专题17 方差和标准差 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题17方差和标准差考试时间：120分钟试卷满分：100分阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022九上·广平期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“十九届六中全会”为主题的演讲比赛的相关数据：根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断a、b的值可能是（）

甲乙丙丁平均数（分）809080方差2.25.42.4A．95，6 B．95，2 C．85，2 D．85，6【答案】B【规范解答】解：从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，说明甲的平均成绩最高且方差最低．故答案为：B．

【思路点拨】利用平均数和方差的定义及计算方法求解即可。2．（2分）（2022九上·长沙月考）下列判断正确的是（）A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B．对于反比例函数y，y随x增大而减小C．甲、乙两组学生身高的方差分别为.则甲组学生的身高较整齐D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题【答案】D【规范解答】解：A、北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，选项错误，不符合题意；B、对于反比例函数y，在每一个象限内，y随x增大而减小，选项错误，不符合题意；C、甲、乙两组学生身高的方差分别为.则乙组学生的身高较整齐，选项错误，不符合题意；D、命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，选项正确，符合题意；故答案为：D.【思路点拨】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此判断A；反比例函数“（k≠0）”中，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小，据此判断B；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此判断C；根据正方形的判定方法，“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是正确的，据此判断D.3．（2分）（2022九上·乐亭期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如表所示．则在这四个选手中，成绩最稳定的是（）选手甲乙丙丁方差A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【规范解答】解：，丁的方差最小，成绩最稳定的是丁，故答案为：D．【思路点拨】先比较大小求出，再求出丁的方差最小，最后判断即可。4．（2分）（2022八上·张店期中）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩方差分别记作，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【规范解答】解：∵甲6次投篮测试（每次投篮10个）成绩为：，乙6次投篮测试（每次投篮10个）成绩为：，∴，，∴，，∵，∴．故答案为：A

【思路点拨】根据数据偏差平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏差平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断即可。5．（2分）（2022九上·晋州期中）某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是1.72米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（）A．甲班 B．乙班 C．同样整齐 D．无法确定【答案】B【规范解答】解：∵，∴乙班参赛学生身高比较整齐，故答案为：B．

【思路点拨】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。6．（2分）（2020八下·西华期末）若一组数据,,的平均数为4，方差为3，那么数据,,的平均数和方差分别是（）A．4,3 B．63 C．34 D．65【答案】B【规范解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，∴（a1+a2+a3）=4，∴（a1+2+a2+2+a3+2）=（a1+a2+a3）+2=4+2=6，∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；∵数据a1，a2，a3的方差为3，∴[（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为：[（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]=[（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3.故答案为：B.【思路点拨】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知（a1+a2+a3）=4，据此可得出（a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差7．（2分）若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，xn+2，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4【答案】C【规范解答】解：由题知，x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1=10n，∴x1+x2+…+xn=10n﹣n=9nS12=[（x1+1﹣10）2+（x2+1﹣10）2+…+（xn+1﹣10）2]=[（x12+x22+x32+…+xn2）﹣18（x1+x2+x3+…+xn）+81n]=2，∴（x12+x22+x32+…+xn2）=83n另一组数据的平均数=[x1+2+x2+2+…+xn+2]=[（x1+x2+x3+…+xn）+2n]=[9n+2n]=×11n=11，另一组数据的方差=[（x1+2﹣11）2+（x2+2﹣11）2+…+（xn+2﹣11）2]=[（x12+x22+…+xn2）﹣18（x1+x2+…+xn）+81n]=[83n﹣18×9n+81n]=2．故答案为：C．

【思路点拨】根据题意，只有利用平均数和方差的性质分别分析并代入题目的数字得出即可解出答案.8．（2分）（2021八下·兴隆期末）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲2＞S乙2；②S甲2＜S乙2；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【规范解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.45∴S2甲＜S2乙，∴甲的射击成绩比乙稳定；故选C．【思路点拨】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．9．（2分）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣1【答案】A【规范解答】解：根据题意可知x=﹣1，平均数=（﹣6﹣3﹣1﹣1+2+3）÷6=﹣1，∵数据﹣1出现两次最多，∴众数为﹣1，极差=3﹣（﹣6）=9，方差=[（﹣6+1）2+（﹣3+1）2+（﹣1+1）2+（2+1）2+（﹣1+1）2+（3+1）2]=9．故选A．【思路点拨】分别计算该组数据的平均数，众数，极差及方差后找到正确的答案即可．10．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【思路点拨】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．【解答】∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45

丁的方差最小，

∴射箭成绩最稳定的是：丁．

故选D．【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．阅卷人二、填空题(共10题；共20分)得分11．（2分）（2022八上·沈阳期末）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是．【答案】丁【规范解答】解：∵S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁，故答案为：丁．

【思路点拨】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。12．（2分）（2022七上·咸阳月考）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏.在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均亩产量相同，为了保证产量稳定，该团队决定推广乙品种，由此可知，甲品种的亩产量方差乙品种的亩产量方差.(填“>”“<"或“")。【答案】＞【规范解答】解：∵甲、乙两种水稻的平均亩产量相同，为了保证产量稳定，该团队决定推广乙品种，

∴S甲2＞S乙2.

