《工程力学》课件第3章

项目三摩擦问题3.1任务引入

3.2解决任务的方法

3.3相关知识点介绍

3.4知识拓展——斜面与螺纹的自锁

【教学提示】本项目主要解决摩擦问题的分类以及不同摩擦问题的解题步骤和要点。可采用分组讨论与问题式教学相结合的方法，并结合实物及实验加以理解。

【学习目标】正确理解摩擦、自锁的概念，熟练掌握摩擦问题的分类以及不同摩擦问题的解题步骤和要点。

在前面研究物体平衡问题时，总是假定物体的接触面是完全光滑的，将摩擦忽略不计。

实际上完全光滑的接触面并不存在。在许多工程问题中，摩擦对构件的平衡和运动起着主要作用，因此必须考虑。例如图3-1所示，人们攀登电线杆时所用的脚套钩使人不致下滑的条件是什么？3.1任务引入

图3-1脚套钩

解决这类问题，我们首先要正确理解摩擦的类型，其次对不同类型摩擦问题列出相应的方程，最后结合前面力系的平衡方程解决摩擦问题。3.2解决任务的方法

模块一滑动摩擦

(一)摩擦的概念及分类

摩擦是一种普遍存在于机械运动中的自然现象，人的行走、车的行驶、机械的运转无一不存在摩擦。例如，制动器靠摩擦制动，带轮靠摩擦传递动力，车床卡盘靠摩擦夹固工件等，都是摩擦有用的一面。摩擦也有其有害的一面，如带来阻力、消耗能量、加剧磨损、缩短机器寿命等。因此，研究摩擦是为了掌握摩擦的一般规律，利用其有用的—面，而限制或消除其有害的一面。3.3相关知识点介绍

摩擦按照物体表面相对运动情况，可分为滑动摩擦和滚动摩擦两类。滑动摩擦是指两物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦，所以滑动摩擦又分为动滑动摩擦和静滑动摩擦两种情况。滚动摩擦是一个物体在另一个物体上滚动时的摩擦，例如轮子在轨道上滚动。在这里主要讨论滑动摩擦中的静滑动摩擦。

(二)滑动摩擦分析

摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静摩擦力和动滑动摩擦力。

进行图3-2(a)所示的实验：在粗糙的水平面上放置一重W的物体，在其左侧施加F推力。

图3-2滑动摩擦物体在主动力W、F的共同作用下，使它与接触面产生法向约束力FN和与F方向相反的滑动摩擦力Ff，此时物体会处于图(b)、(c)、(d)三种不同的状态之一。

(1)如图3-2(b)所示，当F由零值逐渐增加但不是很大时，物体仍保持静止，支承面对物体除有法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，以Ff表示，方向向左。可见，静摩擦力就是接触面对物体作用的切向约束反力，它的方向与物体相对滑动趋势相反，它的大小需用平衡条件确定。此时有

∑Fx＝0,Ff＝F

可见，静摩擦力的大小随推力F的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。

(2)如图3-2(c)所示，当力F的大小达到一定数值时物体处于将要滑动，但尚未开始滑动的临界状态。这时，力F再增大一点，物体将开始滑动。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称为最大静摩擦力，以Ffmax表示。此后，如果F再继续增大，静摩擦力不再随之增大，物体将失去平衡而滑动。

静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零和最大值之间，即

0≤Ff≤Ffmax

(3-1)

实验证明：最大静摩擦力的大小与两种物体间的正压力(即法向反力)成正比，即

Ffmax＝fsFN (3-2)

式中，FN为接触面间的正压力；fs为静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数，它的大小与两物体接触面间的材料及表面情况(表面粗糙度、干湿度、温度等)有关。常用材料的静摩擦因数fs见表3-1。

表3-1常用材料的摩擦因数

(3)如图3-2(d)所示，当滑动摩擦力已达到最大值时，主动力再继续增加，接触面之间将出现相对滑动，此时接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以F'f表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即

F'f＝fFN (3-3)

式中，f是动摩擦因数，其大小与接触物体材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。通常动摩擦因数小于静摩擦因数。

实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关，不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动速度变化也不同，当滑动速度不大时，动摩擦因数可近似认为是个常数。常用材料的动摩擦因数见表3-1。

