专题15 正方形的判定与性质 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题15正方形的判定与性质阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2023九上·汉台期末）如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（）A．34 B．36 C．40 D．100【答案】C【规范解答】解：∵正方形的边长为8，在各边上顺次截取，∴，∴四边形的面积为：；故答案为：C.【思路点拨】根据正方形的性质结合题意可得BE=AH=DG=CF=2，然后根据S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH进行计算.2．（2分）（2022八上·兴平期中）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】D【规范解答】解：如图，

∵所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，

∴EF2=4+8=12，GH2=正方形D的面积-6，EF2=GH2，

∴GH2=正方形D的面积-6=12

解之：正方形D的面积=18.

故答案为：D

【思路点拨】利用正方形的性质及勾股定理可证得EF2=4+8=12，GH2=正方形D的面积-6，EF2=GH2，由此可求出正方形D的面积.3．（2分）（2022八上·沈阳期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，厘米，则CE的长为（）A．6 B．12 C． D．【答案】D【规范解答】解：∵正方形ABCD的面积为64平方厘米，∴，厘米，∵厘米，∴（厘米），故答案为：D．

【思路点拨】先求出正方形的边长，再利用勾股定理求出CE的长即可。4．（2分）（2022八上·镇海区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一定能求出（）A．正方形的面积 B．正方形的面积C．正方形的面积 D．的面积【答案】D【规范解答】解：如图，过点N作于点H，则是矩形，则∵，∴，又，∴，∴，同理可得，依题意，，∴，∴，∴，∴，，故答案为：D.

【思路点拨】过点N作于点H，则是矩形，则，证明，可得，同理可得，再证，可得，从而得出.5．（2分）（2022八上·苍南期中）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M.若AH＝GH，则CM的长为（）A． B． C．1 D．【答案】D【规范解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，∵AH＝GH，∴AH＝HE＝GF＝EF.由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG.∴BE＝EF＝GF＝FC.∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE，∵AH∥GF，∴∠FAE＝∠GFK.∵∠GFK＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC，∵MN⊥FC，∴CN＝NF＝CF，∴CN＝CG.∵MN⊥CG，DG⊥CG，∴MN∥DG，∴，∵CD＝5，∴CM＝.故答案为：D.【思路点拨】由正方形的性质可证Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，可推出BE＝EF＝GF＝FC，由AE⊥BF可得AB＝AF，根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝∠FAE=∠DCG，结合平行线的性质可推出∠CFM＝∠DCG，利用等角对等边可得MF＝MC，根据等腰三角形三线合一可得CN＝NF＝CF，即得CN＝CG，根据平行线分线段成比例可得，继而得解.6．（2分）（2022八上·钦州月考）如图，正方形ABCD的面积为100cm2，△ABP为直角三角形，∠P＝90°，且PB＝6cm，则AP的长为（）A．10cm B．6cm C．8cm D．无法确定【答案】C【规范解答】解：∵正方形ABCD的面积为100cm2，∴AB=10cm，∵△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6cm，∴AP=．故答案为：C．【思路点拨】根据正方形的面积S=边长的平方可得边长AB的值，在直角三角形ABP中，用勾股定理可求解.7．（2分）（2023八上·温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G．若△BCF为等腰三角形，AG=5，则小正方形的面积为()A．15 B．16 C．20 D．25【答案】B【规范解答】解：如图：添加字母标注，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，

∵△BCF为等腰三角形，

∴BF=CF，

∴∠FCB=∠FBC，

∴∠ABC-∠FBC=∠BCD-∠FCB，即∠ABF=∠FCD，

在△ABF与△DCF中，

∵∠CDA=∠BAD，AB=CD，∠ABF=∠FCD，

∴△ABF≌△DCF（ASA），

∴AF=DF，

又∵CF∥AN，

∴EF是△ADH的中位线，

∴AH=2EF，DE=HE，

∴DE=HE=HN，

设EF=x，则AH=2x，HG=AG-AH=5-2x，

∴DE=BN=AH=2x，GN=HN-HG=2x-（5-2x）=4x-5，

∵FC∥AN，

∴△EFM∽HGM，

∴，即①，

∵HD∥BN，

∴△HMG∽△NBG，

∴，即②，

联立①与②得x=2，

∴小正方形的面积为：

（2x）2=16.

故答案为：B.

