专题10 平方差公式的应用和几何背景 带解析

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题10平方差公式的应用和几何背景阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2023八上·华蓥期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A． B．C． D．【答案】D【规范解答】解：图1的阴影部分面积为，图2的阴影部分面积为=，即.故答案为：D.【思路点拨】用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出图1中阴影部分的面积，利用梯形的面积计算公式表示出图2的面积，进而根据两个图形的面积相等即可得出答案.2．（2分）（2023八上·扶沟期末）如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（）A． B．C． D．【答案】B【规范解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，∴，，∴，故答案为：B.【思路点拨】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，据此可得等式.3．（2分）（2022七上·中山期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，则这个长方形的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：如图可知，拼接后的长方形的长为，宽为，这个长方形的周长，故答案为：C．

【思路点拨】先求出拼接后的长方形的长和宽，再利用长方形的周长公式计算即可.4．（2分）（2022八上·太原月考）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A． B．C． D．【答案】C【规范解答】解：图甲阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积等于两个图形中阴影部分的面积相等，故答案为：C．

【思路点拨】利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案。5．（2分）（2022八上·无为月考）计算：（）A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a【答案】D【规范解答】解：，故答案为：D．

【思路点拨】将代数式变形为，再利用平方差公式计算即可。6．（2分）（2022八上·乐山期中）下列能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．【答案】A【规范解答】解：A、（-x+y）（x+y），能用平方差公式计算，故A符合题意；

B、（-x+y）（x-y）=-（x-y）2，不能用平方差公式，故B不符合题意；

C、（x+2）（2+x）=（x+2）2，不能用平方差公式，故C不符合题意；

D、（2x+3）（3x-2），不能用平方差公式，故D不符合题意；

故答案为：A【思路点拨】利用平方差公式的结构特点：（a+b）（a-b）=a2-b2，再对各选项逐一判断.7．（2分）（2022七下·长兴期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【规范解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，

∴长方形③的长=a+b，宽=a-b，

∵长方形③的面积为16，

∴（a+b）（a-b）=16，

∴a2-b2=16（1）

∵大长方形的长=2a+b，大长方形的宽=2a-b，

∵大长方形的面积为100，

∴（2a+b）（2a-b）=100，

∴4a2-b2=100（2）

由（2）-（1）×4，得：3b2=36，

∴b2=12，

∴正方形②的面积=b2=12.

故答案为：C.

【思路点拨】设正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出长方形③长=a+b，宽=a-b，由长方形③面积为16，可得（a+b）（a-b）=16，整理得a2-b2=16（1）；大长方形长=2a+b，大长方形宽=2a-b，由大长方形面积为100，可得（2a+b）（2a-b）=100，整理得4a2-b2=100（2），再由（2）-（1）×4，得3b2=36，解得b2=12，即可正方形②的面积.8．（2分）（2022七下·电白月考）式子化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：设S=，∴（2-1）S=（2-1）∴S====，=故答案为：C．

【思路点拨】将代数式变形为（2-1），再利用平方差公式计算即可。9．（2分）（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【规范解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.

由图1可得，

S阴影=a2-b2=2;

由图2可得，

S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;

由图3,得

S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2

=4a2+4ab+b2-3a2-2b2

=a2-b2+4ab

=2+4×10

=42.故答案为：C.【思路点拨】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.10．（2分）（2019七下·西湖期末）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长（）.则①；②；③；④，中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【规范解答】解：由图得x-y=n,x+y=m,

则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn,

x-y+x+y=2x=m+n,

(x+y)-(x-y)=2y=m-n,

∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2,

∴,

∴

∴①②③正确，④错误；

故答案为：A.

【思路点拨】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x,y用m,n的代数式表示，根据x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。阅卷人二、填空题(共10题；共20分)得分11．（2分）（2022八上·丰台期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为．【答案】【规范解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，∵两个图形阴影部分面积相等，∴，故答案为：．

【思路点拨】分别求出两图形中阴影部分的面积，再根据两阴影部分的面积相等，即得等式.12．（2分）（2022八上·泗县期中）计算：．【答案】【规范解答】解：，故答案为：．

【思路点拨】将代数式变形为，再利用平方差公式计算即可。13．（2分）（2022七上·杨浦期中）观察下列各式：；；；……根据前面各式的规律可得到．【答案】-1【规范解答】解：由题目中的规律可以得出：-1，故答案为：-1．【思路点拨】根据前几项的数据与序号的关系可得规律-1。14．（2分）（2022八上·锦江开学考）．【答案】【规范解答】解：，故答案为：．【思路点拨】把（2x+3y）看成一个整体，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式将原式展开即可.15．（2分）（2022七下·嵊州期末）已知是方程组ax+by=4ax−by=6的解，则的值是．【答案】6【规范解答】解：∵是方程组ax+by=4ax−by=6的解，∴2a−2b=42a+2b=6即a−b=2∴==2×3=6，故答案为：6．【思路点拨】将方程组的解代入方程组中，得到关于a，b的方程组，再利用平方差公式（=）代入计算.16．（2分）（2022七下·南浔期末）如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为Ｓ1，乙与丙的重叠部分面积记为Ｓ2，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为Ｓ3，若Ｓ1－Ｓ2＝2Ｓ3，且Ｓ3＝1，则图中阴影部分的面积为．【答案】【规范解答】解：设正方形甲、乙、丙的边长为a，

∵正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S3，且S3=1，大正方形边长为9，

∴2a+1=9，

∴a=4，

设正方形S1，S2的边长分别为x，y，

∴x+y+1=4，即x+y=3①，

又∵S1-S2=2S3，

∴x2-y2=2，即（x+y）（x-y）=2，

∴（x-y）=②，

由①得：x2+2xy+y2=9，

由②得：x2-2xy+y2=，

∴4xy=，

∴xy=，

∴S阴影=（x+1）（y+1）-S3=xy+x+y+1-1，

∴S阴影=+3=.

