2025届湖北省长阳县一中高考数学倒计时模拟卷含解析

2025届湖北省长阳县一中高考数学倒计时模拟卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形2．下列判断错误的是()A．若随机变量服从正态分布，则B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件C．若随机变量服从二项分布：，则D．是的充分不必要条件3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．44．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．5．函数的图象大致是（）A． B．C． D．6．已知为锐角，且，则等于（）A． B． C． D．7．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．8．（）A． B． C． D．9．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）A． B．C． D．10．已知，，则（）A． B． C．3 D．411．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若向量与向量平行，则实数___________．14．“”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）15．等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.16．已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.（1）当时，求与的交点的极坐标；（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．20．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度/℃14161820222426繁殖数量/个2530385066120218对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.21．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.22．（10分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点.（1）求证：直线与椭圆相切；（2）判断是否为定值，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以当时，为直角三角形；当时即，为等腰三角形；的形状是等腰三角形或直角三角形故选：．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2、D【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详解】对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；对于选项，若随机变量服从二项分布：，则，故选项正确，不符合题意；对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.3、A【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题4、A【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.5、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵，，∴函数为奇函数，∴排除选项A，B；又∵当时，，故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.6、C【解析】

由可得，再利用计算即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7、D【解析】

利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.8、D【解析】

利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.9、C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，由中位线定理可得且，所以即为与直线所成的角，，由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.10、A【解析】

根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得则.故选：A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.11、D【解析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.12、B【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有，扣除郁金香在两边有，即可求出结论.【详解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有，所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题可得，因为向量与向量平行，所以，解得．14、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.15、4【解析】

根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意得:，则整理得，，所以故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.16、【解析】

求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设，由题，得，又，所以，则点C在以AB为直径的圆上，取AB的中点为M，则，设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E，则的最小值是，因为，又，所以的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.【解析】

（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.【详解】（1）第一组数据平均数为千斤/亩，第二组数据平均数为千斤/亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.（ii）对于采用降低夜间温度的方法：每亩平均产量为千斤，∴该农场一年的利润为千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列为0123所以.【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.18、（1），；（2）【解析】

（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.【详解】（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），当时，联立解得交点，当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）当时，无交点；综上，曲线与直线的点极坐标为，，（2）把直线的参数方程代入曲线，得，可知，，所以.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19、（1）；（2）证明详见解析，；（3）.【解析】

(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解：设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为；证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则．所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点．当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则．所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.20、（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245【解析】

（1）由散点图即可得到答案；（2）把两边取自然对数，得，由计算得到，再将代入可得，