近五年20172021高考数学真题分类汇编11立体几何含解析2

H^一、立体几何

一、多项选择题

1.（2021.全国高考真题）在正三棱柱中，AB=AAX=\,点P满足

BP=ABC+4BB「其中；lw[0,l],那么0

A.当;1=1时，△ABJ的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一A/。的体积为定值

C.当4=g时，有且仅有一个点尸，使得

D.当4=g时，有且仅有一个点产，使得其3，平面

二、单项选择题

2.（2021•浙江高考真题）如图正方体48CD—A耳GR,M,N分别是A。，0田的

中点，那么0

A.直线A。与直线垂直，直线MN〃平面A5CD

B.直线A。与直线平行，直线MN_L平面3。。的

C.直线4。与直线相交，直线MN//平面ABCD

D.直线片。与直线。出异面，直线平面80。与

3.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是0

A.-B.3C.—D.3五

22

4.（2021•全国高考真题（理））己如4,B,。是半径为1的球O的球面上的三个点，

且AC_L8C,AC=BC=1,那么三棱锥O—A5C的体积为0

A.也B.3C.叵D.2

121244

5.（2021•全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点4的三条棱的中点分别为应

F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如下图，那

么相应的侧视图是0

6.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABCO-A,四G0中，尸为用。的中点，那么

直线尸8与4R所成的角为0

71

D.

*6

7.（2021•全国高考真题）圆锥的底面半径为血,其侧面展开图为一个半圆，那么该圆

锥的母线长为0

A.2B.2血C.4D.4&

8.（2021•天津高考真题）假设棱长为26的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球

的外表积为（）

A.12乃B.24乃C.36万D.144万

9.（2021•北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如下图，该三棱柱的

外表积为（）.

A.6+6B.6+26C.12+6D.12+26

10.〔2021•浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如下图，那么该几何体的体

积（单位：cnP）是（）

714,

A.—B.—C.3D.6

33

11.（2021•海南高考真题）日展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇

针投射到悬面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬

度是指。人与地球赤道所在平面所成角，点人处的水平面是指过点4且与OA垂直的平

面.在点4处放置一个日展，假设兽面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。,

那么唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2021•全国高考真题（文））以下图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积

是0

A.6+40B.4+4页C.6+273D.4+26

13.（2021•全国高考真题（理））A,8,C为球。的球面上的三个点，为的

外接圆，假设的面积为4u,AB=BC=AC=OO^那么球。的外表积为0

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

14.12021•全国高考真题〔理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状

可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角

形的面积，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为0

A布-1^5-1y/54-1>/5+1

A・-----R.-----rC.------nD.------

4242

15.（2021•全国高考真题（理））AABC是面积为我的等边三角形，且其顶点都在球

4

O的球面上.假设球。的外表积为16不，那么。到平面ABC的距离为0

A.73B.-C.1D.—

22

16.（2021•全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一

个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,那么该端点在侧视图中

对应的点为0

A.EB.FC.GD.H

17.（2021•浙江高考真题）祖唯是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“基势既同，

那么积不容异”称为祖随原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式匕上体=Sh,其中S

是柱体的底面积，力是柱体的高.假设某柱体的三视图如下图（单位：cm）,那么该柱

体的体积（单位：cn?）是

A.158B.162

C.182D.324

18.（2021•全国高考真题（理））如图，点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三

角形，平面ECD_L平面A8CRM是线段的中点，那么

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM丰EN,且直线是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM*EN,且直线是异面直线

19.（2021•浙江高考真题）祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“事势既同，

那么积不容易〃称为祖唾原理，利用该原理可以得到柱体体积公式维七体=5/2,其中S是

柱体的底面积，力是柱体的高，假设某柱体的三视图如下图，那么该柱体的体积是

A.158B.162

C.182D.32

20.（2021.浙江高考真题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是

棱01上的点（不含端点），记直线依与直线AC所成角为。，直线依与平面ABC所

成角为4，二面角尸―AC—5的平面角为V,那么

A.0<y、a<yB.p<a,（3<y

C.p<a,y<aD.a<B、y<0

21.（2021・全国高考真题（理））三棱锥/>/5。的四个顶点在球。的球面上，以二P8;PC,

△A4C是边长为2的正三角形，E,尸分别是办，A4的中点，ZCEF=90°,那么球。

的体积为

A.8"乃B.4显九C.2妍万D.娓兀

22.（2021•全国高考真题（文））设a,4为两个平面，那么。〃夕的充要条件是

A.。内有无数条直线与万平行

B.a内有两条相交直线与尸平行

C.«,4平行于同一条直线

D.a,垂直于同一平面

23.12021•上海高考真题）平面a、依/两两垂直，直线。、。、c满足：

aqa,力,那么直线a、b、。不可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

24.（2021•浙江高考真题）直线加〃和平面a,〃ua,那么“加比”是"m〃a”的

0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2021•上海高考真题）？九章算术?中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱

锥为阳马，设AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、

以AA为底面矩形的一边，那么这样的阳马的个数是0

A.4B.8C.12D.16

26.（2021•浙江高考真题）四棱锥S-的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线

段A5上的点（不含端点），设跖与5C所成的角为4，SE与平面ABCD所成的角

为4,二面角S—AB—C的平面角为“，那么

A.OX<02<O.B.0,<02<0,C.0,<0,<02D.02<0.<0,

27.（2021•全国高考真题（文））在长方体ABC。—44GA中，AB=BC=2,AC,

与平面BqGC所成的角为30，那么该长方体的体积为

A.8B.672c.Sy/2D.86

28.（2021•北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直

角三角形的个数为

A.1B.2

C.3D.4

29.12021•全国高考真题（文））某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图，

圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点

为B,那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A.25/17B.2石C.3D.2

30.12021•全国高考真题（理））设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，

.•.ABC为等边三角形且其面积为9G，那么三棱锥O-4BC体积的最大值为

A.12x/3B.185/3C.24百D.5473

31.（2021•全国高考真题［理））中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的凸出

局部叫桦头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是桦头.假设如图摆放的木

构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A.：B.

C.

D.

32.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如下图（单位：cm）,那么该几何体的体

积（单位：cm3）是0

A.2B.4C.6D.8

33.（2021•全国高考真题（文））在正方体中，七为棱CG的中点，

那么异面直线AE与。。所成角的正切值为

A0R向「有D近

A.---D.---C.U.

2222

34.（2021•全国高考真题（文））圆柱的上、下底面的中心分别为。广。2,过直线«。2

的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为

A.12夜兀B.1271C.8在兀D.1071

35.（2021•全国高考真题〔理））在长方体中，AB=BC=\,

例=也，那么异面直线4。与。片所成角的余弦值为

A.1B.好C.D.在

5652

36.（2021•全国高考真题［理））正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角

都相等，那么。截此正方体所得截面面积的最大值为

A.更B.逼C.逑D.®

4342

37.（2021•全国高考真题（文））如图，在以下四个正方体中，A、8为正方体的两个

顶点,M、N、。为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线A8与平面MNQ

不平行的是（）

未命名

未命名

三、解答题

38.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A—8CD中，平面ABDJ_平面SCO,

AB=ADt。为30的中点.

(1)证明：0ALCD；

(2)假设上08是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA,且二面角

E-8C-。的大小为45。，求三棱锥A—BCD的体积.

39.(2021•全国高考真题(文))如图，四棱锥尸一ABC。的底面是矩形，P£>_L底面

ABCD,M为的中点，且PBLAM.

(1)证明：平面平面P8£>；

(2)假设PQ=DC=1,求四棱锥P—A3CD的体积.

40.(2021.浙江高考真题)如图，在四棱锥夕-A3c。中，底面A8CO是平行四边形，

ZABC=120°,/IB=1,BC=4,PA=V15，M,N分别为8C,PC的中点，

PDLDCPM工MD.

(1)证明：AB1PM；

(2)求更线AN与平面尸ZW所成角的正弦值.

41.(2021•全国高考真题(文))直三棱柱A8C—44G中，侧面44田田为正方形，

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，BFLA^.

(1)求三棱锥/一E8C的体积；

(2)。为棱上的点，证明：BFA.DE.

42.12021•全国高考真题［理))直三棱柱ABC-中，侧面44出田为正方形，

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱A4上的点.BF1

(1)证明：BhDE；

(2)当与。为何值时，面66CC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？

43.(2021•全国高考真题(理))如图，四棱锥的底面是矩形，?D_L底面

ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且

(1)求BC；

(2)求二面角—B的正弦值.

44.(2021•海南高考真题)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，P。！底面A8CZ).设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/，平面产。。；

⑵PD=AD=\,。为/上的点，求P8与平面QC。所成角的正弦值.