故答案为：.

【思路点拨】设正方形甲、乙、丙的边长为a，由正方形甲、乙一组邻边延长线构成的正方形面积记为S3，且S3=1，大正方形边长为9，推出2a+1=9，解得a=4，设正方形S1，S2的边长分别为x，y，从而得到x+y+1=4，即x+y=3①，再由S1-S2=2S3，得x2-y2=2，利用平方差公式可求得（x-y）=②，再利用完全平方公式得x2+2xy+y2=9，x2-2xy+y2=，则4xy=，即得xy=，最后根据阴影部分正方形的面积（x+1）（y+1）-S3=xy+x+y+1-1，代入数据计算即可求解.17．（2分）（2022九上·福建竞赛）若素数p，使得是一个完全平方数，则p=.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）【答案】11【规范解答】解：设，为正整数.则，即.∴.由为整数，为正整数，且，得，或，或，或.解得，或，或，或.又为素数，所以.所以当素数时，是一个完全平方数.故答案为：11.【思路点拨】设4p2+p+81=n2（n为正整数），两边同时乘以16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，据此可得n、p的方程组，求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值.18．（2分）（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是。(请填上正确的序号)【答案】①②【规范解答】解：①阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

②阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，

∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，

∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；

故答案为：①②.

【思路点拨】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.19．（2分）（2021七上·金牛期末）已知下列等式：；①；②；③；④……由此规律，则．【答案】1581525【规范解答】解：∵①；②；③；④，……，∴，∴13+23+33+…+503-(13+23+33+…+203)=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2=12752-2102=1581525．故答案为：1581525．

【思路点拨】首先根据前4项的结果推出一般规律：，然后把原式变形为n=50和n=20时的两个等式之差，再利用平方差公式计算即可.20．（2分）（2020七下·简阳期中）已知a1=，a2=，a3=，…，an=，Sn=a1•a2…an，则S2015=.【答案】【规范解答】解：…故答案为：【思路点拨】利用平方差公式将各式变形，可得规律an=，据此将进行变形，然后约分即可.第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释阅卷人三、解答题(共8题；共60分)得分21．（10分）（2022八上·乐山期中）运用公式进行简便计算.（1）（5分）；（2）（5分）.【答案】（1）解：原式=（10.2-1.2）2=81（2）解：原式=

=【思路点拨】（1）利用完全平方公式分解因式，可得到（10.2-1.2）2，然后进行计算.

（2）利用平方差公式可得到，再进行计算，然后约分化简，可求出结果.22．（6分）（2022七下·平谷期末）已知，求代数式的值．【答案】解：=；∵∴∴原式=1；【思路点拨】先根据整式的运算法则化简代数式，再根据可得，整体代入计算即可。

23．（8分）（2023八上·永城期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形.（1）（1分）图1，阴影面积是；（2）（1分）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是；（写成多项式乘法的形式）.（3）（1分）由上图可以得到乘法公式；（4）（5分）运用得到的公式，计算：.【答案】（1）（2）（3）（4）解：.【规范解答】解：（1）阴影面积是，故答案为：；（2）根据梯形的面积公式可知面积为，故答案为：；（3）可以得到的乘法公式为，故答案为：；【思路点拨】（1）直接用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；

（2）直接根据梯形的面积公式计算即可；

（3）根据图1中阴影部分的面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案；

（4）直接利用平方差公式计算即可.24．（7分）（2022七上·芷江月考）计算（1）（3分）；（2）（4分）已知：，，求：①；②.【答案】（1）解：（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴【思路点拨】（1）每一个因式内利用添括号法则把互为相反数项结合在一起，然后利用平方差公式及完全平方公式依次化简，最后去括号即可；

（2）①根据完全平方公式的恒等变形得x2+y2=（x+y）2-2xy，然后整体代入即可算出答案；②根据完全平方公式将（x-y）2展开，然后整体代入即可算出答案.25．（6分）（2022八上·新城月考）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：（1）（3分）请用两种不同的方法化简：；（2）（3分）化简：．【答案】（1）解：方法一：===-；方法二：===-；（2）解：原式=(-+-+-+…+﹣)=(﹣)=．【思路点拨】（1）方法一：给分子、分母同时乘以-，然后利用平方差公式化简即可；

方法二：将分子变形为5-3，然后利用平方差公式进行分解，再约分即可；

（2）原式可变形为(-+-+-+…+﹣)=(﹣)，据此计算.26．（7分）（2022七下·乐亭期末）已知，．（1）（3分）求和的值；（2）（4分）已知，求的值．【答案】（1）解：∵（2m）n＝4，（am）2÷an＝a3，

∴2mn＝22，a2m﹣n＝a3∴mn＝2，2m﹣n＝3．（2）解：∵4m2﹣n2＝15，∴，

∵，∴2m＋n＝5，

联立得，

解得，∴m＋n＝3．【思路点拨】（1）利用幂的乘方，同底数幂的除法计算方法求解即可；

（2）利用平方差公式可得，再将数据代入可得，再求出m、n的值，最后计算即可。27．（6分）（2022八上·张店期中）乘法公式的探究及应用．（1）（1分）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：；（2）（1分）216-1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为．（3）（4分）计算：．【答案】（1）（a+b）（a-b）=a2-b2（2）15，17（3）解：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（