专题21 几何问题（一次函数的实际应用） 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题21几何问题（一次函数的实际应用）考试时间：120分钟试卷满分：100分评卷人得分一、选择题(共10题，每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（

）A．12 B． C． D．10【答案】B【思路点拨】设，则，先根据函数图象、三角形的面积公式可得，从而可得，再结合函数图象可得，然后利用勾股定理求解即可得．【规范解答】解：设，则，由函数图象可知，当时，，解得，，由函数图象可知，当点运动到点时，，，故选：B．【考点评析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键．2．(本题2分)（2023春·重庆涪陵·八年级西南大学附中校考开学考试）如图，在平面直角坐标系内，点、的坐标分别为、，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域所形成图形的周长为（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【思路点拨】先根据勾股定理求出的长，再求出点落在直线时的横坐标，求出平移的距离即可解决问题．【规范解答】解：如图，在中，，，，，当时，，，，点向左平移3个单位落在直线上，点平移的距离为3个单位，线段扫过的面积为，故选：A．【考点评析】本题考查作图平移变换、一次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，的斜边，点A，的坐标分别是，，将沿第一象限的角平分线方向平移，当点落在直线上时记作点，则的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据题意点C在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移，求出此直线的解析式与组成方程组，解之即可【规范解答】解：∵点A，的坐标分别是，，∴∴在中，，则∴∵沿第一象限的角平分线方向平移，∴点C在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移，∴设该直线的解析式为∴∴∴∵点落在直线上时记作点，∴解得：∴故选：A【考点评析】本题考查了一次函数与几何变换—平移，涉及到求一次函数的解析式，勾股定理，二元一次方程组与一次函数的关系等知识，得出点C的在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移是解题的关键4．(本题2分)（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知，，点Q从点P出发，先沿直线移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后沿直线移动到点B处停止．当点Q移动的路径最短时（即三条线段长度之和最小），点M的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】将沿方向平移长的距离得到，连接，可得四边形是平行四边形，根据当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，可得、、长度之和最小，再根据待定系数法求得的解析式，即可得到点的坐标．【规范解答】解：如图，将沿方向平移长的距离得到，连接，则，四边形是平行四边形，，当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，此时、、长度之和最小，，，，，设的解析式为，则，解得，，令，则，即，故选：B．【考点评析】本题主要考查了最短路线问题以及待定系数法的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理．5．(本题2分)（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】由直线，可得，易知；连接，交直线与点，连接，由轴对称的性质可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，则，，由勾股定理可得，解得，即可确定点的横坐标．【规范解答】解：对于直线，当时，，当时，，∴，∴，连接，交直线与点，连接，如下图，∵点与点关于直线对称，∴，且，∴，∵点在第一象限内，且纵坐标为4，∴轴，∴，又∵，，∴，∴，设，则，∴，∴，∴在中，，即，解得，∴，∴点的横坐标为．故选：C．【考点评析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．6．(本题2分)（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．【规范解答】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．当时，，∴点D的坐标为；当时，，∴点A的坐标为，∴点E的坐标为，，∴，∴．同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），∴阴影部分面积之和为：．故选：A．【考点评析】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．7．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】过C作垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，证明与全等，由全等三角形对应边相等得到，由求出的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．【规范解答】解：对于直线，令，得到，即B（0，2），，令，得到，即，过C作轴，可得，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴，设直线BC的解析式为，∵B（0，2），∴b=2−5k+b=3，解得．∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是．故选：B．【考点评析】本题考查一次函数与几何的综合应用，以及全等三角形的判定和性质．正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．8．(本题2分)（2022春·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【思路点拨】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．