专题14 一次函数与二元一次方程（组）的综合应用 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题14一次函数与二元一次方程（组）的综合应用考试时间：120分钟试卷满分：100分阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·曹妃甸期末）已知直线与交点的坐标为，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：把交点坐标代入直线中，得：，解得，∴交点坐标是，即方程组的解是．故答案为：C．

【思路点拨】把交点代入中求出，即得交点，根据直线与交点的坐标即为方程组的解.2．（2分）（2022八下·西城期末）如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（）A． B．C． D．【答案】A【规范解答】解：根据题意，可得方程组，根据函数图象与方程组解的关系可知，函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，故答案为：A．

【思路点拨】根据一次函数与二元一次方程组的关系直接求解即可。3．（2分）（2022八下·巴州期中）如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2.根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2.其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【规范解答】解：根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，∴a＞0，b＜0，故①②正确；∵直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2.∴当x＝﹣2时，ax+2＝mx+b，∴方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；∵ax﹣b＞mx﹣2，∴ax+2＞mx+b，∵当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，∴不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2.故④正确∴正确的结论为①②③④，共有4个.故答案为：D.【思路点拨】根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，判断出a、b的符号，据此判断①②；根据两直线的交点的横坐标为-2可判断③；找出直线y=ax-b在直线y=mx-2的上方部分所对应的x的范围可判断④.4．（2分）（2022八下·大同月考）已知一次函数与一次函数的图象的交点在第三象限，则方程组的解可能是()A．， B．，C．， D．，【答案】A【规范解答】把方程组变形得：∴该方程组的解即为一次函数与一次函数的图象的交点又∵交点在第三象限∴方程组的解要符合∴选项符合题意故答案为：A.

【思路点拨】根据两一次函数图象的交点坐标即是一次函数解析式围成的方程组的解和第三象限点坐标的特征求解即可。5．（2分）（2021八下·越秀期中）已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点P的坐标为其中正确的说法个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【规范解答】解：直线：与直线：都经过，方程组的解为，故①符合题意；把，代入直线：，可得，解得，直线：，又直线：，直线与直线互相垂直，即，为直角三角形，故②符合题意；把代入直线：，可得，中，令，则，，，在直线：中，令，则，，，，故③符合题意；点A关于y轴对称的点为，设过点C，的直线为，则，解得，，令，则，当的值最小时，点P的坐标为，故④符合题意．故答案为：D．【思路点拨】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求出直线：，根据两直线的系数的积为-1，可得两直线互相垂直，据此判断即可；

③先求出A、D的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，然后判断即可；④先求出点A关于y轴对称的点为，再求出直线CA'的解析式，然后求出当x=0时的y值，从而当的值最小时点P的坐标.6．（2分）（2020八下·北京期末）已知直线过点且与x轴相交夹角为30度，P为直线上一动点，为x轴上两点，当时取到最小值时，P的坐标为()A． B． C． D．【答案】A【规范解答】如图，设直线交x轴于点M，∵直线：（k＞0）过点(，0)，且与轴相交夹角为30°，∴OM=，∴ON=OM，MN=2ON=2，∴N(，1)，把M(，0)，N(，1)代入，得：，解得，∴直线为：，∵OM=OA=，∴AN=MN=2，过A点作直线的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′=60°，∠OA′A=30°，∴A′A=2OA=2，∴OA′=，∴A′N=OA′-ON=2，∴A′N=AN，∵A′A⊥直线，∴直线平分AA′，∴A′是点A关于直线的对称点，连接A′B，交直线于P，此时PA+PB=A′B，PA+PB时取到最小值，∵OA′=3，∴A′（0，3），设直线A′B的解析式为，把A′（0，3），B(，0)代入得，解得：，∴直线A′B的解析式为，由解得，∴P点的坐标为(，2)，故答案为：A．【思路点拨】通过解直角三角形证得A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则PA+PB此时取到最小值，求得直线l和直线A′B的解析式，然后两解析式联立，解方程组即可求得此时P的坐标．7．（2分）（2021八下·卢龙期末）如图，一次函数和（，）在同一坐标系的图像，则y1=ax+by2=−bx+a的解中（）A． B． C． D．【答案】A【规范解答】解：方程组y1=ax+by2=−bx+a∵两函数图象交点在第一象限，∴m＞0，n＞0，故答案为：A．【思路点拨】方程组y1=ax+by2=−bx+a8．（2分）（2021八下·海淀期末）如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【规范解答】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是故答案为：A