【思路点拨】易得AB=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，由等腰三角形的性质得∠FCB=∠FBC，根据等角的余角相等得∠ABF=∠FCD，从而利用ASA判断出△ABF≌△DCF，得AF=DF，结合CF∥AN，得EF是△ADH的中位线，推出AH=2EF，DE=HE，设EF=x，则AH=2x，HG=AG-AH=5-2x，DE=BN=AH=2x，GN=HN-HG=4x-5，判断出△EFM∽HGM，△HMG∽△NBG，根据相似三角形对应边成比例得，即①，，即②，联立①与②可得x的值，进而根据正方形的面积计算方法即可求出答案.8．（2分）（2022八上·龙港期中）三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理.在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（）A． B．39 C． D．52【答案】A【规范解答】解：∵四边形ABCD和四边形GDJH是正方形，正方形ABCD的面积等于100，∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，x＝﹣8舍去，∴DJ＝6，∵△IJD面积等于，∴，∴IJ＝，∴IH＝HJ﹣IJ＝6﹣＝，∴AI＝＝，∵AB＝10，AE＝AG＝8，∴BE＝＝6，∴BF＝2，∴AH＝BF，∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，

∴∠GAD=∠FBK，∵∠BFK＝∠AHI＝90°，∴△AHI≌△BFK（ASA），∴AI＝BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝10﹣＝，∴△KCD的面积＝CD•CK＝.故答案为：A.【思路点拨】根据正方形的性质得AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，根据勾股定理建立方程，求出x的值，即可得出DJ的值，结合△IJD面积，根据三角形的面积公式算出IJ的长，再由IH＝HJ﹣IJ算出IH的长，接着利用勾股定理算出AI、BE的长，根据同角的余角相等可得∠GAD=∠FBK，从而利用ASA判断出△AHI≌△BFK，根据全等三角形的性质得BK=AI，由CK＝BC﹣BK算出CK，最后根据三角形的面积公式即可算出答案.9．（2分）（2022八下·官渡期末）如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、.下列结论：①；②；③；④.正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【规范解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=CF，在△BCE与△CDF中，，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF；故①符合题意；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG=CD=AD，即2HG=AD；故④符合题意；连接AH，如图所示：同理可得：AH⊥DF，∵HG=HD=CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD；若AG=DG，则△ADG是等边三角形，则∠ADG=60°，∠CDF=30°，而CF=CD≠DF，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∴AG≠DG，故②不符合题意；∴∠DAG=2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF，∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠CHG=∠DAG；故③符合题意；正确的结论有3个，故答案为：C．【思路点拨】利用正方形的性质、全等三角形的判定和性质及含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。10．（2分）（2022八下·泰安期末）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°．∵CD=3DE，

∴DE=2．∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB．∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①符合题意；∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得：x=3，∴BG=GF=CG=3，∴②符合题意；∵CG=GF，∴∠CFG=∠FCG．∵∠BGF=∠CFG+∠FCG．又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG，∴AG∥CF，∴③符合题意；∵BG=GF=CG=3，CE=4，∴，∴④符合题意．故答案为：A．【思路点拨】根据翻折变化的性质和正方形的性质证出Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），根据勾股定理得出CG2+CE2=EG2，由平行线的判定得出AG∥CF，求出的面积即可。阅卷人二、填空题(共10题；每题2分，共20分)得分11．（2分）（2022八上·龙岗期末）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为．【答案】6【规范解答】如图，连接，过点作，∴，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴∴在与中：∴（AAS）∴又∵是正方形，∴，，∴，∴是平行四边形，∴∴、、在一条直线上，故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）则：∵，∴∴．故答案为：6．

【思路点拨】连接，过点作，先利用“AAS”证明，可得，再利用割补法和等量代换可得，最后求出阴影部分的面积即可。12．（2分）（2022八上·苍南期中）如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为.【答案】【规范解答】解：连结AH，∵正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，∴AC2＝1，AB2＝5，GB＝AB，∴AC＝1，∵∠ACB＝90°，∴BC2＝AB2﹣AC2＝5﹣1＝4，∴BC＝2，∵四边形BDIH是正方形，∴CI＝HI＝BC＝2，∠ICB＝90°，CB＝HB，∴∠ACB+∠ICB＝180°，∴A、C、I三点在同一条直线上，∴AI＝AC+CI＝1+2＝3，∴HA＝＝，∵∠ABG＝∠CBH＝90°，∴∠GBC＝∠ABH＝90°+∠ABC，在△GBC和△ABH中，GB=AB∠GBC=∠ABH∴△GBC≌△ABH（SAS），∴CG＝HA＝，∴CG的长为，故答案为：.【思路点拨】连结AH，由正方形的性质可得AC2＝1，AB2＝5，GB＝AB，A、C、I三点在同一条直线上，利用勾股定理求出BC=2，AI=3，AH=，根据SAS证明△GBC≌△ABH，可得CG＝HA＝.13．（2分）（2022八上·平阳期中）如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，则正方形的面积是．【答案】53【规范解答】解：如图：过A作直线b于M，过D作直线c于N，则，∵，直线c，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，∴，在中，由勾股定理得：，即正方形的面积为53.故答案为：53.【思路点拨】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，由平行线的性质可得∠AMD=∠2+∠3=90°，根据正方形的性质可得AD=DC，∠1+∠2=90°，则∠1=∠3，利用AAS证明△AMD≌△CND，得到AM=CN，由题意可得AM=CN=2，DN=7，利用勾股定理可得DC2，进而可得正方形ABCD的面积.14．（2分）（2022八下·任丘期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是．【答案】y＝x或y＝0.9x【规范解答】解：如图，过A作AB⊥y轴，垂足为点B，则OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴S△AOB＝4+1＝5，∵OB＝3，∴AB•3＝5，解得：AB＝，∴A点坐标为（，3），设直线方程为y＝kx，则3＝k，∴k＝，∴直线l解析式为y＝x．故答案为：y＝x．