【规范解答】解：由已知可得，∴三角形是等腰直角三角形，∵，∴，又∵P是线段上动点，将线段绕点A逆时针旋转45°，∴P在线段上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，∴当P在O点时对应的在N点，此时AO=AN，当P在C点时对应的在M点,此时AM=AC∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，∴当线段与垂直时，线段的值最小，在中，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴．故选：A．【考点评析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．9．(本题2分)（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，．下列四个说法：；为线段中点；；点的坐标为．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【思路点拨】先用待定系数法分别求出直线的解析式，再根据两条直线的斜率相乘是否等于即可判断；求出点的坐标，即可判断；用两点间的坐标公式求出的长，从而可以得出两个三角形的边的关系，从而可以判断；点为直线与轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以判断．【规范解答】解：，点坐标为，点坐标为，设直线的解析式为：，直线经过两点，，解得，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，直线经过两点，，解得，直线的解析式为：，，，，故正确，符合题意；点为直线与轴的交点，当时，，点坐标为，，为线段中点，故正确，符合题意；由图象得，，，（SSS），故说法正确，符合题意；点为直线与轴的交点，当时，，点的坐标为，故说法正确，符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、判断两条直线垂直、判断点是线段的中点、三角形全等的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是先用待定系数法求出两条直线的解析式．10．(本题2分)（2023·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．【规范解答】解：由题意可得，设直线AB的解析式为y=kx+b则解得：∴直线AB的解析式为：y=x-4，∴x=y+4，设直线AC的解析式为y=mx+n则解得：∴直线AC的解析式为：，∴，∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，∴，∵EP=3PF，∴，∴点P的横坐标为：，∵，∴．∴故答案为：A．【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．评卷人得分二、填空题(共10题，每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，点E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是____________．【答案】【思路点拨】作点B关于的对称点，连接交于点，的最小值为，分别求出点A，C的坐标，证明四边形是正方形即可求出点的坐标，即可求出的长度．【规范解答】解：如下图所示，作点B关于的对称点，连接交于点，∵线段所在直线的解析式为，当时，，当时，，∴，∴相互垂直平分，∴四边形是正方形，∴点，∵点∴的最小值为，故答案为：．【考点评析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点A，C的坐标．12．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接，，点M，N分别是线段上的动点（M不与A，B重合），且满足．当为等腰三角形时，M的坐标为______．【答案】或【思路点拨】根据，结合三角形外角的性质可得，再由点B与点A关于y轴对称，可得，从而得到，然后分三种情况讨论，即可求解．【规范解答】解：令，，∴点C的坐标为，即，∵，，∴，∵点B与点A关于y轴对称，∴，∴，，当时，在和中，∵，，，∴，∴，∴，∴M的坐标为；如图，当时，此时，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴M的坐标为；当时，，此时点M与点B重合，不符合题意，舍去；综上所述，M的坐标为或．故答案为：或【考点评析】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．13．(本题2分)（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线：分别交x轴和y轴于点A、B两点，点在直线上，点D在直线：上，且点D在直线下方，连接和，若的面积为3，则点D的坐标是___________．【答案】##【思路点拨】过点C作轴，交于点E，求出A点坐标，C点坐标，设点，的解析式为，求出直线的解析式为，求出点E坐标，用m表示出，根据三角形面积公式列出m的方程，解方程即可得出答案．【规范解答】解：过点C作轴，交于点E，如图所示：把代入得：，∴，把代入得：，∴，设点，的解析式为，把，代入得：，解得：，所以直线的解析式为，把代入得：，∴点，∵点D在直线下方，∴点一定在点C的下方，∴，∴，解得：，∴点D坐标为：．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是设出点D的坐标，用点D的坐标表示出的面积，列出方程．14．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，点的坐标是___________．【答案】或．【思路点拨】分三种情况考虑：当时，可得，确定出此时的坐标；当时，利用外角性质判断不可能；当时，设，则，，进而求出此时的坐标即可．【规范解答】解：对于直线，令，得到；令，得到，，，即，与关于轴对称，，，即，则根据勾股定理得：；点与点关于轴对称，，，，又，，①当时，则，，，此时点；②当时，，是的外角，，又，这种情况不可能；③当时，，又，，，设，则，，，解得：．此时点的坐标为：．综上，的坐标为，，．故答案是：，．【考点评析】此题属于一次函数综合题，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解本题的关键．15．(本题2分)（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图长方形的边长．刚开始时与y轴重合．将长方形沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边与直线交于点M，与直线交于点N，边与直线交于点P，与直线交于点Q，设运动时间为t（秒），当为定值时，时间t的取值范围为______．