【思路点拨】根据一次函数与二元一次方程组的关系：两函数图象的交点坐标即是二元一次方程组的解可得答案。9．（2分）（2021八下·巨野期末）如果直线与交点坐标为，则是下列哪个方程组的解（）A． B．C． D．【答案】A【规范解答】解：直线与交点坐标为，解为的方程组是，即，故答案为：A．

【思路点拨】根据一次函数与二元一次方程组的关系可以知道：直线的交点就是两直线组成的二元一次方程组的解。10．（2分）（2020八下·阳城期末）如图，直线、交于点.观察图象，点A的坐标可以看做是下列哪个方程组的解（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【规范解答】解：设直线l1的解析式是y=k1x-1，设直线l2的解析式是y=k2x+5，∵把A（-4，1）代入l1得：k1=，∴直线l1的解析式是y=x-1，∵把A（-4，1）代入l2得：k2=1，∴直线l2的解析式是y=x+5，∵A是两直线的交点，∴点A的坐标可以看作方程组的解，故答案为：C．【思路点拨】把A（-4，1）分别代入直线l1、l2中，分别求出k1、k2的值，即得方程组.阅卷人二、填空题(共10题；每题2分，共20分)得分11．（2分）（2022八下·官渡期末）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，点P的横坐标为－2，则由图可知方程组的解为．【答案】【规范解答】∵正比例函数经过点P，点P的横坐标为-2.∴，∴，∴关于的方程组的解为，故答案为：.【思路点拨】利用一次函数与二元一次方程的关系可得两函数图象的交点坐标即是方程组的解。12．（2分）（2022八下·延庆期末）平面直角坐标系中，直线与相交于点，下列结论中正确的是（填写序号）．①关于x，y的方程组的解是；②关于x的不等式的解集是；③．【答案】①②或②①【规范解答】解：直线与相交于点，关于，的方程组的解是，故①的结论符合题意；由图知：当时，函数对应的点都在函数下方，因此关于的不等式的解集是：，故②的结论符合题意；由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此，故③的结论不符合题意；故答案为：①②．

【思路点拨】利用一次函数的图象、性质图系数的关系，一次函数与不等式的关系及一次函数与二元一次方程组的关系逐项判断即可。13．（2分）（2022八下·临渭期末）已知一次函数和，假设且，如果关于、的二元一次方程组的解为，那么0．【答案】＜【规范解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，

∴一次函数y=kx+5和的交点为（m，n），

∵k>0，且5>2，

∴交点在第二象限，

∴m<0，n>0，

∴mn<0.

故答案为：<.

【思路点拨】根据关于x、y的二元一次方程组的解为，可知两个一次函数的交点为（m，n），又因为且，且一次函数中的常数项5>2，结合一次函数的图象可知交点在第二象限，根据第二象限内点的坐标特点（横坐标小于0，纵坐标大于0）可知mn<0；

一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，①当k>0时，直线从左向右上升；当k<0时，直线从左向右下降；②当b>0时，直线与y轴的正半轴相交；当b<0时，直线y轴的负半轴相交，当b=0时，直线过原点.14．（2分）（2022八下·沧州期末）已知关于x，y的方程组的解是，则在同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，则x的取值范围.【答案】【规范解答】解：∵关于x，y的方程组的解是，∴，∴，∴关于x，y的方程组的解是，∵同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，即自变量要满足函数的函数图象在函数的函数图象上方或交点处，∴当时，则x的取值范围为，故答案为：．

【思路点拨】将代入中，求出m=-1，即得方程组的解为，从而得出直线与的交点坐标为（-1，5），由图象知时，函数的函数图象在函数的函数图象上方或交点处，继而得解.15．（2分）（2022八下·重庆开学考）如图，直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为.【答案】【规范解答】解：∵直线与相交于点∴的坐标既满足，也满足∴是方程组的解故答案为：【思路点拨】根据两一次函数图象的交点坐标即为组成的二元一次方程组的解进行解答.16．（2分）（2021八下·延庆期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解为．【答案】【规范解答】解：∵一次函数y=kx和y=-x+3的图象交于点（1，2），∴二元一次方程组y=kxy=−x+3的解为．故答案为．

