专题12.7 全等三角形中的经典模型-重难点题型（学生版）2022年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题12.7全等三角形中的经典模型【人教版】【题型1平移模型】【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．【变式1-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式1-2】（2020秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式1-3】（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【题型2轴对称模型】【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在△ABC和△BAD中，AC与BD相交于点E，已知AD＝BC，另外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB选择其中的一个用来证明在△ABC和△BAD全等，这个条件是．（填写编号），并证明△ABC≌△BAD．【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可．【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下：在△ABD与△BAC中，BC=AD∠CBA=∠DAB∴△ABC≌△BAD（SAS）．【变式2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．【变式2-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【变式2-3】如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【题型3旋转模型】【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△ABD与△ACE全等，进而解答即可．【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【变式3-1】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．【变式3-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式3-3】（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【题型4一线三等角模型】【例4】（2020秋•覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．【解答过程】解：（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE＝BD+CE．理由是：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【变式4-1】（2020春•香坊区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【变式4-2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【变式4-3】（2020秋•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【题型5倍长中线模型】【例5】（2020秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(对顶角相等)∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【变式5-1】（2020春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．【变式5-2】（2020秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．【变式5-3】（2020秋•安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【题型6截长补短模型】【例6】（2020秋•涪城区校级月考）如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC，∠BCD．求证：AE＝DE．【解题思路】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论．【解答过程】证明：如图，延长BE交CD的延长线于F，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC＝∠F．在△FCE和△BCE中∠F=∠FBC∠FCE=∠BCE∴△FCE≌△BCE（AAS），∴EF＝BE，BC＝FC，在△AEB和△DEF中，∠AEB=∠DEFBE=EF∴△AEB≌△DEF（ASA），∴AE＝ED．【变式6-1】（2020秋•蕲春县期中）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝A