专题16 轴对称综合题（几何变换） 带解析

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题16轴对称综合题（几何变换）考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(共10题，每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，，是直线外两点，在上求作一点，使最小，其作法是（

）A．连接并延长与的交点为B．连接，并作线段的垂直平分线与的交点为C．过点作的垂线，垂线与的交点为D．过点作的垂线段，是垂足，延长到点，使，再连接，则与的交点为．【答案】D【思路点拨】利用两点之间线段最短求最短时的位置，则需要作点A关于直线的对称点，再连接对称点及B点即可【规范解答】通过轴对称的性质作点A的对称点，再连接，利用两点之间线段最短的原理得到与的交点为故选D【考点评析】本题考查轴对称的性质在最值问题中的应用，理解将军饮马模型并运用轴对称解题是关键．2．(本题2分)（2021秋·山东威海·七年级校联考期中）如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【思路点拨】作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′，得到≥CF′，结合点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可求解．【规范解答】作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′，∵平分交于点，∴点F′在AB上，∴≥CF′，在中，当CF′⊥AB时，CF′的值最小，此时，CF′==，∴的最小值为，故选D【考点评析】本题主要考查轴对称与两线段和的最小值问题，熟练掌握“马饮水”模型，是解题的关键．3．(本题2分)（2020春·福建泉州·七年级校考期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．18【答案】B【思路点拨】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．【规范解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，故选：B．【考点评析】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．4．(本题2分)（2021秋·七年级单元测试）如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（

）A．B．C． D．【答案】D【思路点拨】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解．【规范解答】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．如图，根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短．故选D．【考点评析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．5．(本题2分)（2021春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】A【思路点拨】首先根据题意连接BD，再结合题意当P、B、E三点在一条直线上是的和最小，因此可求得最小值.【规范解答】解：正方形的面积为9，是等边三角形连接PB，则PB=PD那么=PB+PE因此当P、B、E三点在同一条直线上时，的和最小也就是=PB+PE=BE=AB=3故选A.【考点评析】本题主要考查轴对称,最短路问题,关键在于由两点之间线段最短再结合题意求解即可.6．(本题2分)（2019春·七年级课时练习）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（

）.A．2 B． C．20 D．2【答案】A【思路点拨】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【规范解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝．故选A．【考点评析】本题考查了轴对称－－最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.7．(本题2分)（2022秋·山东东营·七年级统考期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】B【思路点拨】对称轴就是两个对称点连线的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得=,=，所以=++=5cm.【规范解答】∵与关于对称，∴为线段的垂直平分线，∴=，同理，与关于OB对称，∴OB为线段的垂直平分线，∴=，∵△的周长为5cm．∴=++=++=5cm，故选B【考点评析】对称轴是对称点的连线垂直平分线，再利用垂直平分线的性质是解此题的关键.8．(本题2分)（2022秋·上海·七年级专题练习）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影凃在图中标有数字（）的格子内．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路点拨】从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案.【规范解答】如图所示，把阴影涂在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形.故选：.【考点评析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点.9．(本题2分)（2021秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（

