE于点K,

若2EK=3C”,求点”的坐标.

23.如图，直线y=-2X+8分别与x轴，y轴相交于点A,点8,作矩形48CD,其中点C,

3

点。在第一象限，且满足AB：BC=2：1.连接BD.

（1）求点4,点8的坐标.

（2）若点E是线段A8（与端点A不重合）上的一个动点，过E作E尸〃A。，交BD于

点F,作直线4E

①过点8作BG_LAE垂足为G,当5E=8G时，求线段4E的长度.

②若点P是线段4。上的一个动点，连接PF,将△OFP沿P尸所在直线翻折，使得点O

的对应点。'落在线段48或线段B。上.直接写出线段AE长的取值范围.

y>

备用图

b___

24.已知最简二次根式2J子和后氢万是同类二次根式，J1工+。+1=我不.

(1)a=；b=；c=；d=.

(2)若直线人经过A(a,b),B(c,d)两点，直线/2：j=-A+8

①如图，在平面直角坐标系中，直线人与x轴，y轴分别交于C,A两点，XACEgX

OAF均为等腰直角三角形，且NCAE=NOA尸=90°,EF交y轴于点P,则S&AEP

②若点P在y轴负半轴上，点”在直线八上，点G在直线/2上，是否存在以A,P,H,

G为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，将直线八沿x轴向右平移2个单位得到直线/3,点M是直线/3

2

上的一点，连接AM,在直线人M上找一点Q,使将线段AQ绕点A顺时

针旋转45°后得到4M求ON的最小值.

图I图2备用图

参考答案与试题解析

1.如图1,直线y=与x轴交于点A,与y轴交于点B,把直线48沿直线BC折叠，

使点A落在y轴负半轴上的点。处，折痕与x轴交于点C.

(1)试求点A、B、C的坐标；

(2)点P是直线A8上的一个动点，且△OCP的面积为4,求点P的坐标；

(3)如图2,点£为直线0A上的一个动点，将线段8E绕点E顺时针旋转90°后得到

线段E凡求OF+B尸的最小值.

【分析】(1)设C(x,0),则OC=x,AC=4-x,由折叠可知CO=AC=4・x,BD=

48=5,OD=2,在RtZ\OCQ中，由勾股定理可求x的值，即可求C点坐标；

(2)设尸点到直线CO的距离为人由面积可得/?=孕，求出直线C。是解析式，再联

5

4「

y=yx-2

立方程组，，可得。(卫，A),再△COO0△CQ4(SAS),由此可得PQ

355

度工x+3

则芈=

LCD,设P(f,r+3),)2+(4t+3-《)2,从而求P点坐标

4545

即可;

(3)过点/作FG_Lx轴交于G,可证明△BEOgZXEFG(A4S)，设E(a,0),可求

产(a+3,a),从而可知尸点在直线y=x-3上运动，设直线y=x-3与y轴交于点H,

”(0,-3),作。点关于直线y=x-3的对称点0',连接077,。'凡求出。(3,-3),

当8、0\广三点共线时，OF+B/的值最小，求出80，=3f即为所求.

【解答】解：(1)令y=0,则x=4,

：.A(4,0),

令x=0,则y=3,

：.B(0,3),

・・・AB=5,

设C(x,0),

OC=x,AC=4-xt

由折叠可知CD=AC=4-x,BD=AB=5,

：.OD=2,

在RtZXOCO中，(4-x)2=4+f,

解得尸旦，

2

AC(—,0)；

2

(2)VC(3,0),D(0,-2),

2

.・.CD=$,

2

・・・P点到直线CO的距离为力，

.・・-1乂4=4,

22

・・・T

设直线CD是解析式为y=kx+b,

f3

5k+b=0

b=-2

k4,

解得

b=-2

*'•y=--x-2,

3

4

y『2

联立方程组《

3

y=r/3

解得

6

%

；・。。=去3

R

VAC=—,NACQ=NDCO,

2

(SAS)，

：.ZAQC=90°，

：.PQ±CD,

设尸Ct,r+3),

4

.16_H12x2/3_6s2

方-1(t丁)+(宝+3-亏)，

解得尸挈或，=-w，

2525

…•＞一■!)或「---4--，--7--8--).;