【思路点拨】由于y=kx与y=-x+3相交于（1，2），把点（1，2）代入y=kx中，可得到k=2，通过两个二元一次方程，可得到x=1，y=2。17．（2分）（2021八下·重庆开学考）已知二元一次方程组的解为,则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为.【答案】(－4，1)【规范解答】解：∵二元一次方程组的解为，∴直线l1：y=x+5与直线l2：的交点坐标为（﹣4，1），故答案为：（﹣4，1）.【思路点拨】两直线的交点坐标就是两直线解析式组成的二元一次方程组的解，据此即可得到答案.18．（2分）（2020八下·文水期末）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点P（－2，－1），则关于的方程的解是．【答案】x=-2【规范解答】解：根据题意可知，方程的解就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象的交点P的横坐标，由一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象，得方程的解是．故答案为：．【思路点拨】根据一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象可知，点P就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的交点，即方程的解．19．（2分）（2020八下·舒兰期末）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点（2，－1），则关于、的方程组的解为．【答案】【规范解答】将方程组变形为∴方程组的解即为直线和的交点坐标，∵直线和相交于点（2，-1），∴将方程组的解为：故答案为：【思路点拨】把方程组变形为，则易知方程组的解即为直线和的交点坐标，由此可求得答案．20．（2分）（2020八下·北京期末）如图，直线与相交于点M，则关于x，y的方程组的解是．【答案】【规范解答】解：∵两直线的交点坐标为(2，4)，∴方程组的解是．故答案为：．【思路点拨】根据图像直接解答即可．阅卷人三、解答题(共7题；共60分)得分21．（5分）（2022八下·博兴期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．若要在y轴找到一个点P使得的面积为15，求这个点P的坐标．【答案】解：∵点在直线上，∴，即点C坐标为（5，4），∵直线经过、，∴，解得，∴直线与y轴的交点B坐标为（0，2），设P(0，t)，∴BP=|t-2|，∴S△BPC=×5×|t-2|=15，∴t=8或t=-4，∴P(0，8)或(0，-4)．【思路点拨】先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后求出点B的坐标，设P(0，t)，根据S△BPC=×5×|t-2|=15，求出t的值，即可得到点P的坐标。22．（9分）（2022八下·宣化期末）如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝-2x+6的图象与y轴交于点B，两直线相交于点C．（1）（1分）方程组的解是；（2）（1分）当与同时成立时，的取值范围为；（3）（3分）求的面积；（4）（4分）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．【答案】（1）（2）（3）解：令，则，，，．．；（4）解：令，，则，．点异于点，，．．【规范解答】解：（1）如图所示：方程组的解为：；故答案为：；（2）如图所示：当与同时成立时，取何值范围是：；故答案为：；【思路点拨】（1）根据函数图象求出方程组的解为：，即可作答；

（2）根据题意求出取何值范围是：即可作答；

（3）先求出AB=8，再利用三角形的面积公式计算求解即可；

（4）利用三角形的面积公式计算求解即可。23．（10分）（2022八下·高安期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．（1）（3分）求出，的值和点的坐标；（2）（3分）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标；（3）（4分）结合图象，直接写出时的取值范围．【答案】（1）解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；联络方程组得，，解得，，A点坐标为：A（1，-3）．（2）解：由（1）OC=4，A（1，-3）．，，设P点坐标为（x，y），，，，当y=时，=x-4，x=，P点坐标为；当y=时，=x-4，x=，P点坐标为；纵上，P点坐标为或；（3）解：根据图象可知，在A点或A点左侧时，，故当x≤1时，．【思路点拨】（1）将点B代入求出k的值，再将点C的坐标代入求出b的值，然后联立方程组求出点A的坐标即可；

