《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第8章

第8章假设检验第一节知识梳理

第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解第一节知识梳理第二节重点解析

1.假设检验的基本方法

（1）根据实际问题的要求，提出原假设H0与备择假设H1。当H1为双侧备择假设时，H1也可以不写出。

（2）选取适当的检验统计量W，并在原假设H0成立的前提下，确定出统计量W的概率分布。（3）根据具体情况，选取适当的显著性水平α及样本

容量n。

（4）利用W的分布求出W相应于α和n的临界值及H0的拒绝域。

（5）由样本观察值计算出W的观测值，并与临界值作比较，决定拒绝原假设H0还是接受原假设H0。

2.参数假设检验

1)单个正态总体均值的双侧检验

设总体X~N(μ，σ2)，均值μ未知，X1，X2，…，Xn是

X的一个样本，要求检验假设H0：μ=μ0，μ0为已知常数，取显著性水平为α。

（1）对于σ2已知的情形，构造检验统计量~使若则拒绝原假设H0，即认为总体均值μ与常数μ0有显著差异；若则接受原假设H0，即认为总体均值μ与常数μ0无显著差异。（2）对于σ2未知的情形，构造检验统计量~使若则拒绝原假设H0，即认为总体均值μ与常数μ0有显著差异；则接受原假设H0，即认为总体均值μ与常数μ0无显著差异。

2）单个正态总体方差的双侧检验

设总体X~N(μ，σ2)，

μ和σ2未知，X1，X2，…，Xn

是X的一个样本，要求检验假设H0：σ2=σ20，σ20为已知常数，取显著性水平为α。

构造检验统计量~使若或则拒绝原假设H0，即认为总体方差σ2与常数σ20有显著差异；若则接受原假设H0，即认为总体方差σ2与常数σ20无显著差异。

3）两个正态总体均值的双侧检验

设总体X~N(μ1，σ2)，

Y~N(μ2，σ2)，且二者相互独立，X与Y分别是这两个样本的样本均值，S21与S22分别是这两个样本的样本方差。设两个正态总体的均值μ1、μ2及方差σ2均未知，现要检验假设H0：μ1=μ2(μ1－μ2=0)，取显著性水平为α。构造检验统计量~其中使若则拒绝原假设H0，即认为两个正态总体的均值μ1与μ2有显著差异；则接受原假设H0，即认为两个正态总体的均值μ1与μ2无显著差异。

4)两个正态总体方差比的双侧检验

构造检验统计量~使若或则拒绝原假设H0，即认为两个正态总体的方差有显著差异；若

3.分布假设检验

1)假设总体分布为已知的检验

设总体X的分布函数F(x)已知，

X1，X2，…，Xn是X的一个样本，要求检验假设H0：F(x)=F0(x)，这里F0(x)是一已知的分布函数，其中不含任何未知参数。对于给定显著性水平α，使P{χ2≥χ2α(l－1)}≈α，按算出χ2的观测值。

2)假设总体分布为未知的检验

设总体X的分布函数F(x)未知，X1，X2，…，Xn是X的

一个样本，要求检验假设H0：F(x)=F0(x;θ1，θ2，…，θm)，这里函数F0(x;θ1，θ2，…，θm)的表示式已知，而参数θ1，

θ2，…，θm未知。对于给定的显著性水平α及充分大的样本容量n(n≥50)，使按算出的观测值。第三节典型例题

【例8.1】某厂生产一批产品，共80件，须经检验合格才能出厂。按规定，次品率不能超过1%。今在其中任意抽取2件，发现有次品，问这批产品能否允许出厂？解从直观上看，似乎是不能出厂。假设产品的次品

率为p，问题化为如何根据抽样的结果来判断“p≤0.01”是否成立。

要检验的假设是“p≤0.01”，如果假设成立，80件中最多有一件是次品，现任取2件，先看“无次品”的概率,即因此于是这表明，如果“p≤0.01”，那么任取2件产品，出现次品的机会是很小的，平均在100次抽样中，实际上是不大可能

出现次品的，这是个小概率事件。然而，现在抽取2件，

却发现了次品，这是“不合理”的。其原因就在于这个假设“p≤0.01”不合适。因此认为假设“p≤0.01”是不能接受的，故这批产品不能出厂。

【例8.2】设X1，

X2,…,Xn是来自正态总体N(μ，σ2)