2525

(3)过点尸作尸G_Lx轴交于G,

V5E±EF,

：・NBEO+NFEG=90°,

■:NBEO+NEBO=90°，

：・4FEG=/EBO,

，：BE=EF,

:.ABEO色AEFG(AAS),

：・OE=FG,BO=EG,

设E(小0),

:・F(a+3,a),

，产点在直线y=x-3上运动，

设直线y=x・3与)，轴交于点H,

：.H(0,-3),

作O点关于直线y=x-3的对称点0、连接077,0下,

：.HO=HO'=3,

VZ(9HF=45°,

：.HO'±OH,

・・。(3,-3),

由对称性可知，OF=O'F,

：.OF+BF=O'F+BF^BO',

当8、O\尸三点共线时，OF+B/7的值最小，

：.BO,=3^5,

：.OF+BF的最小值为3娓.

2.如图，直线y=-3x+6交x轴和〉轴于点A和点B,点C（0,・3）在），轴上，连接AC.

（1）求点A和点8的坐标；

（2）若点尸是直线4B上一点，若ABC尸的面积为18,求点P的坐标；

（3）过点B作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当N48E=45°时，直接写

出直线8E的函数表达式.

【分析】(1)根据直线与坐标地的交点解答即可；

(2)由Sgpc=^8c•同=(6+2)•闷=18,即可求解；

2

(3)根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：(I)・・？=-3r+6交*轴和y轴于点4和点见

・••当x=0时，则y=6；

当y=-3%+6=0时，解得x=2,

・"(2,0),B(0,6)；

(2)设点尸(a,-3〃+6),如图1,连接PC,

则Sa5CP=2BC•同=2(6+3)•间=18,解得。=±4,

22

故点尸(4,-6)或(-4,18)：

(3)当NABE=45°,如图，过点A作AO_LAB交BE于点O,过点。作OH_Lx轴于

点H,

图2

VZABE=45°,

・•・△BAD为等腰直角三角形，

：.AB=AD,ZBAD=90a,

・・・NB4O+ND4”=90°,ZDAH+ZADH=90°,

：.ZBAO=/ADH,

在AAOB与△OH4中，

rZBA0=ZADH

<ZAOB=ZDHA=90">

AB=AD

•二△AO的△OHA(A45),

•・Q=2,OB=6,

AOH=OA+AH=2+6=8,DH=2,

：.D(8,2),

,:B(0,6),

设直线BE的表iA式为y=k.x+br

则俨+b=2,解得.卜二叶,

1b=6b=6

故直线BE的表达式为y=--1x+6.

3.如图，己知直线/i：y=5x+l与坐标轴分别交于点4、点B,直线/2：y=Ax+6与坐标轴

2

分别交于点C、点力，OC=2O4,且两直线相交于点E.

(1)求直线/2的函数解析式；

(2)求四边形。BKC的面积；

(3)直接写出不等式!r+l>k+6的解集.

2

【分析】(1)利用待定系数法求得直线，2；

(2)S四边形OBEC=SMEC-S^AOB；

(3)根据图象即可求得.

【解答】解：(1)•・•直线/I的方程为尸、+1,

・••当y=0时，*+1=0.

解得x=-2.

・・・4(-2,0).

・・・OA=2.

•：OC=2OA,

：.OC=4.

：.C(4,0).

•・•点C在直线/2：丫=履+6上，

.•・4k+6=0.

解得攵=

2

・•・直线/2的函数解析式为>=-,户6；

(2)如图，过点上作£7LLx轴于点产，

•・•直线/1的方程为尸5+1，

・••当x=0时，y=\.

:,B(0,1).

.*.05=1.

11

y节x+1

由题意知，，

3

y=-2-x+6

r4

：.E（—,—）.

24

,\EF=—.

4

•・・OC=2OA=4,

：.AC=0A+0C=6.

:・S四边形OBEC=S^AEC~S4AOB

=—AC*EF--AO*BO

22

191

9X6X19X2X1

=23

・•・四边形OBEC的面积为23；

4

（3）由（2）知，点E的坐标是（立，❷）.

24

从图象可以看出不等式工x+l>履+6的解集为区.

22

4.在平面直角坐标系xOy中，对于非坐标轴上的点P给出如下定义：过点P向两坐标轴作

垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为m,则称点尸为小系矩形点.图中的尸,

Q两点均为10系矩形点.