）A．5 B．4 C．3 D．7【答案】B【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．【规范解答】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP=PC．∴PA+BP=AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．故选B．【考点评析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．10．(本题2分)（2021春·山东济南·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【思路点拨】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．【规范解答】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，∵四边形的内角和为，∴，即①，由作图可知：，，∵的内角和为，∴②，方程①和②联立方程组，解得．故选：D．【考点评析】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．评卷人得分二、填空题(共8题，每题2分，共16分)11．(本题2分)（2021春·四川成都·七年级校考期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为___________．【答案】【思路点拨】根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解．【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，∴，∴，当三点共线，且时，最短，即最小，∵，，∴，则的最小值为，故答案为：．【考点评析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．12．(本题2分)（2022春·山东济南·七年级山东省济南实验初级中学校考期中）如图，在中，AD为BC边上的高线，且，点M为直线BC上方的一个动点，且面积为的面积2倍，则当最小时，的度数为_________°．【答案】45【规范解答】如图，作过点的直线，使得，作关于的对称点，连接，交于点，则，当三点共线时，取得最小值，过点作，，，，中，AD为BC边上的高线，面积为的面积2倍，，，根据平行线间的距离相等，可得，则，是等腰直角三角形，．故答案为：．【考点评析】本题考查了三角形的高线，等腰直角三角形的性质，平行线的距离，轴对称求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．13．(本题2分)（2021春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______．【答案】【思路点拨】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定M1M2最小值为，即可求解．【规范解答】解：过D作于，连接，如图：长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，∴∴，∵M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，∴DM1＝DM＝DM2，∴，线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与重合，M1M2最小值为．故答案为：．【考点评析】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键．14．(本题2分)（2020春·山东青岛·七年级统考期末）如图，为内部的已知点，连接，为上的点，为上的点，当周长的最小值与的长度相等，的度数为___．【答案】30【思路点拨】设点P关于OM的对称点为C，关于ON的对称点为D，当点A、B在CD上时，△PAB的周长为PA+AB+BP=CD，此时周长最小，根据CD=OP可求出的度数．【规范解答】解：作点P关于OM的对称点C，关于ON的对称点D，连接CD，交OM于A，交ON于B．此时，△PAB的周长最小．连接OC，OD，PA，PB．∵点P与点C关于OM对称∴OM垂直平分PC∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON∴∠COD=2∠MON又∵△PAB的周长=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP∴OC=OD=CD∴△COD是等边三角形∴∠MON故答案为：30．【考点评析】此题找到点A和点B是的位置是解题的关键，要使△PAB的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．15．(本题2分)（2019春·福建三明·七年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分别是AD，AC上的动点，△ABC的面积是15，则MN+MC的最小值是_____．【答案】5【思路点拨】首先过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，由AD是∠BAC的平分线，由垂线段最短得出MN=ME，MC+MN=CE的长度，最后通过三角形面积公式即可求解.【规范解答】过点C作CE⊥AB交AB于点E,交AD于点M,过点M作MN⊥AC于点N,∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∴AD是∠BAC的平分线∴MN=ME，则此时MC+MN有最小值，即CE的长度，【考点评析】本题主要考查等腰三角形三线合一定理，三角形面积公式，垂线段最短，运用数形结合思想是解题关键.16．(本题2分)（2020秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图,点P是直线AC外的一点,点D,E分别是AC,CB两边上的点,点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,则线段P1P2的长为_____.【答案】4.5【思路点拨】利用轴对称图形的性质得出PE=EP1，PD=DP2，进而利用DE=4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．【规范解答】∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE=EP1,PD=DP2，∵PE=2.5cm，PD=3cm，DE=4cm，∴P2D=3cm,EP1=2.5cm，即DP1=DE−EP1=4−2.5=1.5(cm)，则线段P1P2的长为：P1D+DP2=1.5+3=4.5(cm).故答案为4.5.【考点评析】此题主要考查线段的长度求解，解题的关键是熟知轴对称的性质.17．(本题2分)（2019春·七年级单元测试）如图，将长方形纸片ABCD的一角沿EF折叠，使点C落在长方形ABCD的内部点C′处．若∠EFC＝35°，则∠DEC′＝________°.【答案】70【思路点拨】根据折叠前后角相等可知．【规范解答】∵长方形纸片ABCD的一角沿EF折叠，使点C落在长方形ABCD的内部点C′处,∠EFC＝35°，∴∠CEF=∠C′EF=90°-35°=55°，∴∠DEC'=180°-110°=70°．故答案是：70.【考点评析】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．18．(本题2分)（2020秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．【答案】20【规范解答】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．详解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．故答案为20．点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．评卷人得分三、解答题(共64分)19．(本题6分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图，过点作直线的平行线；(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【思路点拨】（1）取格点D，作直线CD即可；（2）作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点M，连接CM，点M即为所求；（3）取格点J，M，N，连接EJ交AB于点K，连接MN交AB于点P，点P即为所求．【规范解答】（1）如图中，直线即为所求；（2）如图中，点即为所求；（3）如图中，点即为所求．【考点评析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．(本题8分)（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；(2)求A1B1C1的面积；(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）利用割补法求三角形的面积．（3）关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．【规范解答】（1）如图所示，（2），∴△A1B1C1的面积为；（3）如图所示，关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．【考点评析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称线的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．21．(本题10分)（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．(1)直接写出的面积；(2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线；(3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹【答案】(1)5(2)见解析(3)见解析【思路点拨】（1）利用割补法，用一个正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；（2）利用网格特点作的垂直平分线即可得到对称轴；（3）根据轴对称的性质作图即可．（1）的面积；（2）如图，直线为所作；（3）如图，点为所作．【考点评析】本题考查了作图-轴对称变换，割补法求面积，熟练掌握知识点是解题的关键．22．(本题10分)（2021秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，和关于直线对称，和关于直线对称．（1）画出直线；（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）【思路点拨】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．【规范解答】解：（1）如图，连接．作线段的垂直平分线．则直线是和的对称轴；（2）如图，连接．∵和关于直线对称，∴．又∵和关于直线对称，∴．∴，即．【考点评析】解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直线．2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．(本题10分)（2019春·辽宁辽阳·七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________．（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）①；②当点与点重合时，的值最小，最小值是【思路点拨】（1）△ABC为等腰三角形，∠B为底角，则可求顶角∠A，MN是AB的垂直平分线，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可，（2）①由垂直平分可知，可证C△NBC等于AC+BC即可，②过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，当点与点重合时，三角形PBC的周长最短，求出即可．【规范解答】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C=∠B=70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜,∵MN⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜，（2）①如图∵垂直平分∴，∵∴，∴．②如下图，过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，由对称性AB与BC′交点在MN上，当点与点重合时，的值最小，最小值是，此时三角形PBC的周长=三角形BMC的周长=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm．【考点评析】本题考查已知等腰三角形底角，求腰中垂线与另一斜边的夹角，以及三角形周长最短问题，掌握作点C关于MN的对称点，连结BC′与AC交于M，点P与点M重合时是解题的关键．24．(本题10分)（2021春·重庆南岸·七年级统考期末）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区发送快件．（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图中，画出点P的大致位置；（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图中画出点M的大致位置；（3）如图，D是内一点，连接．延长交于点E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线点性质点P在线段AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，与l的交点即为所求；（2）根据两点之间线段最短的性质，作点A关于l的对称点A1，连接BA1与l的交点Q即为所求；（3）如图，作点A关于l的对称点A2，连接DA2，BD，DA2与l交于点Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是点B到点Q的最短距离，点Q即为所求．【规范解答】（1）如图，点P即为所求：（2）如图，点M即为所求：（3）如图，点Q即为所求：【考点评析】本题考查轴对称——最短路径，熟练掌握轴对称性质是解题关键．25．(本题10分)（2022秋·浙江·七年级期末）【定义】如图1