渗流力学课件

渗流力学目录第三章单相液体的稳定渗流理论第四章弹性微可压缩液体的不稳定渗流第六章两相渗流理论基础第三章单相液体的稳定渗流理论第一节基本概念1、渗流方式线性渗流，非线性渗流单相渗流，多相渗流单向、平面、空间渗流液体参数（密度等）不随坐标位置变化，如常态下的水。如变化为非均质流体，如气体，考虑压缩性的水、油等。2、均质液体3、稳定渗流压力、渗流速度等运动要素不随时间发生变化。4、注水开发油田可认为是稳定渗流供给压力（注水压力）不变，生产井压力不变，原油粘度、渗透率不变。本章研究条件：

均质液体稳定渗流地层水平均质：h、Φ、k不变油水性质无差异（μ）、无弹性（ρ）实际油水性质有差异，是不稳定渗流。第二节单相液体稳定渗流基本方程的解及其应用单相液体稳定渗流时有：（1）在极坐标下，（1）可表示为：（2）

N=0时为单相流，n=1时为平面径向流，n=2时为球面向心流。一、单向渗流n=0时，（2）式为：（1）测岩心渗透率hBLpepw边界条件：x=0，p=peX=L，p=pw（1）对（1）式积分，并代入边界条件得地层中任意点压力为（2）（2）为单向流动压力分布公式。1、压力分布公式2、单向稳定渗流时的产量公式由式中上式分离变量：积分：得产量(3)3、单向液体稳定渗流的渗流速度和压力公式因将（3）式代入的渗流速度为：（4）对（2）式求导得压力梯度公式为：（5）4、单向液体稳定渗流特性分析pepwx等压线流线pepw压力与x关系水动力场图

等压线：压力相等的点的连线；流线：与等压线垂直的线；水动力场图：由等压线与流线组成的正交网图。规定两条等压线间压差相等，两条流线间流量相等。5、液体质点的运移规律液体从供给边缘移动到x处所需时间t为：二、平面径向渗流点源：向四周发散流体的点，如注水井；点汇：流体向该点汇集，如采油井。点源点汇设有一水平均质等厚的圆形地层，中心一口水动力完善井，边外有充足水源供给。已知：k、Φ、h、Re、Rw、pe、pw、μpepwRwRerQ1、平面径向稳定渗流的压力分布公式数学模型：r=Rw，p=pwr=Re，p=pe（1）（2）令则（1）式变为：分离变量积分得：则即分离变量积分：（3）代入边界条件得：代回（3）得：平面径向流压力分布式：（4）由（4）式知，平面径向渗流时，压力分布与半径呈对数关系。从整个地层看，压降面象个漏斗状的曲面，称压降漏斗。rppepwRe水动力场2、平面径向渗流产量公式及分析由分离变量积分有：（5）由（5）式知，增加油井产量的办法：

增大生产压差（pe-pw）提高地层流动系数kh/μ（压裂，酸化，热采）ab应用时控油面积：3、渗流速度及压力梯度稳定渗流时，Q=Av=常数，则渗流速度：把（5）式代入：（6）（6）式表示v与r成双曲函数关系。又则压力梯度：压力梯度也与r成双曲函数关系。v，dp/drrRwR越小，v越大，dp/dr越大，能量损失越大。4、平均地层压力平均地层压力反映地层平均能量的大小，用面积加权平均法求平均地层压力。rdrpRe取小环形单元体，面积为平均地层压力为：代入代入上下限，不计Rw2项，则如代入有5、液体质点的运移规律因则液体质点从r0移到r需时间t为从供给边缘移到井底的时间为：体积系数Bo：原油在油藏的体积与在地面脱气后的体积之比。Bo>1作业：