（1）已知点A（-2,m）是6系矩形点，则〃尸1或-1:

（2）点B在第一象限，且是6系矩形点，则点8的坐标可以是（1,2）（答案不唯一）；

（写出一个即可）

（3）点C在直线y=x+l上，且点C是6系矩形点，求点C；

（4）已知一次函数y=/u+6的图象上存在6系矩形点，则〃的取值范围是〃>2或〃

<-2.

【分析】(1)由定义，可得2+|词=3,求出，”的值即可；

(2)写出符合条件的一个坐标即可：

(3)设C(m,〃?+1),由题意可得依|+|m+l|=3,再分情况求解绝对值方程即可；

(4)构造以(3,0),(-3,0),(0,3),(0,-3)为顶点的正方形，直线y=

〃x+6与该正方形区域有公共点时〃的取值即为所求.

【解答】解：(1)•・•点A(-2,m)是6系矩形点，即矩形A80C周长为6,

；.2+|m|=3,

'.m=\或m=-1,

故答案为：1或-1;

(2)在第一象限，且是6系矩形点，

・・・8的横坐标与纵坐标的和是3,B的坐标可以是(1,2),

故答案为：(1,2)(答案不唯一)；

(3)设C(/n,w+1),

•・•点C是6系矩形点，

r.|m|+|m+l|=3,

当/n>0时，m+m+\=3»

解得m=l,

：.C(1,2)；

当-IV/nVO时，-阳+加+1=3,无解，

当m<-1时，-m-m-1=3,

解得-2,

：.C(-2,-1),

综上所述，C的坐标为(1,2)或(-2,-1)；

(4)如图，以(3,0),(-3,0),(0,3),(0,-3)为顶点作正方形，

当直线丁=以+6与正方形区域有公共点时，一次函数)，=加+6的图象上存在6系矩形点，

当计6经过点(3,0)时，n=-2,

当y=nx+6经过点(-3,0)时，〃=2,

.*./!>2或〃V-2时，一次函数y=M6的图象上存在6系矩形点，

故答案为：〃>2或〃V・2.

5.如图L在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标为（・2,0）.点3的坐标为

（-1，--V2）.

乙

（1）求宜线A8的解析式;

（2）如图2,点C在线段OA的延长线上.点。是线段AC的中点，连接8。、BO,设

点。的横坐标为「，△08。的面积为s,求s与，之间的函数关系式（不要求写出自变量

/的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点。作。E_Lx轴，连接4E,N、尸分别是AE,DE

的中点，连接ON、CF,过点D作。K_LC产于点K,"DE=/NDE,过点C作CP〃

AE交EK的延长线于点尸，连接尸8,若tan/PB4=J2时，求s的值.

（2）利用坐标求出AC、40、。。，再根据三角形面积公式即可求解;

(3)延长C尸交AE于点”，设KO=2a,连接FM连接AP,过点P作PQ1.AC于点。

设直线A8与y轴的交点为R,证得△KFD丝△HFE,利用全等三角形的性质求得E”，

进而推导出AH,AN,HN,利用相似三角形的判定证得△E/WSAA/N,继而根据相似

三角形的性质求得FN=y/3a再根据中位线定理和中点求得AD,AC,利用全等三角形

的判定和性质求得CP,利用解直角三角形求得CQ,PQ,PA,再求证N%B-90°,利

用所给求得4P,继而求出。和AC的值，求出的，值，代入s=■王亚计至亚即可

84

求解.

【解答】解：(1)设直线4B的解析式y=^+A

_0=-2k+b

将A(・2,0),5(-1,-———)代入得：，5^2»