故答案为：＞

【思路点拨】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，波动越小，数据越稳定，利用已知条件可得答案.13．（2分）（2022八上·淄川期中）现有两组数据：甲：；乙：，它们的方差分别记作，则（用“>”“=”“<”）．【答案】＞【规范解答】解：甲组平均数为：，∴，乙组平均数为：，∴，∴，故答案为：＞．

【思路点拨】先求出甲、乙的方差，再利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。14．（2分）（2022九上·长沙期中）农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过实验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米种子每亩平均产量都是1500kg，方差分别为，，，，则这四种水果玉米种子产量最稳定的是．（填“甲”“乙”“丙”“丁”）【答案】丁【规范解答】解：∵，，，，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁.故答案为：丁.【思路点拨】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.15．（2分）（2022九上·福州开学考）已知一组数据分别为：93，93，88，81，94，91，则这组数据的方差为．【答案】20【规范解答】解：数据93，93，88，81，94，91的平均数x=这组数据的方差．故答案为：20.【思路点拨】首先利用平均数的计算方法求出平均数，然后结合方差的计算公式进行计算.16．（2分）（2022八下·德阳期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小明没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差．后来小明进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差．【答案】4.9【规范解答】解：∵小明的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，

∴该班50人测试的平均成绩为92分.

∵S12=[(x1-92)2+(x2-92)2+……+(x49-92)2]=5，

∴[(x1-92)2+(x2-92)2+……+(x49-92)2]=245，

∴S22=[(x1-92)2+(x2-92)2+……+(x49-92)2+(x50-92)2]=×(245+0)=4.9.故答案为：4.9.【思路点拨】由题意可得该班50人测试的平均成绩为92分，根据S12=5结合方差的计算公式可得[(x1-92)2+(x2-92)2+……+(x49-92)2]=245，然后表示出S22，据此计算.17．（2分）（2022八下·蚌埠期末）某校举行“汉字听写选拔赛”，七、八年级各有位同学组队参加比赛．赛后统计成绩发现两队成绩的平均分都是分，且七年级队成绩的方差是，八年级队成绩的方差是，由此推断：七、八年级两队中成绩较为稳定的是队．【答案】七年级【规范解答】根据题意得，两队成绩的平均分都是95分，且七年级队成绩的方差是28，八年级队成绩的方差是30，故七年级队成绩的方差小于八年级队成绩的方差，因此成绩较为稳定的是七年级．故答案为：七年级．【思路点拨】根据方差的定义判断求解即可。18．（2分）（）为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是。【答案】【规范解答】解：∵平均数为12，

∴这组数据的和=12×7=84，

所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，

又∵这组数据的众数为13，

∴被覆盖的三个数为：10，13，13，

所以这组数据的方差s2=

=.

故答案为：.

