《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第2章

第2章随机变量及其分布第一节知识梳理

第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解第一节知识梳理

第二节重点解析

1.随机变量及其分布函数

1)随机变量

定义：设随机试验E的样本空间为S={e},X=X(e)是定义

在样本空间S上的实值单值函数，对于任意实数x，集合{e|X(e)≤x}有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量。

2)随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=P{X≤x}（－∞<x<+∞）称为X的分布函数，记为

X～F(x)。

性质1：F(x)是一个单调非减函数，若x1＜x2，则F(x1)≤F(x2)。

性质2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性质3：F(x)右连续，即

2.离散型随机变量及其分布律

1)离散型随机变量的分布律

定义：设X是离散型随机变量，X可能的取值为x1，x2，…，则称

P{X=xi}=pi

（i=1，2，…）

为离散型随机变量X的概率分布律或分布律。

由概率定义知，离散型随机变量的分布律具有如下性质：（1）非负性：pi≥0（i=1，2，…）；

（2）归一性：。

2)常用离散型分布

（1）两点分布（（0-1）分布）：

P{X=1}=p，P{X=0}=1－p

（0<p<1）

（2）二项分布：X～b(n，p)，

P{X=k}=Cknpk(1－p)n－k

(k=0，1，…，n；0＜p＜1;n和p是参数)（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超几何分布:（5）几何分布:

P{X=k}=(1－p)k－1p(k=1，2，…；0<p<1)

3.连续型随机变量及其密度函数

1)密度函数及其性质

定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，并称X的分布为连续型分布。密度函数f(x)具有以下性质：

（1）f(x)≥0(－∞＜x＜+∞)；

（2）；

（3）对任意实数x1、x2(x1≤x2)，有

（4）若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。定理：设X为任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x)分别是它的分布函数与密度函数，则

（1）对任意一个常数a(－∞<a<+∞)，有P{X=a}=0；

（2）对任意两个常数a、b（－∞<a<b<+∞），有

P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}

=P{a<X≤b}=

2)三种重要的连续型分布

（1）均匀分布：X～U(a，b)，（2）指数分布:X～e(λ)，（3）正态分布:X~N(μ，σ2)，引理1：若X~N(μ，σ2)，则Y=aX+b~N(aμ+b，a2σ2)(a≠0)。引理2：若X~N(μ，σ2)，则~N(0，1)。

4.随机变量函数的分布

1)离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的分布律为则随机变量函数Y=g(X)的分布律可由下表求得,即

2)连续型随机变量函数的分布

设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则随机变量Y=g(X)的分布函数为其中，{X∈Iy}与{g(X)≤y}是等价的随机事件，而Iy={x|g(x)≤y}是实数轴上的某个集合，随机变量Y的概率密度函数fY(y)可由fY(y)=F′Y(y)得到。定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)

（－∞<x<+∞），设y=g(x)处可导且恒有g′(x)>0（或恒有g′(x)<0），

x=h(y)是y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度函数为其中α=min{g(－∞)，g(+∞)}，β=max{g(－∞)，g(+∞)}。第三节典型例题

【例2.1】一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为。用X表示3个零件合格品的个数，求X的分布律。

解因为利用同一台机器制造3个同种零件，所以可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以Ai表示第i个零件是合格的，则。因X表示零件的合格数，所以X的分布律为

【例2.2】甲、乙两选手轮流射击，直到有一个命中

为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求:

（1）两人射击总次数X的分布律；

（2）甲射击次数X1的分布律；

（3）乙射击次数X2的分布律。

解因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击，所以可以看出，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同，并且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai)=0.6(i=1，2，…)；令Bi表示乙第i次射击时射中，则P(Bi)=0.7(i=1，2，…)。由此可知（1）（3）（2）

【例2.3】若X的分布函数为N(60，9)，求分点x1、x2、x3、x4，使得X落在(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)，(x4，+∞)中的概率之比为7∶24∶38∶24∶7。

解由正态分布对称性和题目比例知x1、x2分别与x4、

x3关于x=60对称，且故

【例2.6】某科统考成绩X近似服从正态分布

N(70，102)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约

为多少分？解设第20名的成绩为x,因为而又因为所以

P{X≥x}=0.2×0.8413=0.16826

即所以，，

【例2.7】设随机变量X服从［a，b］上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0)，试求随机变量Y的密度函数。

解因为当c>0时，当c<0时，

【例2.8】设连续型随机变量X的密度函数为

求:

（1）Y=2X+3；

（2）Y=X2的密度函数。解（1）由Y=2X+3有，，所以（2）利用分布函数法求解，即所以第四节习题全解

2.1下列给出的数列，哪些是随机变量分布律，并说明理由。解（1）因为pk≥0(k=0，1，2，3，4，5)，且所以满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。（2）因为所以不满足概率分布的条件，故该数列不是随机变量分布律。（3）因为，且所以满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。

2.2

设随机变量X的分布函数为

F(x)=α+βarctanx(－∞<x<+∞)