的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知，记

试构造检验假设H0：μ=0的t检验统计量T。，解由t分布随机变量的构成的典型模式出发来构造统计量T。

在H0成立的条件下，有~已知~也就是~且相互独立，故~故

【例8.3】某校毕业班历年语文毕业成绩接近N(78.5，7.62)，今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗（显著性水平α=0.05）？解本题所述是要把今年语文的平均分数与历年平均分数相比，因此这是一个均值的检验问题，且已知方差σ2=7.62，所以是U检验的问题。

待检验的假设为

H0：μ=μ0=78.5，H1：μ≠μ0选检验统计量U，在H0成立的条件下，有~给定α=0.05，于是原假设的拒绝域为查标准正态分布表，得

u0.025=1.96

计算U的绝对值，即因为1.75<1.96，未落入拒绝域,所以可认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下。

【例8.4】某砖厂制成两批机制红砖，抽样检查测量砖的抗折强度（千克），得到结果如下:

第一批：n1=10，x=27.3，s1=6.4

第二批：n2=8，y=30.5，s2=3.8

已知砖的抗折强度服从正态分布，在显著性水平为0.05的条件下试检验：

（1）两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异？

（2）两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异？解（1）待检验的假设为，用F检验法，当H0为真时，统计量为~原假设的拒绝域为由n1=10，n2=8，s21=40.96，s22=14.44得，所以接受H0，认为抗折强度的方差没有显著差异。

（2）待检验的假设为

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

用t检验法，当H0为真时，统计量为~其中原假设的拒绝域为

{|t|≥tα/2(n1+n2－2)}查表可得

t0.025(10+8－2)=t0.025(16)=2.1199而，sω=5.418由于所以接受H0，认为抗折强度的期望无显著差异。

第四节习题全解

8.1某灯泡厂生产一种节能灯泡，其使用寿命（单位：h）长期以来服从正态分布N(1600，1502)。现从一批灯泡中随意抽取25只，测得它们的平均寿命为1636h。假定灯泡寿命的标准差稳定不变，问这批灯泡的平均寿命是否等于1600h（取显著性水平α=0.05）？解待检验的假设为

H0：μ=μ0=1600，H1：μ≠μ0

由于总体方差σ2=1502已知，故使用U检验法，检验统计量为当H0为真时，U~N(0，1)，所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知

x=1636，n=25，α=0.05

查表可得u0.025=1.96

所以检验统计量的观测值为因为所以根据U检验法，应该接受H0,即认为这批灯泡的平均寿命等于1600h。

8.2正常人的脉搏平均为72次/分，检查10例四乙基铅中毒患者，测得他们的脉搏（次/分）分别为

54，67，68，78，70，66，67，

70，65，69

已知脉搏服从正态分布，在显著性水平α＝0.05下，问四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异？解待检验的假设为

H0：μ=μ0=72，H1：μ≠μ0

由于总体方差σ2未知，故使用t检验法，检验统计量为当H0为真时，t~t(n－1)，所以H0的拒绝域为由题目所给样本值可得

x=67.4，s=5.929，n=10，α=0.05

查表可得t0.025(9)=2.2622，所以检验统计量的观测值为因为

8.3某食品厂生产一种食品罐头，每罐食品的标准质量为500g。今从刚生产的一批罐头中随机抽取10罐，称得其质量（单位：g）分别为

495，510，505，498，503，492，

502，512，497，506

假定罐头质量服从正态分布，问这批罐头的平均质量是否符合标准（取α=0.05）？解待检验的假设为

H0：μ=μ0=500，H1：μ≠μ0

由于总体方差σ2未知，故使用t

检验法，检验统计量为当H0为真时，t~t(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知

x=502，s=6.498，n=10，α=0.05

查表可得t0.025(9)=2.262，所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该接受H0,即认为这批罐头的平均质量是符合标准的。