【思路点拨】过A作AB⊥y轴，垂足为点B，则OB＝3，由于经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，可得S△AOB＝5=×AB·OB，据此求出AB＝，即得A（，3），利用待定系数法求出直线l解析式即可.15．（2分）（2022八下·潮安期末）如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为.【答案】【规范解答】解：解：过E作EH⊥CD于点H．∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，∴∠ADG=∠EDH．又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．∴△ADG≌△HDE．∴HE=AG．∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是5和9．即AD2=5，DG2=9．∴在直角△ADG中，AG=，∴EH=AG=3．∴△CDE的面积为CD·EH=××3=．故答案为.

【思路点拨】过E作EH⊥CD于点H，先证明△ADG≌△HDE，可得HE=AG，再利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形的面积公式计算即可。16．（2分）（2022八上·西安月考）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为【答案】3或【规范解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得，∴BE=；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3.故答案为：或3.【思路点拨】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC=5，由折叠的性质可得∠AB′E=∠B=90°，EB=EB′，AB=AB′=3，则CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，利用勾股定理可得x；②当点B′落在AD边上时，此时ABEB′为正方形，则BE=AB，据此解答.17．（2分）（2022八下·越秀期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：①；②；③设四边形AGBE的周长为m，则；④当时，的面积为3．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【规范解答】如图，连接EC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°∵AE⊥EF∴∠AEF=90°∴四边形ABFE中，∠BAE+∠BFE=360°－∠ABC－∠AEF=180°又∵∠EFC=180°－∠BFE，∴∠BAE=∠EFC在△AEB与△CEB中∴△AEB≌△CEB（SAS）∴∠BAE=∠BCE，EC=EA∴∠EFC=∠BCE∴EF=EC，∴EF=EA，故①符合题意；②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，∴AE=CE，CD=BC，∠CBD=45°，∵EH⊥BC，∴BH=EH=BE，CD-BF=BC-BF=CF，∵AE=EF，∴CE=EF，∵EH⊥BC，∴CF=2FH，若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，∴BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，∴②不符合题意；③由①得，AE=EF，∵四边形AEFG是矩形，∴四边形AEFG是正方形，∴AG=AE，∠GAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，BD=AD=×4=4，∴∠BAD-∠BAE=∠GAE-∠BAE，∴∠DAE=∠BAG，在△DAE和△BAG中，AD=AB∠DAE=∠BAG∴DE=BG，∴m=AG+AE+BG+BE=AE+AE+DE+BE=2AE+BD=2AE+4，∴m随AE的增大而增大，当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，此时AE=AD=×4＝2，m的最小值为2AE+4=2×2+4=8，当点E与点B或点D重合时，AE最大，m的值最大，此时AE=4，m的最大值为2AE+4=2×4+4=8+4，∵点E不与B、D重合，∴8≤m＜8+4，∴③符合题意；④如图，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，∵BF=1，AB=4，∴AF=，由③知四边形AEFG是正方形，∴AE=AF=×＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AT=DT=AD=×4＝2，∴ET=，∴DE=DT-ET=2-=，∴S△ADE＝DE•AT＝××2=3，∴S△AGB=S△ADE=3．故④符合题意，综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④