2=-k+b

\__5V2

解得，k一-厂，

b=-5祀

・・・直线AB的解析式为y=-显-5近；

2

(2)点坐标为(-2,0).点C的横坐标为f,

又•・•点C在线段OA的延长线上，

.*./<-2,

・・・OA=2,OC=-t,

：,AC=-t-2,

•・•点。是线段AC的中点，

：.AD=^AC=

22

/.OD=Q4+4O=2+匚旦］，

22

••,点B的坐标为(-1,-)，

•*»S^OBD=-^-OD*\yB\-《X*一哈.明+平,

222284

・•・$与f之间的函数关系式：s=-亭"t+ag；

(3)延长C尸交AE于点H,

设KD=2a,

•・・N是中点，OE_Lx轴于点。，

:,EN=AN=DN,

:•/NDE=/DEA,

•:/KDE=/NDE,

：.NKDE=NNDE=ADEA,

：.KD//AE,

又是ED中点,/EFH=NDFK,

:.EF=DF,

:AKFD安AHFE(ASA),

:・KD=EH=2a,NFHE=/FKD=90°,

又・・・。是AC中点，

：.AH=2KD=4a,

:.AE=6a,

•・・N是AE中点,

:・AN=EN=Ma,

：.HN=EN-EH=a,

连接FM

：.FN//AD,FN=—AD

2t

：・/EFN=/EDA=90°,

:AEFNSAFHN,

,ENFNnn3aFN

••二..L、|)二■,

FNHNFNa

：,FN=^/3a.

*：F、N分别是£。、EA的中点，。是AC的中点,

:,AD=CD=2FN=2如。,AC=2AD=4^3a.

cosZ/MC=AH二4a

AC=4V3a3

XCP//AE,K是C”中点,

:・NCPE=/KEH,NPCK=NEHK,CK=HK,

:・/\CPK出4EHK(AAS),

：.CP=EH=2a,

V3

cosZHAC=cosZACP=汩，

3

连接4P,过点P作PQ_LAC于点Q,

・••在RtZXCQP和APQ中，CQ=^^-^

3

由勾股定理可得：PQ={cp2-CQ2T2a2一（嘤a）之=耍a，

AQ=AC-CQ=^^-a,

由勾股定理可得：》=标名菽={（12件@）2+（嗓@）2=6。,

・,.tanNQ4P=R"=亚，

AQ5

设直线A8与y轴的交点为R

将x=0代入直线AB的解析式产-品%-5近：得尸一啦,

2

则点R坐标为：（0.-5V2）»即RO=5a,

:。4=2,

：.tanZARO=—=^,

R05

/.NAHO=NQB4,

N%8=180°-NO4R=90°-18,

•・・NARO+NOAR=90°，

・・・NQ4P+NOAR=90°,

.♦.NB48=180°-90°=90°，

又・・・tanNA8P=啜=&，AB=J（7+2）2+（-挈）之二喋

AD1//

・・・”=3近，

则AP=6a=3心

•.•_ci-V3,

2

：.AC=4^[3a=f）,

又由（2）得AC=-2-t=6.

将/=-8代入s=・亚匹,得s=-E反X（一8）四空巨,

84844

.25V2

••A1■

4

6.在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C(-4,0),与y轴交于点。(0,2),

平面内有一点E(3,1),直线BE与直线A8交于点B(2,3),与x轴交于点F.直

线AB的表达式记作yi=kx+b,直线BE表达式记作y2=mx+t.

(1)求直线BE的表达式和△BCF的面积.

(2)观察函数图象：直接写出0V履+。<侬+，的解集为-4VxV2.

(3)在x轴上有一动点H,使得△08”为等腰三角形，请直接出点”的坐标.

【分析】(1)根据待定系数法即可求出直线BE的解析式，令”=0即可求出点尸的坐标,

结合三角形的面积公式即可得出结论；

(2)根据待定系数法即可求出直线AB的解析式，当直线AB的图象在直线BE图象下方

时，有质+6V+/；当直线AB的图象在x轴上方时，有京+b>0.结合图象即可得出结

论;

(3)设点H的坐标为(〃，0),用两点间的距离公式找出。氏0"、的长度，结合

△08〃为等腰三角形的三种情况，即可求出〃的值.

3=2m+t

【解答】解：(1)将点8(2,3),E(3,1)代入到直线8E的解析式中，得1

l=3m+t

，m=-2

解得：

t=7

・•・直线BE的解析式为yi=~2r+7.

令*=0,则有-2x+7=0,解得〃?=工，

2

即点尸的坐标为（［，0）.

2

Z.CF=--（-4）=耳

22

:.ABCF的面积S=』X3C尸=2X3X至=至；

2224

（—4k+b=

（2）将C、B点坐标代入直线48的解析式中，得1

l2k+b=3

fk=l

解得：2.

b=2

:.直线AB的解析式为yi=X+2.

2

结合函数图象可知：

当xV2时，kx+b<mx+h当x>-4时，kx+b>0.

所以不等式组0V&+6W极+，的解集为：・4<rV2,

故答案为：-4VxV2；

（3）设点H的坐标为（〃，0）.