9题：（1）、（2）、（3），在（1）中计算各半径处的渗流速度。

10题

11题四、有渗透率突变情况下的渗流问题由于油层污染等会使渗透率发生突然变化。1、渗透率突变地层中的单向流L1，k1L2，k2pep1pw设渗透率突变处压力为p1，则有因Q1=Q2=Q压力分布：在0<x<L1期间：在L2<x<L2期间：2、渗透率突变地层中的平面径向流：ReR1PeP1k1k2设渗透率突变处压力为p1，则压力分布R1<r<Re：Rw<r<R1：第三节油井不完善性对渗流的影响1、完善井：全部钻开油层，且钻穿部分裸露的井2、水动力不完善井：未全部钻开油层或下套管完井，改变了油层渗流状况。一、不完善井分类1、打开程度不完善2、打开性质不完善3、双重不完善二、不完善井对渗流的影响渗流面积减小渗流阻力增大。井产量减小。不完善性对渗流的影响可看成是变化了的井半径的影响，称这一半径为折算半径。折算半径Rwr实际的不完善井用一个产量与之相等，但油井半径较小的完善井代替，这一假想完善井的半径称实际不完善井的折算半径。则不完善井的产量：△PC井的不完善性引起的附加压降等于：C－表皮系数，为一反映井壁污染和不完善井结构的附加渗流阻力的无量刚值。井产量公式为：则

C>0，渗流阻力增加，油井不完善或污染；

C<0，渗流阻力减小，油井超完善.第四节油井的稳定试井定义：通过人为改变油井的工作制度，在稳定情况下测出压力和产量关系曲线，以确定合理工作制度和地层参数的方法。n=1n<1n>1，不正常x△p用公式表示为：－采油指数n－渗流指数（1/2<n<1)5mm8mm6mm7mm井底压力高于饱和压力时，地层为单相流，Q与Δp成线性关系，n=1；实际试井中往往如图2曲线，即刚开始为直线，然后呈曲线，原因有：

1）压差增大时，渗流速度增大破坏了直线渗流定率，出现了非线性渗流规律；

2）当压差增大时，井底流动压力低于饱和压力，井底附近地区出现脱气现象，产生两相流动，从而降低了油相相对渗透率而使渗流阻力增大。

3）曲线3为流动不稳定测得的曲线，需重新测试，这时的能量除压能外还有弹性能。系统试井可解决以下问题：1）确定合理的工作制度，在直线段取最大产量；2）确定地层参数和油井生产能力。在指示曲线的直线段：

—采油指数，即单位压差下的油井产量，表示油井产能。又由平面径向流公式：由试井资料求出后，可求出地层附近渗透率：补充作业：1、求得不完善井的产量相当于完善井产量的80％，已知供给半径1000米，井半径0.1米,计算附加阻力系数及油井折算半径。2、均质水平圆形地层中心一口生产井，油井以定产量Q生产，已知井折算半径Rwr、井底压力pw、供给压力pe油层厚h、渗透率k，若Re到R1为线性渗流，R1到Rwr为非线性渗流，求压力P的表达式。第五节势的叠加和多井干扰理论一、多井同时生产时的物理现象井间干扰：同一油层内同时有两口井以上油井生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要影响到其他井，这种现象称井间干扰。井间干扰特征：地层中压力场发生重新分布。第五节势的叠加和多井干扰理论MM4M2M3M1M3M4M2M1MQQQ-Q二、势的叠加理论（一）势的基本概念势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。势的概念常与Laplace方程联系在一起，其解叫势函数。由达西公式：令则“Ф“就定义为势，常称速度势。（１）势具有压力的含义，对（１）微分有：（２）在稳定渗流场中，压力分布满足Laplace，即：将（１）式代入有：（３）满足Laplace方程的函数为线性函数，线性函数可进行叠加。1、平面上一点的势设平面上有一点汇，在距离点汇r圆周处的流量为：令则分离变量得平面上一点的势为：（4）

q：单位厚度的产量（产液强度）

r：地层中任意点到井的距离；

Ф：距井半径r处地层中的势；C：常数，与边界条件有关。对注水井，q为负值，则点源的势为：（5）2、空间一点的势设空间有一点汇，则距点汇r半径球面上的渗流速度为：又则空间一点汇势为：空间点源势为：（二）势理论在渗流力学中的应用1、用势理论求平面径向流产量公式平面径向流点汇的势为：[1]r=Re时，Ф=Фe；r=Rw时，Ф=Фw；则：[2][3][2]-[3]有：[4]代入：[5]2、球面向心流产量公式：hRФ整个渗流过程可看成两部分构成：（1）从Re到某一半径R的平面径向流，则：[1]（2）从R到Rw的球面向心流。又半球内任意点势为：则因1/Rw远大于1/R，不考虑1/R相，则：[2][1]=[2]得：[3]流动很快从球面流转为平面流，常取R=1.5h。（三）势的叠加原理势的叠加原理：在无限平面地层中同时存在任意个点源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇）引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在时在该点产生势的代数合。

n井同时工作时，地层中有任意点M，则各井在M点产生的势为：q1q2q3qnr1r2r3rnn井同时生产在M点产生的势由叠加原理表示为：上式为势的叠加原理的数学表达式，式中：