【答案】或【思路点拨】判断出在两直线交的左侧，求出点，的坐标，证明当线段，在两直线的交点的同侧时，为定值，求出直线，直线经过两直线交点时，点与重合时的值，可得结论．【规范解答】由，解得，两直线的交点坐标为，当时，线段在交点的左侧，，，，如图，过点作交于点．，，四边形是平行四边形，，定值，观察图像可知，当线段，在两直线的交点的同侧时，为定值，当直线经过点时，，，当直线经过点时，，继续运动当点与重合时，，观察图形可知，满足条件的的值为或．故答案为：或．【考点评析】本题主要考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题．16．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点D，E分别在线段、上，连接将沿折叠，点的对应点恰好在轴上，且平分，则点的坐标是______．【答案】【思路点拨】过点作轴于点，轴于点，交于点，利用角平分线的性质可得，，利用折叠，得到，进而得到，即点的横纵坐标相等，设，代入一次函数解析式，求出值，即可得解．【规范解答】解：如图，过点作轴于点，轴于点，交于点，∵平分，∴，∵将沿折叠，∴，∴，∴，即：点的横纵坐标相等，设，∵点D线段上，∴，解得：，∴；故答案为：．【考点评析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，以及折叠后的两个三角形全等，是解题的关键．17．(本题2分)（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为______．【答案】【思路点拨】过点作于点，由的解析式求出点，的坐标，由得，设，，根据勾股定理和等积法求出，，得出点坐标，最后设出解析式代入求解即可．【规范解答】解：如图，过点作于点，∵：与轴，轴分别交于点，，∴，，∴，∵，∴，设，，则，，由勾股定理得，即，由等积法得，∴，联立，解得或（舍去），∴，设：，将点代入并解得，∴的函数表达式为．故答案为：．【考点评析】本题考查了一次函数的几何综合，正确画出辅助线，熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键．18．(本题2分)（2022秋·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．【答案】【思路点拨】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．【规范解答】解：作、垂直于轴于、，则，则，为等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，设，得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，当点与点重合时最小，此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：，解得：，，联立：，解得：，即，故答案为：．【考点评析】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点，；按此作法继续下去，则点的坐标为__．【答案】【思路点拨】先求解，设再利用勾股定理求解求出，同理可得，然后表示出与OM的关系，再根据点在x轴上写出坐标即可．【规范解答】解：点的坐标是，轴，点在直线上，，，．又，即设则解得：即同理，，，．点的坐标是，．故答案是：．【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，坐标规律的探究，熟记性质并总结变化规律是解题的关键．20．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP＋PH＋HQ的最小值为________．【答案】【思路点拨】根据解析式求出点，，的坐标，结合矩形性质得出，两点对称公式得出点；利用所给函数图象、平行四边形的性质构造等量关系，则，由三点之间直线最短可知的值最小时，即，可得出结论．【规范解答】，为的中点，点，点，点．PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，，点．连接，四边形是平行四边形，，．当点，，三点共线，的值最小，，．故答案为：．【考点评析】本题考查动点问题中的函数图象的理解与运用能力．数形结合，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图像相交于点A，且分别与x轴交于点B、C.(1)求A点坐标；(2)判断的形状，并说明理由；(3)若点D在y轴上，当是等腰三角形时，请直接写出点D坐标.【答案】(1)A的坐标为；(2)是等腰三角形，理由见解析；(3)，，，，【思路点拨】（1）联立方程组，求出方程组的解即可；（2）分别求出点B和点C的坐标，过点A作BC的垂线，垂足为D，可得，再判断形状即可；（3）由与y轴不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，设点D的坐标为，根据两点间距离公式求出的长，再分，三种情况讨论求解即可.【规范解答】（1）∵一次函数与的图像相交于点A，∴解得∴A的坐标为；（2）是等腰三角形.证明：∵，∴当时，，∴.∵，∴当时，，∴.过点A作BC的垂线，垂足为D，则点D的坐标为，∴，又∵，∴直线AD是线段BC的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形；（3）由与y轴不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，设点D的坐标为，∵,∴①当时，，解得，∴点D的坐标为；②当时，解得，∴点D的坐标为；③当时，同理可得：,∵,,∴此时为中点，不构成三角形，舍去；综上，点D的坐标为，，，【考点评析】本题主要考查了两条直线相交的问题以及等腰三角形的性质，正确理解题意是解答本题的关键22．(本题6分)（2023秋·河南开封·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C．(1)求点C的坐标．(2)若P是x轴上的一个动点，直接写出当是以为腰的等腰三角形时点P的坐标．(3)在直线上是否存在点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C的坐标是(2)或或(3)存在，M的坐标为或【思路点拨】（1）联立两直线解析式求出x、y的值即可得到答案；（2）设点P的坐标为，利用勾股定理求出，再分当时，则当时，两种情况建立方程求解即可；（3）先求出点A的坐标，进而求出，再分①当M在x轴下方时，②当M在x轴上方时，两种情况分别求出和的关系，由此建立方程求解即可．