【思路点拨】连接EC，根据正方形的性质以及圆周角定理即可判断；连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质以及线段的和差关系得出CF=2FH，若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，得出BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，即可判断；由正方形的判定与性质得出∠DAE=∠BAG，再由全等三角形的判定与性质以及最值问题即可判断；连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质以及勾股定理可得AT、ET的长，再利用三角形的面积公式解答即可。18．（2分）（2022八下·洛江期末）如图，正方形中，点是边的中点，、交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是．【答案】②③④【规范解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∵E是AD的中点，∴DE=AD=CD，∴∠DCE≠30°，∴∠BCE≠60°，故①错误；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，DH=DH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE，∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴AG⊥BE，故②正确；∵ADBC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故答案为：②③④．

【思路点拨】由正方形的性质及线段的中点可推出∠ADC=∠BCD=90°，DE=AD=CD，从而推出∠DCE≠30°，即得∠BCE≠60°，故①错误；证明△ADH≌△CDH（SAS），可得∠HAD=∠HCD，从而可推出∠BAD=∠BAH+∠DAH=∠ABE+∠BAH=90°，再根据三角形内角和求出∠AGB=90°，即可判断②；由ADBC，根据同底等高可的S△BDE=S△CDE，从而推出S△BHE=S△CHD，据此判断③；由△ADH≌△CDH，可得∠AHD=∠CHD，从而得出∠AHB=∠CHB，由对顶角相等知∠BHC=∠DHE，从而求出∠AHB=∠EHD，据此判断④.19．（2分）（2022八下·禹州期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是.（只填序号）【答案】①②④【规范解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，

∵，，∴，∵，∴四边形EFBG为矩形，∴，，∵四边形ABCD为正方形，∴，，在和中，∴（SAS），∴，∴，即①正确；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由（1）得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即②正确；∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴∠ABC、∠EFB、∠EGB均为直角，

∴四边形EFBG为长方形，

在△BEF和△FGB中

∴△BEF≌△FGB（SSS）

∴∠BGF=∠FEB

假设∠BGF=∠ADE，则有∠FEB=∠ADE，

又∵EF∥AD，则B、E、D在同一条直线上，

而题干中E是AC上的动点，B、E、D并不一定共线，

故∠BGF不一定等于∠ADE.

故③错误；

∵E为对角线AC上的一个动点，∴当时，DE最小，∵，，∴，∴，由①知，，∴FG的最小值为，即④正确，综上，①②④正确，故答案为：①②④.【思路点拨】连接BE，交FG于点，易得四边形EFBG为矩形，得FG=BE，OB=OF=OE=OG，根据正方形的性质，得出，，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得出DE=BE，则可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由(1)得出∠ABE=∠ADE，根据条件和角之间的关系求出DE⊥FG，即可判断②；先通过三角为直角判定四边形EFBG为长方形，再通过SSS判定△BEF≌△FGB，从而可得∠BGF=∠FEB，通过反证法推理即可判断③；根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理求出AC长，从而求出DE长，即可得FG的最小值，即可判断即④.20．（2分）（2022八下·长沙期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，分别连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝.S正方形ABCD＝.【答案】【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AE⊥AP，AE=AP=1，∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAP=∠BAD=90°，∴∠EAB=∠PAD，在△EAB和△PAD中，∵AB=AD，∠EAB=∠PAD，AE=AP，∴△EAB≌△PAD（SAS），∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，∴∠PEB=135°-45°=90°，即△BEP是直角三角形，∵AE=AP=1，∵，∴，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，连接BD，则∠FEB=180°-135°=45°，∴∠EBF=45°=∠FEB，∴EF=BF，∵，∴，∴，∵，∴.故答案为：.【思路点拨】证明△EAB≌△PAD（SAS），可得∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，从而得出∠PEB=90°，即△BEP是直角三角形，利用勾股定理求出PE、BE、DP的长，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，连接BD，易求，分别求出，的值，根据即可求解.阅卷人三、解答题(共7题；共60分)得分21．（5分）（2022八上·苍南月考）如图，正方形内有一点A，以，为边向形外作正方形和正方形，连接，.求证：.【答案】证明：连接，，∵四边形，，均为正方形，∴，，，，∵，，∴，在和种，，∴，同理可得：，∴，，，∵，，∴，在和种，，∴，∴，∵，，∴四边形为平行四边形，∴.【思路点拨】连接PM、RN，根据正方形的性质交点MN=MC-BC，AB=BR，AC=PC，∠BCM=∠ABR=∠BNM=∠ACP=90°，由同角的余角相等可得∠ACB=∠PCM，利用SAS证明△ACB≌△PCM，同理可得△ACB≌△RNB，则PC=AC=RN，PM=AB=RB，∠RNB=∠ACB=∠MCP，根据角的和差关系可得∠RNM=∠BCP，证明△RNM≌△BCP，得到RM=PB，推出四边形BPMR为平行四边形，据此证明.22．（5分）（2022八上·莲湖月考）如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：【答案】解：设NC=a，∵BN=BC，∴BN=3a，BC=4a，∵在正方形ABCD中，AD=AB=BC=DC=4a，∵M是CD的中点，∴DM=CM=2a，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2=（4a）2+（3a）2=25，在Rt△ADM中，根据勾股定理，得AM2=（4a）2+（2a）2=20，在Rt△NCM中，根据勾股定理，得MN2=（2a）2+=5，∴AN2=AM2+MN2，∴∠AMN=90°，∴AM⊥MN；【思路点拨】设NC=a，则BN=3a，BC=4a，由正方形的性质可得AD=AB=BC=DC=4a，由M是CD的中点，可得DM=CM=2a，根据勾股定理分别求出AN2=25，AM2=20，MN2=5，即得AN2=AM2+MN2，根据勾股定理的逆定理可得∠AMN=90°，继而得解.