45.(2021•天津高考真题)如图，在三棱柱中，CG，平面

ABCiAClBCyAC=BC=2fCC「3,点、D,E分别在棱A,%和棱C6上，且

AD=\CE=2,M为棱A4的中点.

(I)求证：qA/lB.D；

(II)求二面角8-gE-0的正弦值；

(III)求直线A6与平面。片E所成角的正弦值.

46.(2021•北京高考真题)如图，在正方体ABC。—44GR中，E为84的中点.

(I)求证：BCJ/平面ARE；

(II)求直线A4与平面ARE所成角的正弦值.

47.(2021•浙江高考真题)如图，三棱台A8C—DE尸中，平面ACFO_L平面A8C,

ZACB=ZACD=45°tDC=2BC.

(I)证明：EFLDB；

(II)求与面。8c所成角的正弦值.

48.(2021•海南高考真题)如图，四棱锥尸-48CO的底面为正方形，PO_L底面ABCQ.设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

(1)证明：LL平面POC：

(2)PD=AD=\,。为/上的点，求P8与平面QCO所成角的正弦值的最大值.

49.(2021•江苏高考真题)在三棱锥A—BCO中，CB=CD=6BD=2,O为8。的中点,

4。_1_平面88,40=2,E为AC的中点.

(1)求直线4B与OK所成角的余弦值；

(2)假设点尸在5。上，满足8尸二18。，设二面角尸一DE—。的大小为"求sin。的

4

值.

50.(2021•江苏高考真题)在三棱柱ABC-A1BG中，ABLAC,8CJ•平面ABC,E,F

分别是AC,89的中点.

(1)求证：£尸〃平面ABiG；

(2)求证：平面A3iC_L平面

51.(2021•全国高考真题(理))如图，在长方体ABC。-44GA中，点瓦尸分别在

棱DD「BBi上,且2DE=ED],BF=2FBi.

(1)证明：点G在平面AE尸内；

(2)假设A8=2，AD=bM=3,求二面角4一七/一A的正弦值.

52.(2021•全国高考真题(文))如图，在长方体A8CO—4旦GR中，点尸分别

在棱。R,上，且2DE=ER,BF=2FB、.证明：

(1)当钻=BC时，EF1AC；

(2)点G在平面AE/内.

53.(2021•全国高考真题(文))如图，力为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，^ABC

是底面的内接正三角形，P为DO上一点,ZAPC=90°.

(1)证明：平面B4B_L平面刚C：

(2)设00=0,圆锥的侧面积为后，求三棱锥P-4BC的体积.

54.(2021•全国高考真题[理))如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4E为

底面直径，AE=4).GABC是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，PO=昆DO.

6

(1)证明：Q4_L平面P5C；

(2)求二面角3—PC—E的余弦值.

55.(2021•全国高考真题(文))如图，三棱柱ABC-481G的底面是正三角形，侧面

83GC是矩形，M,N分别为8C,3G的中点，尸为AM上一点.过和。的平面

交A3于E,交AC于F.

(1)证明；AA\//MN,且平面人M"N_L平面EBiG凡

(2)设0为△ABiG的中心，假设4O=AB=6,4。//平面£：31。|凡且NMPN二%,求

3

四棱锥3-E8GF的体积.

56.(2021•全国高考真题(理))如图，三棱柱A3GA由Ci的底面是正三角形，侧面6小CC

是矩形，M,N分别为8C,81cl的中点，F为AM上一点，过&G和P的平面交48

于E,交AC于F.

(1)证明：AAi//MN,且平面AiAMNJ_EBGF；

(2)设0为△AliC的中心，假设40〃平面EBGF,且求直线SE与平

面4AMN所成角的正弦值.

57.(2021•江苏高考真题)如图，在直三棱柱ABC—4丛G中，D,七分别为BC,AC

的中点，AB=BC.

求证:⑴4Bi〃平面DEG；

(2)BELC\E.

58.(2021.天津高考真题［理))如图，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC.

AD1.AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：4歹〃平面ADE：

(II)求直线CE与平面8QE所成角的正弦值；

(III)假设二面角七一8。一尸的余弦值为:，求线段CF的长.

59.(2021•全国高考真题［理))图1是由矩形4。仍，RS48C和菱形8FGC组成的

一个平面图形，其中48=1,BE=BF=2,NFBG60。，将其沿AB,BC折起使得BE与

B尸重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G。四点共面，且平面A8C_L平面8CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

60.(2021.全国高考真题(文))如图，直四棱柱ABCD-ABGD的底面是菱形，A4=4,

AB=2,/B4D=60。，E,M,N分别是BC,BBhA/。的中点.