【规范解答】（1）解：联立解得，∴点C的坐标是；（2）解：设点P的坐标为，∴，当时，则，解得，∴点P的坐标为或；当时，则，解得或（舍去），∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或；（3）解：当时，，解得：，∴点A坐标为∴，∴①当M在x轴下方时，∵，∴∴，解得当时，，解得：，∴点M为②当M在x轴上方时，∵，∴，∴，解得，当时，，解得：，∴点M为；综上所述，占M的坐标为或．【考点评析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义，求两直线的交点等等，灵活运用所学的知识是解题的关键．23．(本题6分)（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考开学考试）模型建立：如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，，．模型应用：(1)求证：；(2)已知直线：与、轴分别交于点、，直线过点，且与的夹角等于，如图，求直线的函数表达式.；(3)如图3，在长方形中，点，点是线段上一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰三角形，且，请直接写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)(3)或【思路点拨】（1）由，得，进而得证；（2）作，交于，作于，可得是等腰直角三角形，进而求得；（3）作于，于，构造模型，设点，，，得进而得出点．【规范解答】（1）证明：，，，，，，，又，；（2）如图2，由得，，，作，交于，作于，，可得是等腰直角三角形，由上知：，，，，，设的解析式是：，∴，∴，；（3）如图3，作于，于，设点，，，由上知，，，当时，当时，，，，点和重合，．综上所述，或．【考点评析】本题考查了一次函数与几何图形综合，三角形全等等知识，解决问题的关键是构造模型，利用模型．24．(本题8分)（2023秋·广东茂名·八年级统考期末）如图，将边长为正方形置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为、顶点的坐标为，与轴交于点，一次函数的图象交于点，连接并延长交轴于点．(1)求点的坐标．(2)连接，求证：是直角三角形．(3)有一动点以的速度从点出发，沿着方向运动，设运动时间为，当为何值时，是等腰三角形．【答案】(1)(2)见解析(3)或或4或或或【思路点拨】（1）直接将代入求值即可；（2）先根据正方形的性质得到、、、、、的坐标，再用勾股定理判断即可；（3）根据等腰三角形的性质分情况列方程求解即可．【规范解答】（1）是边长为的正方形的顶点，当时，，故点；（2）四方形是正方形，点、、、、、的坐标分别为：、、、、，则，，，故，故：是直角三角形；（3）点的坐标分别为：①当点在上时，此时，点，则，，，当时，，解得：；当时，同理可得：（不合题意，舍去）；当时，同理可得：，（不合题意，舍去）②当点在上时，点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，令，则，即点，则；，，；当时，，解得：；当时，同理可得：；当时，同理可得：综上所述：或或4或或或．【考点评析】本题考查了求一次函数值，正方形的性质，等边三角形的性质，解一元一次方程和解一元二次方程，注意第三问情况较多，不要漏落．25．(本题8分)（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．(1)填空：m＝______，b＝______；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【答案】(1)3，6(2)的面积为50(3)存在，点M的坐标为(4)所有符合条件的点P坐标为或【思路点拨】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．【规范解答】（1）∵是一次函数与的图象的交点，∴，解得，∴，解得，故答案为：3，6；（2）一次函数中，当时，；当时，，∴，一次函数中，当时，，∴，∴，∴，∴的面积为50；（3）如图：在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，∵的面积与四边形的面积比为，∴，∴，即，∴，∵点M在线段上，∴点M的坐标为；（4）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，设点，∵，∴，，，当时，，∴，整理得，，解得或（舍去），∴点P坐标为；当时，，∴，解得，∴点P坐标为；综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．【考点评析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．26．(本题8分)（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求点A，B的坐标；(2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．【答案】(1)，；(2)存在，点坐标为；(3)折痕的解析式为．【思路点拨】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标；（2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标；（3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式．【规范解答】（1））在中，令可得，令可求得，，；（2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则，即点即为满足条件的点，，，在中，当时，可得，点坐标为；（3）如图2，设，则，，，由折叠的性质可得，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，设直线解析式为，，解得，折痕的解析式为．【考点评析】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．27．(本题8分)（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．(1)直接写出点D的坐标为；点E的坐标为．(2)求的面积．(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．【答案】(1)；(2)30(3)①点N的坐标为，，；②或【思路点拨】（1）由题意可得：点D的纵坐标是6，点E在y轴上，横坐标是0，代入直线解析式求解即可；（2）先求出点F的坐标，再根据的面积=求解即可；（3）①分三种情况若点A为直角顶点时，点N在第一象限；点M为直角顶点时，点N在第一象限；若点N为直角顶点，点N在第一象限；结合图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可；②考虑特殊情况：当点