Ф：任意点合成流动时的势；

qi：第I口井产液强度；

ri：I井到任意点距离。利用势的叠加原理可求：已知各井井壁势（井底压力）求各井产量；已知各井产量，求井壁处的势。三、渗流速度的合成原则1、利用等势线和等压线确定渗流速度求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。大小可由下式计算：2、用矢量合成法各井单独生产时的渗流速度：n井同时生产：v1vnq1qn第六节势的叠加原理的典型应用设在无限大地层中有等产量的一源一汇，相距2a一、等产量的一源一汇1、势及流场aa-qqr1r2v2v1v由势的叠加原理，地层中任意点的势为：（1）MCDAB由（1）式知，r1/r2为常数时，势相等，则等势线方程为：（2）当C0=1时，r1=r2，即y轴是一条等势线。又代入（2）整理得：配方得：（3）（3）是圆心在x轴的圆族方程，圆心为（），半径为2aC0/（1-C02），即等势线为一系列圆。由等势线与流线的正交关系，可求出流线的方程为：（4）（4）式表示流线是圆心在y轴上的一系列圆，个给C0不同的值可得不同的流线，且x轴也是一条流线。流线与等压线油水界面位置与舌进现像2、液体质点运动规律如只有A井工作，则M点渗流速度为v1，如只有B井工作，M点渗流速度为v2，两井同时工作时，渗流速度为v，因三角形ABM与三角形MCD相似，则：（5）稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由（5）式知，v与r1r2的乘积成反比，在x轴上r1r2最小，液体质点沿x轴运动速度最快，称x轴为主流线。

在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井中，形成舌进现象。水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井底，使水驱效率变差。

这是注水开发采收率低的重要原因。3、以知生产井和注入井势时的产量公式由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：上两式相减有：二、等产量两汇v1ABaar2v2r1vM在无限大地层中存在等产量的两汇，相距2a。1、势及流场由叠加原理地层中任意点的势为；（1）由（1）式，r1r2相等时，势相等，则等势线方程为；（2）因代入（2）式配方得：（3）（3）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同的等势线。等产量两汇时的渗流场Y轴为分流线同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型流线族方程：（4）给C1不同的值得不同的流线。当C1等于无穷大时，（4）式可转化为x轴和y轴方程，则y轴x轴均为流线。

y轴具有分流性质，也叫分流线。把两侧的液流分开，使液体不能穿过分流线而流动。2、渗流速度分析NAB在地层中任一点N处，A、B两井单独工作时的速度分别为：两井同时工作时，N点速度为两速度矢量合。在x轴上，N点速度为：若N为平衡点，即v=0时：qA=qB时，r1=r2即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，该点液体流动速度为零，称死油点，平衡点附近形成死油区。平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，且总偏向产量小的井。通过改变两井产量比例，可使平衡点向产量小的井移动，以采出死油区内原油。3、井产量任意点取在生产井壁：任意点取在供给边缘：则产量公式：（5）第七节考虑边界效应的镜像反映法实际油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各种边界。边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布和井产量都会产生影响，这中影响称为边界效映。一、直线供给边沿附近一口井的反映直线供给边缘附近存在一口生产井时，直线供给边缘为一条等势线，液流从供给边缘流向井底，流线与等压线如图。等产量一源一汇时，其渗流场图与y轴完全对称，y轴是一条等势线，y轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘附近一口生产井时的渗流场完全一致。由此，在供给边缘附近（a，0）处存在一口生产井时，可设想成以直线供给边缘（选作y轴）为镜面，在其对称位置（-a，0）出反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。这种用一个“异号像”的作用来代替直线供给边缘的方法，叫汇源反映法。真实井虚拟井通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井井底去掉常数，得井产量公式为：二、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法直线不渗透边界附近存在一口生产井时，液体不能穿过不渗透边界（断层）而流动，断层起分流作用，为分流线。不渗透边界附近一口井的渗流场图，刚好是等产量两汇时的渗流场图的一半，并以y轴为对称轴。直线断层附近（a，0）存在一口生产井时，可将断层看作镜面，在其对称位只映射出一口等强度的汇（生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。两口井势的叠加的结果在真实生产区形成的渗流场与直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。这种反因映为汇点反映。写出任意点势后，将任意点取在供给边缘（不是断层）和生产井井底，有产量公式为：总结1、边界对渗流场和井产量的影响可看成以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井“像”的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与边界对井影响形成的渗流场完全相同。2、反映法的基本原则