（2）设P点坐标为（x，y），根据三角形的面积公式列出方程，求出y的值，即可得到点P的坐标；

（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。24．（6分）（2022八下·乐亭期末）如图，直线交y轴，x轴于A，B两点，直线交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于P点．（1）（1分）方程组的解是；（2）（2分）求直线与x轴围成的三角形面积；（3）（3分）过P点的直线把面积两等分，直接写出这条直线的解析式．【答案】（1）（2）解：把y＝0分别代入y＝x+5和，解得x＝﹣5和x＝﹣2，∴B（﹣5，0），D（﹣2，0），∵P（﹣4，1），∴直线l1，l2与x轴围成的三角形面积为：；（3）解：这条直线的解析式为．【规范解答】解：（1）∵联立方程组得，解得，故答案为：；(3)把x＝0分别代入y＝x+5和，

解得y＝﹣5和y＝﹣1，

∴A（0，5），C（0，﹣1），

∴AC的中点为（0，2）

设过P点且把△PAC面积两等分的直线的解析式为y＝kx+b，把点（﹣4，1），（0，2）代入得，解得，

∴这条直线的解析式为．【思路点拨】（1）联立方程组求出x、y的值即可；

（2）先求出点A、B、C的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可；

（3）结合函数图象，利用三角形的面积公式和待定系数法求解一次函数解析式即可。25．（6分）（2022八下·大连期末）如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）．（1）（1分）直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为；（2）（2分）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；（3）（3分）点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标．【答案】（1）（2）解：当时，；当时，．∴D点坐标为，E点坐标为．∵D在E的上方，∴，且．（3）当时，N点坐标为或；当时，N点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为【规范解答】解：(1)解得∴M，/，故答案为：．(3)∵△NDE为等腰直角三角形，∴∠NED=90°，NE=DE或∠NDE=90°，ND=DE或∠END=90°，NE=ND.若∠NED=90°，NE=DE时，则N(0，-t)，(t>0)或(t<0)，解得t=-4(舍去)或，∴N(0，)，若∠NDE=90°，ND=DE，则N(0，)，(t>0)或(t<00∴N(0，)，若∠END=90°，NE=ND，则N(0，)，(t>0)或(t<0)解得t=4或，∴N或N．综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为或；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为．

【思路点拨】（1）联立方程，解方程组即可求得答案；

（2）将x=t代入解析式，得出D、E的坐标，DE的值就是纵坐标的差；

（3）根据直线在y轴的左侧和y轴右侧两种情况，并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点的坐标。26．（9分）（2021八下·营口月考）在坐标平面中，直线y＝x+5分别交x轴、y轴于A、B，直线y＝﹣2x+20分别交x轴、y轴于C、D，直线AB、CD相交于E，（1）（3分）求点E的坐标；（2）（3分）点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G，设P点的横坐标为m，线段PF的长度为d，求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）；（3）（3分）在（2）的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值．【答案】（1）解：联立，解得．所以，点E（5，10）（2）解：令则令则令则，B（0，5），C（10，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，①当点P在线段AB上时（如图1），∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5），∴d＝﹣2m﹣m＝﹣3m（﹣5≤m＜0），②当点P在线段EB上时（如图2），∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5），∴d＝m﹣（﹣2m）＝3m（）；（3）解：则当∴D（0，20），把代入∴G（，m+5），FG＝﹣（﹣2m）＝，S△DBC＝DB×OC＝×15×10＝75，∵直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分，①如图1，当S△EFC：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△EFC＝30，∴S△EFC＝××10＝30，∴m＝﹣1，②如图2，EF交y轴于点M，当S△DME：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△DME＝30，∴DM＝12，∴M（0，8），易得直线EM的解析式为y＝x+8，∵，∴，∴F（﹣，），∴m+5＝，∴m＝，∴当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，m的值为﹣1或．【思路点拨】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出点E的坐标；

（2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，再分①当点P在线段AB上时，②当点P在线段EB上时，根据P、F、G三点具有相同的纵坐标，得出d的值即可；

（3）先求出点D的坐标，再求出点G的坐标，在表示出FG，再求出△BCD的面积，再分①如图1，当S△EFC：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△EFC＝30，②如图2，EF交y轴于点M，当S△DME：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△DME＝30，得直线EM的解析式，得出点F的坐标，得出m的值即可。27．（15分）（2021八下·双阳期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x与直线yx+4相交于点A，直线yx+4与x轴交于点B，点D为线段OB上的一个动点，点D的横坐标为m，过点D作DE垂直于x轴，交折线OA﹣AB于点E，以E为边向右作正方形DEFG．