《工程力学》课件第10章

项目十轮轴类零件的强度设计10.1任务引入

10.2解决任务的方法

10.3相关知识点介绍

10.4知识拓展——减速器中输出轴直径的设计

【教学提示】本项目介绍空间力系平衡问题的平面解法和弯扭组合变形杆件的强度计算。在教学中可结合实例让学生掌握常见轮轴类零件强度设计方法和思路。

【学习目标】掌握杆件弯扭组合变形强度计算的全过程，初步学会编写计算说明书。

轴类零件的主要作用是支承轴上所安装的旋转零件，例如带轮、齿轮、联轴器和离合器等，如图10-1所示的齿轮传动轴和图10-2所示的带轮传动轴。那么工程上是怎样设计轴类零件的呢？10.1任务引入

图10-1齿轮传动轴

图10-2带轮传动轴

这里通过观察上述两图的轴类零件的受力发现：它们所受力的作用线并不在同一平面内，这样的一群力所构成的力系称为空间力系。对于空间力系的外力，采用平面解析法将空间力系转化为平面力系，利用前面所学知识去求解。对于弯扭组合变形的强度计算，仍采用叠加法。10.2解决任务的方法

模块一空间力系平衡问题的平面解法

当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影组成的平面任意力系也是平衡的。据此，在工程实际中计算轮轴类零件的平衡问题时，将零件上受到的所有力(主动力、约束反力)分别投影到相互垂直的3个坐标平面上，得到3个平面平衡力系，分别列出它们的平衡方程，解出未知量。这种将空间任意力系的平衡问题转化为3个坐标平面内的平面力系的平衡问题的方法，称为空间平衡问题的平面解法。这种方法的优点是图形简明，几何关系清楚，因此在工程中常常采用。10.3相关知识点介绍

下面通过图10-3来说明这种方法的应用。

如图10-3(a)所示装有带轮和齿轮的轴AB，以轴AB为研究对象画出空间受力图10-3(b)，将空间力系分别向3个坐标平面投影，得到图10-3(c)、(d)、(e)所示的平面力系，列平衡方程。

(1)Ayz(见图10-3(c))：

∑Fz＝FAz＋FBz－Fr－(F1＋F2)＝0

∑MA(F)＝－Fr·a＋FBz·2a－(F2＋F1)·(2a＋b)＝0

(2)Axy(见图10-3(d))：

∑Fx＝FAx＋FBx＋Ft＝0

∑MA(F)＝－Ft·a－FBx·2a＝0

(3)Axz(见图10-3(e))：

根据相应方程可以求解未知量。

图10-3空间力系在坐标平面上的投影模块二弯扭组合变形的强度计算

弯扭组合变形与前面讨论过的几类组合变形有所不同。在拉(压)和弯曲组合时，杆件危险截面上的危险点往往处于单向应力状态，因而，在进行强度计算时，只需先求出杆件中出现的最大拉应力或最大压应力，然后再将与材料的允许应力进行比较即可。而在弯扭组合变形时，杆件中的危险点则是处于复杂应力状态，因此在进行强度计算时，需要首先对危险截面上危险点处的应力状态进行分析，再运用有关的强度理论建立强度条件。

(一)内力分析

在图10-4(a)中，外力P作用线与轴线是交叉位置关系。根据力的平移定理，将P向A点平移，得到图10-4(b)。转矩TA使杆件受扭，各截面上的扭矩为常量，杆件的扭矩图如图10-4(d)所示；外力P使杆件发生平面弯曲，弯矩图如图10-4(c)所示；由于剪力FQ的影响一般都比较小，可不予考虑。由扭矩图和弯矩图可知，右侧的固定端截面为危险截面。

图10-4圆轴的弯扭组合变形的应力分析

(二)强度分析

现在分析图10-4危险截面上危险点的位置以及危险点的应力状态。

在右侧固定端截面上，由扭矩引起的剪应力为

截面上剪应力

的分布规律如图10-4(e)所示。最大剪应力

max发生在截面周边各点处，方向与周边相切，其值为

在右侧固定端截面上，由弯矩引起的正应力为

正应力

沿截面高度的分布规律如图10-4(e)所示。最大的拉、压应力发生在截面的上、下边缘处，其值为

由危险截面上

和

的分布规律可知，在截面上、下边缘的a、b两点处，剪应力和正应力都达到最大值，因此a、b两点为危险点(两点的危险程度相同)。从a点处截取出一微元体，其上的应力情况如图10-4(f)所示。可知a点存在两个主应力，为复杂应力状态，在进行强度计算时，必须应用强度理论。

第三强度理论的强度条件是

(10-1)

第四强度理论的强度条件是

(10-2)