•・•点。（0,0）,点8（2,3）,

22=OH=\n\,22

.-.OT=72+3V13»«H=A/（n-2）+（0-3）.

△OB"为等腰三角形分三种情况：

①当时，即W5=i叫解得：〃=±A/I§,

此时点〃的坐标为（・后，0）或（例，0）；

②当08=8”时，即Vl§=J（n-2）2+（0-3）2.解得：〃=0（舍去），或〃=4.

此时点”的坐标为（4,0）；

③当OH=B"时，即l〃l=J（n-2）2+（0-3）2,解得：〃=竿.

此时点”的坐标为（工，0）.

4

综上可知：点”的坐标为（-J女，0）或（后，0）或（4,0）或（①，0）.

4

7.如图，在平面直角坐标系中，直线八：y=h+baW0）与直线/2：y=x交于点A（2,

与y轴交于点8（0,5）,与“轴交于点C.

(1)求直线人的函数表达式；

(2)在y轴上存在一点P,使得SMOP=S“OC,请求出点P的坐标；

(3)点M为直线h上的动点，过点M作)，轴的平行线，交于/2点N,点。为)，轴上一

动点，且△MNQ为等腰直角三角形，求满足条件的点M的坐标.

【分析】(1)根据4(2,a)在y=x图象上，求出点4的坐标，根据待定系数法求直线

人的函数表达式即可：

(2)令y=0,求出点C的坐标，设P(0,m),根据S“op=Saoc,即可求出答案；

(3)由于直角不确定，需分类讨论，得到MN与M的横坐标的关系.列得方程求解即

可.

【解答】解：(1)VA(2,a)在y=x图象上，

：.a=2,

・・・A(2,2),

•・•直线A：y=kx+b(左¥0)经过点A<2,2),(0,5),

.j2k+b=2,

,lb=5

fk=4

b=5

・•・直线Zi的函数表达式为：y=-§户5；

2

(2)・・•直线/I的函数表达式为：y=-2x+5,

2

・••当y=0时,x+5=0,

2

解得：尸号，

：.C（型，0）,

3

设P（0,机），

S/\AOP=S/\AOCr

.\Ax2|m|=—X12-X2,

223

・・・WI=蛇，解得帆=土独，

33

・•・点尸的坐标为（0,—）或（0,--）；

33

(3)设M(小-—67+5),则N(a,a),

2

q5

：.MN=\--a+5-a|=|--a+5\f

22

如图，当NMQN=90°时，过点0作。。_LMN于0,

:.MD=ND=QD,

:.MN=2QD,

5

--a+5\=2\a\

2t

解得：4=」2或4=10,

9

：,M(―,—)或M(10,-10)；

93

如图，当NQMN=90°或NQVM=90°时,

，：MN=MQ或MN=NQ,

・・・|-畀5|=同，

解得。=曲或a=—,

73

：.M(旦—)或M(旦0),

773

综上所述，M(―,—)或M(10,-10)或M(―,—)或M(―,0).

93773

8.如图1,在平面直角坐标系中，已知直线上)，=“％・3交x轴于点A,交)，轴于点"

直线/2：y=kx+b(&W0)交x轴于点C(273,0)，交y轴于点D(0,1),直线1\

和直线/2相交于点£连接4).

(1)求直线/2的解析式；

(2)如图2,若点用是直线A上任意一点，且在E点的右侧，过点M作轴，交

直线CO于点N,当线段MN=6时，求△AOM的面积；

(3)如图3,将△ACC沿射线R4方向平移近个单位，点。的对应点为点凡点G为

CO的中点，点P为直线/：工=-近上任意一点，在直线/1上确定一点Q,使得以点尸,

3

G,P,。为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点。的坐标，并任选

一个点的坐标，写出求解过程.

(2)设点M(〃?，>>/3in_3)>得N(m,m+1)，根据MN=6,列方程in-4

66

=6,求出〃?，再根据SADM=S梯形£)ORM-S^AOD-SA/U?M求出△A£)M的面积；

(3)根据题意，求出F点,G点坐标，再设〃(-近，y),Q",V3«3),根据

3

平行四边形的性质对角线互相平分，列方程即可求出。点坐标.

【解答】解：(1)将点C(24,0),D(0,1)代入直线/2：了=区+6,

得［2V3k+b=0t

Ib=l

b=l

•