试求：

（1）常数α和β；

（2）随机变量X落在区间(－1，1］内的概率。解（1）根据分布函数的性质知，解得（2）由（1）知故随机变量X落在区间(－1，1］内的概率为

2.3

一个袋中装有5个编号为1、2、3、4、5的乒乓球，从袋中同时取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大号码，所以X的分布律为或写成下面求X的分布函数F(x)。

当x<3时，{X≤x}是不可能事件，因此

F(x)=0

当3≤x<4时，{X≤x}等同于{X=3}，因此当4≤x<5时，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，因此当x≥5时，{X≤x}为必然事件，因此

F(x)=1综上可得，F(x)的分布函数为

2.4

试确定常数a，使

成为某个随机变量X的分布律，并求：

（1）P{X≤1}；

（2）解由于，因此。

而因此由等式解得将代入原式得（1）对于该题{X≤1}等价于{X=0或X=1}，因此（2）对于该题等价于{X=1或X=2}，因此

2.5从含有10个黑球及3个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸到黑球为止所需次数X的分布律：

（1）每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；

（2）每次取出的球都不放回袋中；

（3）每次取出一个球后总是放回一个黑球。解（1）事件“X=1，2，3，…，k”表示摸到黑球所需要的次数，所以X的分布律为或写成（2）作不放回抽取时，由于白球共3个，至多到第4次抽取便会抽到黑球，所以X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成（3）由于每次取出一球后总放回一个黑球，所以至多到第4次抽取时便可取到黑球，因此X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成

2.6

设离散型随机变量X的分布函数为且，试求常数a、b的值和X的分布律。解

X的分布律为据题意，故①再利用分布律的归一性知

a+b=1②将①和②联立方程组解得代入X的分布律中有

2.9

设随机变量X的密度函数为

试求：

（1）常数a；

（2）X的分布函数F(x)。解（1）由于，即故

a=2（2）由(1)得X的密度函数为由定义，得当x≤0时，

F(x)=0当0<x<1时，当0<x<1时，所以X的分布函数为当x≥1时，

2.10

设随机变量X的密度函数为

（1）求常数a；

（2）求X的分布函数F(x)；

（3）画出f(x)和F(x)的图形。解（1）由于，即故

a=2（2）由（1）得X的密度函数为由定义，得当x<0时，

F(x)=0当0≤x<1时，当1≤x<2时，当x≥2时，所以X的分布函数为（3）图2－1所示为f(x)的图形，图2－2所示为F(x)的

图形。图2-1图2-2

2.11

设随机变量X的密度函数为

f(x)=ae－|x|(－∞<x<+∞)

试求：

（1）常数a；

（2）P{－1<X<2}；

（3）X的分布函数F(x)。解（1）由于，即故。（2）由（1）得X的密度函数为由连续型随机变量的性质可得（3）由定义，得

当x<0时，当x≥0时，所以X的分布函数为

2.12

设随机变量X的分布函数为

试求：

（1）常数a；

（2）P{X≥4}；

（3）P{3<X<4}；

（4）P{X=2.5}；

（5）X的密度函数f(x)。解（1）根据分布函数的性质知F(x)是右连续的，故

即

1－a=0

所以a=1。（2）由（1）知X的分布函数为

由F(x)的形式知X~e(0.4)，故X为连续型随机变量。

根据连续型随机变量的性质知

P{X=4}=0，

所以

P{X≥4}=1－P{X≤4}=1－F(4)

=1－(1－e－0.4×4)=e－1.6（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F(3)

=(1－e－0.4×4)－(1－e－0.4×3)=e－1.2－e－1.6

（4）根据连续型随机变量的性质知对于任意一个常数x，恒有

P{X=x}=0

所以

P{X=2.5}=0（5）随机变量X的密度函数f(x)在连续点x处可由f(x)=F′(x)得到。

当x>0时，

f(x)=F′(x)=(1－e－0.4x)′=0.4e－0.4x

当x≤0时，

f(x)=F′(x)=0

故X的密度函数为

2.16

设X~N(3，22)。

（1）求P{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{|X|>2}，P{X>3}；

（2）确定c，使得P{X>c}=P{X≤c}；

（3）设d满足P{X>d}≥0.9015，问d至多为多少？解（1）随机变量X服从正态分布，且μ=3，σ=2,

故对于任意区间(x1，x2］有①②③④

P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)

因为所以（2）对于X~N(3，22)有μ=3,因为正态概率密度曲线关于直线x=μ对称,所以有

P{X≤μ}=P{X>μ}

故

c=μ=3（3）由P{X>d}≥0.9015得

1－P{X≤d}≥0.9015

即所以故因为分布函数Φ(x)是一个不减函数，故解得

2.17

设随机变量X的密度函数为

（1）求常数a的值；

（2）X服从什么分布?参数是多少？解（1）依题意有又于是得到，即（2）由（1）知X的密度函数为即X服从正态分布，且，记做X～N(2，2)。

2.18

设随机变量X的分布律为分别求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|－1的分布律。解①Y所有可能取值为0、1、4，因为

P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.4

P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=－1}=0.3

P{Y=4}=P{X2=4}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Y的分布律为②Z所有可能取值为－5、－2、1、7，因为

P{Z=－5}