8.4如果一个矩形的宽度与长度的比值为0.618，则称此矩形为黄金矩形，并称这个比值为黄金比例。某工艺厂生产一种镜框，从中抽取20个，测其宽与长的比值为

0.693，0.749，0.645，0.670，0.662，0.672，0.615，0.606，0.690，0.628

0.668，0.611，0.606，0.609，0.601，0.553，0.570，0.844，0.576，0.933

设镜框宽与长的比值服从正态分布，在显著性水平α=0.05下，问这种镜框宽长比例的均值与黄金比例是否有显著差异？解待检验的假设为

H0：μ=μ0=0.618，H1：μ≠μ0

由于总体方差σ2未知，故使用t检验法，检验统计量为，当H0为真时，t~t(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知

x=0.66005，s=0.0925，n=20，α=0.05

查表可得t0.025(19)=2.093，所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该接受H0,即认为这种镜框宽长比例的均值与黄金比例无显著差异。

8.5已知一细纱车间纺出某种细纱的支数服从正态分布，其标准差为1.2，从某天纺出的细纱中随机抽出16缕进行支数测量，算得样本标准差为2.1，在显著性水平α=0.05下，问这天细纱支数的均匀度较平常有无显著差异？解待检验的假设为

H0：σ2=σ20=1.22，H1：σ2≠σ20

利用χ2检验法，检验统计量为当H0为真时，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知s=2.1，n=16，α=0.05,查表可得，所以检验统计量的观测值为因为所以根据χ2检验法，应该拒绝H0,即认为这天细纱支数的均匀度较平常有显著差异。

8.6从某电工器材厂生产的一批保险丝中抽取10根，测试其熔化时间，得到数据如下：

42，65，75，78，71，59，57，

68，55，54

设保险丝的熔化时间服从正态分布，问这批保险丝熔化时间的标准差是否等于12？取显著性水平α=0.01。解待检验的假设为

H0：σ=σ0=12，H1：σ≠σ0

利用χ2检验法，检验统计量为当H0为真时，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知s=11.037，n=10，

α=0.01，查表可得，所以检验统计量的观测值为因为所以根据χ2检验法，应该接受H0,即认为这批保险丝熔化时间的标准差等于12。

8.7测定某一食品中的水分，由它的10个测定值算出，样本均值x=0.452%，样本标准差s=0.037%。设测定值整体服从正态分布N(μ，σ2)，试在显著性水平α=0.05下，分别检验假设：

（1）H0：μ=0.5%；

（2）H0：σ=0.04%。解（1）待检验的假设为

H0：

μ=0.5%=μ0，H1：μ≠0.5%

由于总体方差σ2未知，故使用t检验法，检验统计量为当H0为真时，t~t(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知

x=0.452%，s=0.037%，n=10，α=0.05

查表可得

t0.025(9)=2.262所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该拒绝H0。（2）待检验的假设为

H0：σ=0.04%=σ0，H1：σ≠σ0

利用χ2检验法，检验统计量为当H0为真时，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知s=0.037%，n=10，α=0.05，查表可得，所以检验统计量的观测值为因为所以根据χ2检验法，应该接受H0。

8.8甲、乙两台车床加工同一规格的零件，从加工的零件中各抽取若干件，测量其尺寸（单位：cm）为

甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，

20.0，19.0，19.9

乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，

20.6，19.2

假设两台车床加工的零件尺寸都服从正态分布，且方差相同。问两台车床加工零件的平均尺寸有无显著差异(取α=0.05)？解设甲、乙两台车床加工的零件尺寸总体分别为

X~N(μ1，σ21)，Y~N(μ2，

σ22)

待检验的假设为

H0：μ1=μ2，

H1：μ1≠μ2

由于题目中假设两个总体方差相同但未知，故使用t

检验法，检验统计量为其中当H0为真时，

t~t(n1+n2－2),所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知查表可得

t0.025(13)=2.160所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该接受H0,即认为两台车床加工零件的平均尺寸无显著差异。

8.9在十块田地上同时试种A、B两种谷物，根据公顷产量（单位：kg）算得xA=3097，yB=2179，sA=2670，sB=2110。问这两种谷物的平均公顷产量有无显著差异（取α=0.05）？假定两种谷物的公顷产量都服从正态分布，且方差相等。在两个正态总体方差相同的假设下，使用t检验法，检验统计量为其中所以检验统计量的观测值为因为