对于圆形截面,有

将上面关系代入式(10-1)和式(10-2)中，得

(10-3)

(10-4)

式(10-1)与式(10-2)或式(10-3)与式(10-4)就是处在弯扭组合变形情况下的杆件分别按第三、第四强度理论建立的强度条件。

在式(10-3)和式(10-4)中，M是危险截面上的弯矩，T是危险截面上的扭矩。应注意：式(10-3)和式(10-4)是对圆截面导出的，所以只适用于圆截面杆的弯扭组合变形的强度计算。

例10-1

图10-2所示传动轴AB由电动机带动。已知电机通过联轴器作用在截面A上的扭力偶矩为M1＝1kN·m，胶带紧边与松边的张力分别为FT1与F'T2，且FT1＝2FN，轴承C与B之间的距离l＝200mm，胶带轮的直径D＝300mm，轴用钢制成，许用应力［

］＝160MPa。试按第四强度理论确定轴AB的直径。

解

(1)外力分析。将胶带张力FT1与FT2向轴AB的轴线简化，得到作用在点E的横向力F与力偶矩M2(见图10-5(a))，其值分别为

F＝FT1＋FT2＝2FT2＋FT2＝3FT2

图10-5传动轴AB平面计算简图

如上所述，作用在截面A上的扭力偶矩为M1，所以，由平衡方程

得

(2)内力分析。绘制传动轴的弯矩图和扭矩图，分别如图10-5(b)、(c)所示。横截面E左侧为危险截面，该截面的弯矩与扭矩分别为

T＝M1＝1×103N·m

(3)设计轴径。按第四强度理论，由式(10-4)

得轴AB的直径为

取轴的直径为d＝44mm。

例10-2

如图10-6(a)所示传动轴，已知：F1＝5kN，F2＝2kN，a＝200mm，b＝60mm，d0＝100mm，D＝160mm，［

］＝80MPa。按第三强度理论设计轴的直径。

解

(1)外力简化。画出轴的受力简图如图10-6(b)所示。

(2)空间力系平面解析法。

xy平面如图10-6(c)所示，画出弯矩图如图10-6(d)所示。 求得

MCz＝35N·m

MBz＝420N·m

图10-6传动轴AB平面计算简图

xz平面如图10-6(e)所示，画出弯矩图如图10-6(f)所示。 求得

MCy＝480N·m

(3)扭矩图如图10-6(h)所示。求得

T＝240N·m

(4)危险点为C点，求得

TC＝T＝240N·m

(5)设计轴径。 由第三强度理论得

取d＝42mm。

必须指出，上述轴的计算是按静载荷情况来考虑的。这样处理在轴的初步设计或估算时是经常采用的。实际上，由于轴的转动，轴是在交变应力下工作的，因此有时还须进一步校核交变应力作用下的疲劳强度。

组合变形分析步骤的小结如下：

(1)载荷的简化和分解，把物件上的外力转化成几组静力等效载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。

(2)分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力应变和位移，然后将所得结果叠加。

(3)叠加法建立在叠加原理的基础上，即材料服从胡克定律，在小变形前提下力与变形成线性关系。

工程上轴类零件的设计步骤如下：

第一步，按扭矩或按弯扭组合初算某一截面的直径。

第二步，轴的结构设计，考虑轴上零件的安装位置和工艺要求，确定分成几个阶梯段并确定各段的长度和直径。

第三步，校核轴的强度。

工程力学中进行的是第一步和第三步的计算，最终确定轴的设计是否符合要求。10.4知识拓展——减速器中输出轴直径的设计

例10-3

试计算某减速器输出轴(见图10-7(a))危险截面的直径。已知作用在齿轮上的圆周力Ft＝17400N，径向力Fr＝6410N，轴向力Fa＝2860N，齿轮分度圆直径d2＝146mm，作用在轴右端带轮上外力F＝4500N(方向未定)，L＝193mm，K＝206mm。

解

(1)求垂直面的支承反力(见图10-7(b))。

图10-7减速器输出轴平面计算简图

(2)求水平面的支承反力(见图10-7(c))。

(3)求F力在支点产生的反力(见图10-7(d))。

F2F＝F＋F1F＝4500＋4803＝9303N

外力F的作用方向与带传动的布置有关，在具体布置尚未确定前，可按最不利的情况考虑。

(4)绘垂直面的弯矩图(见图10-7(b))。

(5)绘水平面的弯矩图(见图10-7(c))。

(6)绘F力产生的弯矩图(见图10-7(d))。

M2F＝F·K＝4500×0.206＝927N·m

a—a截面F力产生的弯矩为

(7)求合成弯矩图(见图10-7(e))。考虑到最不利的情况，把MaF与

直接相加，得

(8)求轴传递的转矩(见图10-