23．（10分）（2022八上·莱西期末）如图（1）（3分）【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由；（2）（3分）【解决问题】若请求出正方形的面积；（3）（4分）【猜想证明】如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．【答案】（1）解：四边形是正方形，证明：将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形；（2）解：∵，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴正方形ABCD的面积为225；（3）解：，理由如下：如图，过点D作于H，∵，，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，又∵，∴（AAS），∴，∵将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，∵四边形是正方形，∴，∴．【思路点拨】（1）先证明四边形是矩形，再结合，可得四边形是正方形；

（2）先求出，再求出正方形ABCD的面积为225即可；

（3）过点D作于H，先利用“AAS”证明，可得，再根据四边形是正方形，可得，即可得到。24．（10分）（2022八上·沈阳期中）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E为CD边上一点（不与点C，D重合），将沿AE所在直线折叠得到，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，可得．（1）（3分）判断BG与FG是否相等，并说明理由；（2）（3分）若，求DE的长；（3）（4分）若，请直接写出的值．【答案】（1）解：，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴，，由折叠得，，，∴，，在和中，AG=AGAB=AF，∴，∴．（2）解：如图1，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，且，∴，∴，∴DE的长是．（3）解：的值是【规范解答】（3）如图2，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值是．

【思路点拨】（1）先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；

（2）根据，且，可得，再求出即可；

（3）先求出，即可得到。25．（12分）（2022八下·延庆期末）如图，四边形是正方形，点E是边上的点，连接，，过点D作，垂足为F，延长到点G，使，连接，，延长交的延长线于点H．（1）（2分）依题意补全图形；（2）（3分）用含α的式子表示；（3）（3分）直接写出的度数；（4）（4分）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）解：如图：（2）解：，理由如下：如下图，过点A作，交的延长线于点M∵∴∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∵，∴∴∴；（3）解：，理由如下：∵由（2）得，∠AGB=∠AGF+∠FGH=+∠FGH，∴，∵，∴；（4）解：，理由如下：由（3）得，∵，∴∴，∵，∴MH2=AM2+AH2，∴，∵AG=AB，AM=AH，∴∠AGB=∠ABG，∠M=∠H，∵∠AGB+∠AGM=∠ABG+∠ABH，∴∠AGM=∠ABH，在△ABM和△ABH中，∠AGM=∠ABH∠M=∠HAG=AB，∴，∴，∴，∵，∴．【思路点拨】（1）根据题意作图即可；

（2）先求出，再求出，最后求解即可；

（3）根据题意先求出，再根据，计算求解即可；

（4）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。26．（8分）（2022八上·秦都月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为边向外作正方形ADEB和正方形BCFH．（1）（1分）当BC＝m时，正方形BCFH的周长＝_（用含m的代数式表示）；（2）（3分）连接CE．试说明：三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半；（3）（4分）已知AC＝BC＝2，且点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，当P点和Q点在移动过程中，△APQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4m（2）解：如图1，连接AH，在△BHA和△BCE中，∵∴（SAS），∴△BHA的面积=△BCE的面积=正方形BCFH的面积；（3）解：△APQ的周长存在最小值．如图2，作点A关于DE的对称点，∴AP=P∵AC＝BC＝CF=2，BC⊥AF，∴点A关于BC的对称点F，∴AQ=QF，∴△APQ的周长的最小值为F，过作M⊥FA交FA的延长线于M，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2（已知）∴是等腰直角三角形（等腰三角形的定义）∴，∵在的延长线上，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴三点共线，∴，∵M⊥FA，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝CF=2，，∵四边形是正方形，∴，∵点A关于DE的对称点，∴，∴，∵