【思路点拨】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.19．（2分）（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将S2（填“大于”“小于”或“等于”）.【答案】大于【规范解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，∴（a+b+c）＝b，S2＝[（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是：（a+99+b+100+c+101）＝b+100，∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]＝[（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]＝[（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]＝[（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+[2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＝S2+[2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，∵a＜b＜c，∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，∴[2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，∴S2+[2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，故答案为：大于.【思路点拨】先根据平均数的定义即可得到（a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.20．（2分）（2017八下·萧山期中）已知数据，，，的方差是，则，，，的方差为.【答案】1.6【规范解答】0.1×42=1.6.【思路点拨】利用性质：一组数据乘以n,，其方差为原来的n2倍.加上或减去同一个数，方差不变.阅卷人三、解答题(共8题；共60分)得分21．（6分）（2022七上·咸阳月考）学校运动会开设了“抢收抢种”项目，八(5)班甲，两个队伍都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八(5)班的班委组织了一次选拔赛，甲，乙两队各5人的比赛成绩如下表(单位：分)：甲队781079乙对78799经计算，甲队比赛成绩的平均数为8分，方差为1.2，请计算乙队比赛成绩的方差，并根据计算结果，帮助班委选择一个成绩比较稳定的队伍代表班级参赛.【答案】解：(分，所以乙队比赛成绩的平均数为8分.所以乙队比赛成绩的方差是0.8.因为两队比赛成绩的平均数相等，且，所以选择乙队代表班级参加学校比赛.【思路点拨】利用平均数公式求出乙队比赛成绩的平均数；再利用方差公式求出乙队比赛成绩的方差；可得到两个队的平均成绩一样，根据方差越小，成绩越稳定，即可求解.22．（6分）（2021八下·南充期末）如图，是甲、乙两名射击运动员一次训练中10次射击环数折线统计图.选出方差小的计算方差.【答案】解：由图可知乙的波动幅度小，即乙的方差小，乙的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的平均数是：（7＋7＋8＋9＋8＋9＋10＋9＋9＋9）÷10＝8.5，乙的方差＝[2×（7﹣8.5）2＋2×（8﹣8.5）2＋（10﹣8.5）2＋5×（9﹣8.5）2]÷10＝0.85.【思路点拨】利用折线统计图可得到乙的波动幅度小，即乙的方差小，同时可得到乙的成绩，再求出乙的平均数，然后利用方差公式求出乙的方差.23．（6分）（2020八上·安丘期末）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：甲636663616461乙636560636463请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐.【答案】解：＝(63＋66＋63＋61＋64＋61)÷6＝63．＝(63＋65＋60＋63＋64＋63)÷6＝63．＝＝3．＝＝．∵＞．乙种小麦长势整齐．【思路点拨】先计算出平均数，再利用方差的计算方法求出方差，再根据方差的意义求解即可。24．（12分）（2023九上·青秀期末）公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98.10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的、型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比908926.6909030根据以上信息，解答下列问题：（1）（1分）填空：，，；（2）（4分）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）（5分）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）.【答案】（1）95；90；20（2）解：（台），答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；（3）解：型号更好，理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90.【规范解答】（1）解：A型中除尘量为95的有3个，数量最多，所以众数a＝95；B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，所以B型中“合格”的有2个，所以B型中中位数b＝；故答案为：95；90；20；【思路点拨】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，根据众数、中位数概念可求出a、b的值，根据各组百分比之和等于1，B型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；

（2）用3000乘样本中B型扫地机器人“优秀”等级所占的百分比即可得答案；

（3）比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．25．（9分）（2022九上·晋州期中）甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见下列统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：队员平均数（环）中位数（环）众数（环）方差（）甲7.94.09乙77（1）（2分）直接写出表格中，，的值；（2）（3分）求出的值；（3）（4分）若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析．【答案】（1）解：7，8.5，9（2）解：∵，∴（3）解：因为，说明甲射击的平均水平高于乙；而，说明乙比甲的成绩稳定；但是，乙是在相对较低的水平上稳定．而且，甲的中位数和众数均大于乙，也说明甲的射击成绩更好．综合上述因素，甲参赛获得好成绩的可能性更大，若选派一名队员参加比赛，应该选择甲参赛．【规范解答】（1）解：根据射击成绩统计图所列数据可得：平均数，将甲的成绩按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，∴中位数，∵甲的成绩中出现次数最多的是，共三次∴．

【思路点拨】（1）利用众数、平均数和中位数的定义及计算方法求解即可；

（2）利用方差的定义及计算方法求解即可；

（3）利用众数、平均数、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可。26．（7分）（2022九上·拱墅开学考）为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各5名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：7，10，8，10，10；八（2）班：9，9，8，9，10现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析．组别平均数众数中位数方差八（1）班98八（2）班980.4根据以上信息，回答下列问题：（1）（3分）请直接写出，，的值．（2）（4分）如果男生引体向上有效次数10次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这10名同学的成绩为样本，估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数．【答案】（1）解：八（1）班的测试数据中，10的次数最多，因此甲的众数是10，，八（2）班的平均数，将八（2）班的测试数据从小到大排列为8，9，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即，八（1）班的方差；，，，；（2）解：人．答：估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数为120人【思路点拨】（1）找出八（1）班的测试数据中出现次数最多的数据即为众数b的值，将八（2）班的测试数据从小到大进行排列，找出最中间的数据即为中位数b的值，根据方差就是各个数据与该组数据的平均数差的平方和的平均数计算可得c的值；

（2）利用样本中满分的人数除以总人数，然后乘以300即可.27．（7分）（2022·红塔模拟）2021年12月，中共玉溪市红塔区委办公室、玉溪市红塔区人民政府办公室印发《玉溪市红塔区进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的实施方案》，文件明确要求，建立作业统筹管理机制，科学合理布置作业，严控作业总量和时长，切实减轻学生过重课业负担，初中学生每天书面作业平均完成时间不超过90分钟，周末、寒暑假、