(1)证明：MN〃平面C/DE；

(2)求点。到平面。OE的距离.

61.(2021•全国高考真题(理))

如图，长方体45aA的底面4BCD是正方形，点£在棱44上，BE上EG.

(1)证明：BE_L平面E3G；

(2)假设人石-4石，求二面角月ECG的正弦值.

62.(2021•上海高考真题)如医，在正三棱锥尸-ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6

(1)假设尸B的中点为M，8C的中点为N,求AC与MN的夹角；

(2)求P—ABC的体积.

63.[2021•上海高考真题)圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积：

(2)设尸。=4,OA、。3是底面半径，且NAQ8=90。，M为线段A8的中点，

如图.求异面直线PM与。3所成的角的大小.

64.(2021•江苏高考真题)在平行六面体AB8—4/6A中，AA=±Bg.

求证:(1)A3〃平面4名。；

(2)平面平面ABC.

65.(2021•江苏高考真题)如图，在正三棱柱ABC-AiBiG中，尸2,点尸，。分

别为8c的中点.

(1)求异面宜线8P与AG所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面4QG所成角的正弦值.

66.(2021•全国高考真题(文))如图，矩形A3CO所在平面与半圆弧CD所在平面垂

直，M是CO上异于。，。的点.

(1)证明：平面平面3MC；

(2)在线段AW上是否存在点使得MC〃平面PBD?说明理由.

67.12U21•北京岛考真题〔埋“如图，在二棱柱中，CQ，平面A8C,

D,E,F,G分别为A4,AC,AG，Bq的中点，AB=BC=非,AC=AA]=2.

(1)求证：4C_L平面5£尸；

(2)求二面角8-3G的余弦值；

13)证明：直线FG与平面BCO相交.

68.(2021•北京高考真题(文)：如图，在四棱锥P-ABCZ)中，底面ABCD为矩形,

平面R4Z)_L平面ABCQ,PA±PD,PA=PD，E、尸分别为40、尸B的中点.

(I)求证：PELBCx

(II)求证：平面PA8_L平面尸CO；

(III)求证：EF〃平面PCD.

69.(2021•全国高考真题(理))如图，四边形A5CO为正方形，尺尸分别为AO,6c

的中点，以。尸为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且PF_LBF.

(1)证明：平面产石尸_L平面ABFD；

(2)求OP与平面A8FD所成角的正弦值.

70.(2021•全国高考真题(理))如图,边长为2的正方形A3CD所在的平面与半圆弧00

所在平面垂直，M是C。上异于C,。的点.

(1)证明：平面AMD_L平面BMC；

(2)当三棱锥M—A3C体积最大时，求面M4/与面MCO所成二面角的正弦值.

71.(2021•浙江高考真题)如图，多面体ABC-AIBIG,AiA,B.B,GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

(I)证明：AB」平面AHG；

(ID求直线AG与平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2021•全国高考真题(文))如图，在三棱锥尸—ABC中，AB=BC=2叵,

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面A8C；

(2)假设点M在棱BC上，且MC=2M5,求点C到平面POM的距离.

73.[2021•全国高考真题(文))如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,

ZACM=90。，以AC为折痕将^ACM折起，使点M到达点D的位置,且AB_LD4.

(1)证明：平面ACDJ_平面ABC；

2

(2)。为线段AO上一点，尸为线段5c上一点，且3P=DQ=QD4,求三棱锥

Q—ABP的体积.

74.(2021•山东高考真题(文))由四棱柱48cmic6截去三棱锥G-SCDi后得

到的几何体如下图，四边形A8CO为正方形，。为AC与3。的交点，E为AO的中点，

4E1平面ABCD

11)证明：40〃平面BCG；

12)设M是0。的中点，证明：平面平面BCDi.

四、填空题

75.(2021•全国高考真题(理))以图①为正视图，在图②®④⑤中选两个分别作为侧

视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为

(写出符合要求的一组答案即可).

76.（2021•全国高考真题（文））一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%那么该圆锥

的侧面积为.

77.（2021•海南高考真题）正方体OBCD-AiBiCiDi的棱长为2,M、N分别为B8i、AB

的中点，那么三棱锥A-NM。的体积为

78.（2021•海南高考真题）直四棱柱ABCD-AIICQI的棱长均为2,ZBAD=60°.以。

为球心，y/5为半径的球面与侧面BCC向的交线长为.