综上所述：当F＝0时，Ff＝0；当0＜Ff＜Ffmax时，物体平衡；当F＝Ffmax时，物体处于临界平衡状态；当F>Ffmax时，物体滑动。

摩擦定律给我们指出了利用和减小摩擦的途径，即可从影响摩擦力的摩擦因数与正压力入手。例如，一般车辆以后轮为驱动轮，故设计时应使重心靠近后轮，增加后轮的正压力。车胎上的各种纹路，是为了增加摩擦因数，提高车轮与路面的附着能力。如带传动中，用张紧轮或V型带增加正压力以增加摩擦力；通过减小接触表面粗糙度、加入润滑剂来减小摩擦因数以减小摩擦力等，都是合理利用静滑动摩擦的工程实例。

(三)摩擦角和自锁

1.摩擦角

考察如图3-3(a)所示物块的受力，物块重为P。当物块有相对运动趋势时，支承面对物块的法向反力FN和摩擦力Ff可合成为一个合力FRA＝FN＋Ff，称为支承面的全反力。记全反力与接触面公法线所夹角度为

。由于FN＝－P为常量，故FR与

随摩擦力Ff的变化而变化。

图3-3摩擦角和摩擦锥当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值Ffmax，夹角

也达到最大值

m。全反力与法线间夹角的最大值

m称为摩擦角，如图3-3(b)所示。可见

(3-4)

即摩擦角的正切等于静摩擦因数。因此

m与fs都是表示材料摩擦性质的物理量。

由于物块可以在切平面上沿任意方向滑动，因此每个方向的滑动都可以找到一条与摩擦角对应的全反力的作用线。所有方向的全反力作用线在空间形成一个锥形，称为摩擦锥，如图3-3(c)所示。若物块与支承面沿任何方向的静摩擦因数均相同，即摩擦角相同，则摩擦锥将是一个顶角为2

m的正圆锥面。

2.自锁

考察如图3-4(a)所示的物块在有摩擦力存在时其平衡与运动的可能性。设作用在物体上的各主动力的合力用FR表示，FR与法线间夹角为

。当物体处于平衡状态时，主动力合力FR与全反力FRA应等值、反向、共线，则有

＝

。而物体平衡时，全约束力作用线不可能超出摩擦锥，即

≤

m(如图3-4(a)、(b)所示)。因此物块平衡时必有

≤

m，否则，物块将处于运动状态(如图3-3(c)所示)。

图3-4自锁与不自锁现象上述讨论表明，当主动力合力的作用线落在摩擦角(锥)之内或与其边界重合时，则不论此合力有多大，总有全反力与之平衡，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。反之，当主动力合力的作用线落在摩擦角(锥)之外时，则不论此合力有多小，物块也必会运动。

自锁现象在工程实际中有重要的应用，如千斤顶、压榨机、圆锥销等机械和夹具就是利用自锁原理，使它们始终保持在平衡状态下工作。但有时却要避免自锁发生，如水闸门的自动启闭，变速机构中的齿轮滑移等，都不允许发生自锁(也称卡死)现象。值得注意的是，在静摩擦力达到最大值的所有问题中，都存在自锁或不自锁问题。模块二滚动摩擦简介

由经验可知，当搬动重物时，若在重物底下垫上辊轴，比放在地面上推动要省力得多。这说明用滚动代替滑动所受到的阻力要小得多。车辆用车轮、机器中用滚动轴承代替滑动，就是这个道理。

滚动比滑动要省力得多，工程实际中也是如此。原因是滚动的阻力比滑动的阻力要小得多。我们考察图3-5中轮子的滚动，假设轮子重为Q，半径为r，与水平面的接触点为A，轮子作用一水平推力P，当推力较小时，轮子不会滑动，也不会转动。对轮子做受力分析，见图3-5(a)，接触面正反力N与重力Q等值反向；静摩擦力F与推力P也等值反向。但是，从图中可以看出，光有这些力并不能使轮子达到平衡，因为这些力中，静摩擦力F与推力P构成了一对力偶，他们产生的转动效应需要一个反向力偶矩来平衡。这个力偶矩的产生可以这样分析：由于接触面并非理想光滑，轮子在F与P构成的力偶作用下具有转动的趋势，粗糙的接触面由于轮子的压迫会产生一定的变形，参见图3-5(b)，此时轮子与接触面不是一个点接触，而是沿AB段圆弧接触，轮子在AB段承受的是平面任意力系，它们可以简化成一个主矢量R，但是该主矢量并不是作用在A点，见图3-5(c)，主矢量R的两个分量就是正反力和静摩擦力，其中正反力与A点的距离设为