8.11按两种不同配方生产橡胶，测得伸长率（%）如下：

配方Ⅰ：540，533，525，520，544，

531，536，529，534

配方Ⅱ：565，577，580，575，556，

542，560，532，570，561

设橡胶伸长率服从正态分布，检验按两种配方生产的橡胶的伸长率的方差是否相同（取α=0.05）？解设配方Ⅰ、Ⅱ的伸长率总体分别为

X~N(μ1，σ21)，Y~N(μ2，σ22)

待检验的假设为

H0：σ21=σ22，H1：σ21≠σ22

利用F检验法，检验统计量为当H0为真时，F~F(n1－1，n2－1)，所以H0的拒绝域为由题目所给数据可知查表可得，所以检验统计量的观测值为，因为，所以根据F检验法，应该拒绝H0,即认为两种配方的伸长率方差有显著差异。

8.12对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽取6件，测试的结果（单位：Ω）如下：

A批：0.140，0.138，0.143，0.144，

0.141，0.137

B批：0.135，0.140，0.142，0.136，

0.138，0.141设这两批元件的电阻分别服从正态分布N(μ1，σ21)与N(μ2，σ22)，试在α=0.05下检验下列假设：

（1）H0：σ21=σ22；

（2）H0：μ1=μ2。解（1）待检验的假设为

利用F检验法，检验统计量为

当H0为真时，F~F(n1－1，n2－1),所以H0的拒绝域为，（2）待检验的假设为

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

在（1）的基础上，利用t

检验法，检验统计量为其中当H0为真时，t~t(n1+n2－2),所以H0的拒绝域为所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该接受H0。

8.14一台机床加工轴的平均椭圆度是0.095mm，机床调整后取20根轴测量其椭圆度，算得样本均值x=0.081mm，样本标准差s=0.025mm。问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低？这里假定机床加工轴的椭圆度服从正态分布，取其显著性水平α=0.05。解待检验的假设为

H0：μ≥μ0=0.095，H1：μ<μ0

由于总体方差未知，故使用t检验法，检验统计量为当H0为真时，P{t≤－tα(n－1)}≤α，所以H0的拒绝域为

(－∞，－tα(n－1)］由题目所给数据可知

查表可得t0.05(19)=1.7291，所以检验统计量的观测值为因为所以根据t检验法，应该拒绝H0,即认为调整后机床加工轴的平均椭圆度有显著降低。

8.15某盐业公司用机器包装食盐，按规定每袋标准质量为1kg标准差不得超过0.02kg。某日开工后，为了检查机器工作是否正常，从装好的食盐中抽取9袋，称得其质量（单位：kg）如下：

0.994，1.014，1.020，0.950，1.030，0.968，0.976，1.048，0.982

假定食盐的袋装质量服从正态分布，问当日机器工作是否正常（取α=0.05）？解待检验的假设为

H0：

σ2=0.022=σ20，H1：σ2>0.022

利用χ2检验法，检验统计量为当H0为真时，P{χ2≥χ2α(n－1)}≤α，所以H0的拒绝域为［χ2α(n－1)，+∞)

8.17在一个陀螺的圆周上均匀地刻上区间［0，10)上的诸数，旋转这个陀螺，当它停止时，其边周与地板的接触点是一随机变量。旋转100次，触地点落在［0，10)的10个等分区间上的频数如下：问这个陀螺是否匀称（取α=0.05）？解设陀螺停止时，其边周与地板接触点为总体X，此问题化为检验如下假设:

H0：X服从U［0，10)分布

H1：X不服从U［0，10)分布

根据χ2拟合优度检验法，检验统计量为当原假设H0成立时，χ2的极限分布为χ2(l－1)，H0的

拒绝域为

［χ2α(l－1)，+∞)

由题目所给数据可知

n=100

当H0成立时，下面列表计算χ2的值和分组数l等。由上表可得分组数l=10，查表可得由于故接受原假设H0，即认为陀螺是匀称的。

8.18在检验某一产品质量时，每次抽取10个产品来

检验。共取100次，得到每10个产品中次品数X的频率分布如下：在显著性水平α=0.05下，问生产过程中出现次品的概率p是否稳定不变，即次品数X是否服从二项分布b(10，p)？解此问题化为检验如下假设：

H0：X服从b(10，

p)分布；H1：X不服从b(10，p)分布

首先求出参数p的最大似然估计值为估计的参数个数为

m=1

根据χ2