79.（2021•江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成

的.螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,那么此六角螺

帽毛坯的体积是一cm.

80.（2021•全国高考真题（文））圆锥的底面半径为1,母线长为3,那么该圆锥内半径

最大的球的体积为.

81.（2021•全国高考真题（理））设有以下四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行.

P4：假设直线/U平面Q,直线m_L平面a,那么用_L/.

那么下述命题中所有真命题的序号是.

①Pl八〃4②P］八，2③2Vp3④

82.12021•江苏高考真题）如图，长方体A3CD-A旦GA的体积是120,E为CC1的

中点，那么三棱锥E8CO的体积是.

83.（2021・北京高考真题〔理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三

视图如下图.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

84.（2021.北京高考真题（理））/,机是平面。外的两条不同直线.给出以下三个论断：

®/lw：②加〃。：③LL。.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

85.（2021.全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如

图，该模型为长方体A5CO-AMGA挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中

。为长方体的中心，E,£G”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AAl=4cm,

3。打印所用原料密度为0.9g/。疗，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

___________g.

86.（2021•天津高考真题（文））四棱锥的底面是边长为正的正方形，侧棱长均为逐.

假设圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧校的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底

面的中心，那么该圆柱的体积为.

87.（2021•全国高考真题（文））NAC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB

两边AC,的距离均为G，那么尸到平面A8C的距离为.

88.（2021•江苏高考真题）如下图，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多

面体的体积为.

89.（2021•全国高考真题（文））圆锥的顶点为S,母线81,S3互相垂直，SA与圆锥

底面所成角为30°,假设二S48的面积为8,那么该圆锥的体积为.

90.（2021.全国高考真题（理））圆锥的顶点为S,母线弘，SB所成角的余弦值为

--与圆锥底面所成角为45。，假设上£45的面积为54?，那么该圆锥的侧面

8

积为.

91.（2021•天津高考真题（理））正方体A8C£>—A/iGR的棱长为1,除面A5CO外，

该正方体其余各面的中心分别为点&F,G,H,M（如图），那么四棱锥的

体积为.

五、双空题

92.（2021•全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半

正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多

面体表达了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同

一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为I.那么该半正多面体共有个面，

其棱长为.

近五年〔2021-2021〕高考数学真题分类汇编

十一、立体几何〔答案解析〕

I.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立适宜的直角坐标系来求解尸点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立适宜的直角坐标系来求解尸点

的个数.

【解析】

易知，点尸在矩形BCG与内部(含边界).

对于A,当;1=1时，BP=BC+juBBpBC+〃CJ，即此时线段CG，△A3」周长

不是定值，故A错误；

对于B,当"=1时，BP=^BC++九,故此时P点轨迹为线段用G,而

B[CJ/BC,gG〃平面那么有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

对于C,当；1=3时，BP=；BC+〃取5C,4G中点分别为。，H,那么

BP=BQiQH,所以尸点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，

A,p(o,o,//),，那么AP=。，从-1,BP=o,—，

I2)\^)(2J\^)

4尸3尸=〃(〃-1)=0,所以H=0或〃=1.故H,。均满足，故C错误；

对于D,当〃=；时，BP=ABe+；BB「取BBi，CG中点为"，N.BP=BM+九MN，

所以2点轨迹为线段MN.设因为所以=(-岑,为，；，

=|一坐，!，一1,所以？-J=O=y=一1,此时2与N重合，故D正确.

（22）420202

应选：BD.

【小结】

此题主要考杳向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

2.A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//A8，AOJ_平面A8R,即可得出结论.

【解析】

连AA，在正方体ABC。—中，

M是A。的中点，所以M为A"中点，

又N是RB的中点，所以MN//AB,

MN平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面A3CO.

因为A8不垂直80，所以MN不垂直3。

那么MV不垂直平面BDD&I,所以选项B,D不正确；

在正方体43。£＞一4qGA中，AD.LA.D,

A6_L平面所以AB_L4。，

ADinAB=A,所以平面48A,

£）田匚平面48。，所以

且直线4。,。出是异面直线，

所以选项B错误，选项A正确.

应选：A.

【小结】

关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同

一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

3.A

【分析】

根据三视图可得如下图的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【解析】

几何体为如下图的四棱柱ABC。-A4CA，其高为1,底面为等腰梯形4BCO,

该等腰梯形的上底为行，下底为2五，腰长为1，故梯形的高为=孝，

故匕=-x[x^+2>/2)x—xl=-,

应选：A.