。如果我们将正反力和静摩擦力向A点简化，此时，就要增加一力偶矩M＝N×

，如图3-5(d)所示，这个力偶矩称做最大滚动摩擦力偶矩，简称为滚阻力偶矩。它的作用就是阻碍轮子的转动。

图3-5滚动摩擦实验表明，最大滚阻力偶矩与法向反力成正比，即

Mfmax＝

FN (3-5)

式(3-5)称为滚动摩擦定律。式中，

是一个有长度单位的系数，称为滚动摩擦因数。其数值取决于两接触物表面材料的性质及表面状况。

显然，当推力P对接触点A的主动力矩超过最大滚动摩擦力偶矩时，轮子将开始转动。

模块三考虑摩擦时物体的平衡

考虑摩擦时物体的平衡问题，与不考虑摩擦时物体的平衡问题大体相同。不同的是在画受力图时要画出摩擦力，摩擦力的方向总是与物体有相对滑动趋势的方向相反，它的大小又在一定的范围内变化。因此，解决其平衡问题时，要按两类情况来考察：

(1)物体处于临界平衡状态，F＝Ffmax。

(2)物体处于静止状态，此时摩擦力在一定范围内变化，即0＜Ff＜Ffmax。

当物体处于不同状态时，应采用不同的分析方法。下面分别举例说明处于这两种情况的物体平衡问题的解法。

例3-1

如图3-6(a)所示的梯子长AB＝1，重W1＝100N，靠在光滑的墙壁上。梯脚与地面间的摩擦因数为f＝0.4。问当梯子与地面间的夹角为多大时，重为W2＝700N的人才能爬到梯顶而梯子不滑倒？

解对于图示梯子来说，显然是梯子与地面间的夹角越小，就越容易向左滑动。依题意，是求使梯子不滑倒时的最小倾角

＝

min，这是一个考虑梯子处于临界平衡状态时的平衡问题。

(1)以梯子为研究对象，画受力图如图3-6(b)所示。

(2)建立如图所示坐标系，列方程并写出静摩擦定律表达式：

图3-6梯子的受力分析

(3)联解以上各式，求得

＝

min＝66.89°，即当

≥66.89°时，梯子不会滑倒。

例3-2

物体重P＝980N，放在一倾角

＝30°的斜面上。已知接触面间的静摩擦系数为fs＝0.20。有一大小为F＝588N的力沿斜面推物体如图3-7(a)所示，问物体在斜面上处于静止还是滑动状态？若静止，此时摩擦力多大？

解对于判断物体状态的这一类问题，可先假设物体处于静止状态，然后由平衡方程求出物体处于静止状态时所需的静摩擦力Fs，并计算出可能产生的最大静摩擦力Fmax，将两者进行比较，确定力Fs是否满足Fs≤Fmax，从而断定物体是静止的还是滑动的。

图3-7斜面上物体受力分析

(1)设物体静止但沿斜面有下滑的趋势，则其受力图及坐标系如图3-7(b)所示。

(2)列平衡方程：

∑Fx＝0,F－Psin

＋Fs＝0

∑Fy＝0,FN－Pcos

＝0

解得

Fs＝Psin

－F＝980sin30°－588＝－98N

FN＝Pcos

＝980cos30°＝848.7N

(3)根据静摩擦定律，可能产生的最大静摩擦力为

Fmax＝fsFN＝0.2×848.7＝169.7N

将Fs与Fmax进行比较得

|Fs|＝98<169.7＝Fmax

结果说明物体在斜面上保持静止。而此时静摩擦力Fs为－98N，负号说明实际方向与假设方向相反，故物体沿斜面有上滑的趋势。

例3-3

攀登电线杆时所用的脚套钩如图3-1所示。套钩与杆接触处A、B两点间的摩擦因数均为fs。已知杆的直径为d，套钩高度尺寸为b，问人的脚踏处C距杆中心的距离l至少为多少时，人才不致下滑？

解本例只需要求解在平衡的临界状态下所对应的平衡位置(最小值)。

(1)取脚套钩为研究对象，作受力图如图3-8所示。由于在人的重力作用下套钩有下滑的趋势，因此A、B两点间的摩擦力方向均向上。在平衡的临界状态，两摩擦力同时达到最大静摩擦力的数值。图3-8脚套钩的受力分析

(2)由平衡方程及摩擦定律得

解得

①

由对AB中点D之矩为零，即

得

②

(3)由①、②两式得

即

(4)由式②知，当l加大时，FNA(FNB)也增大，从而B(A)处的摩擦力也增大，平衡更安全。由此所得的临界平衡状态是l的下限，即

在如图3-9所示存在摩擦力的斜面—物块系统中，设物块A重P，斜