4.A

【分析】

由题可得4Abe为等腰直角三角形，得出.A5C外接圆的半径，那么可求得0到平面

ABC的距离，进而求得体积.

【解析】

・・・AC_LBC,AC=BC=1,."ABC为等腰直角三角形，「.AB二五，

那么外接圆的半径为正，又球的半径为1,

2

设0到平面ABC的距离为d,

所以%.ABC=；SABc.d=；x；xlxlxq=^.

应选：A.

【小结】

关键小结：此题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到

截面距离的勾股关系求解.

5.D

【分析】

根据题意及题目所给的正视图复原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【解析】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如下图，

所以其侧视图为

应选：D

6.D

【分析】

平移直线至BG，将直线尸3与AR所成的角转化为所与BQ所成的角，解三角形即

可.

【解析】

如图，连接8G，PG，P8,因为AD1〃8C],

所以NPBC、或其补角为直线PB与AD,所成的角，

因为J_平面4与GA，所以又PCJBR,BBICBQI=B',

所以尸£_L平面P3与，所以尸C|_LPB,

设正方体棱长为2,那么BQ=2挺,PC】=；D\BI=6.,

sinZPBC,=—^=-,所以NPg=j

应选：D

7.B

【分析】

设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【解析】

设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，那么;r/=2;rx&,解得

1=2日

应选：B.

8.C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的外表积公式，即可得解.

【解析】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即也可/可丽7

2

所以，这个球的外表积为S=4;rR2=4"X32=36〃.

应选：C.

【小结】

此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底

题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：(1)三条棱两两互相垂直时，可恢

复为长方体.利用长方体的体对角线为外接球的百杼.求出球的半杼：(2)百棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,

再根据勾股定理求球的半径；(3)如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作

两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

9.D

【分析】

首先确定几何体的结构特征，然后求解其外表积即可.

【解析】

由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形,

那么其夕卜表积为；S-3x(2x2)+2x^x2x2xsin60°j-12+2^3.

应选：D.

【小结】

(1)以三视图为载体考查几何体的外表积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从

三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的外表积是各个面的面积之和：组合体的外表积应注意重合局部的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

外表积是侧面积与底面圆的面积之和.

10.A

【分析】

根据三视图复原原图，然后根据柱体和锥休体积计算公式，计算出几何休的休积.

【解析】

由三视图可知，该几何体是上半局部是三棱锥，下半局部是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1,

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,

所以几何体的体积为：

1(1cAc1C7

-x—x2xlxl+—x2xlx2=-+2=—.

3(2)U)33

应选：A

【小结】

本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于根底题.

11.B

【分析】

画出过球心和轻针所确定的平面截地球和唇面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂

直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出鼻针与点A处的水平面所成角.

【解析】

画出截面图如以下图所示，其中CO是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线,

依题意可知。4_L/；A8是辱针所在直线•加是展面的截线，依题意依题意，辱面和赤道平

面平行，唇针与唇面垂直，

根据平面平行的性质定埋可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB±m..

由于NAOC=40。，m〃8,所以NQ4G=NAOC=40。，

由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°，

所以ZBAE=ZOAG=40°,也即号针与点A处的水平面所成角为/BAE=40°.

应选：B

【小结】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，

属于中档题.

12.C

【分析】

根据三视图特征，在正方休中截取出符合题意的立休图形，求出每个面的面积，即可求得其

外表积.

【解析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：S&ABC=^AADC=S&CDB=gx2x2=2

根据勾股定理可得：AB=AD=DB=2V2

二△A08是边长为2丘的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

...该几何体的外表积是：3x2+28=6+2百.

应选：C.

【小结】

此题主要考查了根据三视图求立体图形的外表积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体

图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于根底题.

13.A

【分析】

由可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，

求出球的半径，即可得出结论.

【解析】

设圆Oi半径为，球的半径为R，依题意，

得万/=4肛:./•=2,为等边三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=273，

，OOI=AB=26根据球的截面性质，平面ABC,

:.OO\_LgA,R=OA=飞OO；+Q=go：+产=4,

•••球。的外表积S=44/?2=M不.

应选：A

此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.

【分析】

设CD=a,PE=b,利用尸。2=!。》总得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【解析】

如图，设CD=a,PE=b,那么