不渗透边界是同号等产量反映，反映后不渗透边界保持为分流线；

供给边界是等产量异号反映，反映后供给边界必须保持为等势线。三、镜像反映法的推广（一）复杂断层的镜像反映法镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则是反映后原渗流边界性质不变。对复杂边界，要求：对井有影响的边界都必须进行映射；对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映射到边界的另一侧；有时需要多次映射才能取消边界。多边界映射实例：+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q-q-q直角断层混合边界45度断层平行断层二、圆形供给边界偏心井的反映+q-qMReФeФwФeM2M1r1r2aad有一圆形地层偏心井，偏心距为d，求井产量和压力分布。从无限大地层一源一汇的平面渗流场图知等势线为一系列圆，且都与井点相差一定距离。如选取一等势圆为供给边缘，其半径为Re，圆心与井点距离为d，此时生产井就为供给边缘内一口偏心井。则只要在适当位置上虚拟一口等产量的注入井，就可将偏心井问题转化为无限地层一源一汇问题。1、确定井像的位置无限层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为Re的圆周上的M1和M2点应满足下式：即则虚拟注入井的位置为：（1）2、偏心井产量因把（1）代入得：（2）有虚拟井后地层中任意点势为：（3）将任意点分别取在供给边缘和生产井井底有：偏心井产量公式为3、地层中任意点势分布（4）由（3）式有：代入q有：（5）4、偏心距对产量的影响定义影响系数为：（6）式中Q’为偏心井产量；Q为圆心井产量。则：（7）计算表明，Re=100m,d/Re=0.75时，偏心井的产量增加了13％。当偏心距小于地层半径之半，则影响较小。作业：19、20、21、22、23第八节复势理论在平面渗流问题中的应用复变函数在某区域内解析时，其实部和虚部为共轭的调和函数；表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，因此可用复变函数来表征渗流场，通过对复变函数的研究来求解较复杂的渗流问题；通过复变函数的保角变换，可把一个复杂的渗流场变为一个简单的渗流场进行处理。一、势函数、流函数及复势1、势函数和流函数单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为：有在无源区域内，因即（1）（2）将（1）代入有：

渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则φ

称势函数或速度势。（3）由（3）式知，势函数满足Laplace方程。C1为一常数，表示一条等势线。vxvvydsdydxxyS设在渗流场中有流线S，其中一点M处的切线方向，为该点流体质点运动方向。设M点渗流速度为v，则在x、y方向的分速度为vx、vy。

在M点沿流线S取一微小增量dS，则在x、y方向的增量为dx、dy，由相似关系有：M即（4）（4）为流线方程。因无源渗流场中，即（5）（5）式表示（4）式是某一函数的全微分，并用dΨ

表示：（6）（a）（a）为全微分的充要条件是全微分函数（6）式积分有：则Ψ称为流函数，Ψ为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。由（6）式知渗流速度与流函数关系：（7）因渗流场为有势场，其旋度即有将（7）式代入有：即流函数也满足Laplace方程。由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数φ（x，y）和流函数Ψ（x，y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为：（9）（8）（9）式为柯西-黎曼（Chuchy-Rieman）条件。证明势函数与流函数正交：沿等势线，势函数的全微分为零，即：则等势线上任一点处的切线斜率为：（10）沿流线，流函数的全微分也为零：则流线上任一点处的切线斜率为：（11）所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。因势函数和流函数满足C-R条件，则任知其中一个可求出另一个，从而确定渗流场。（12）例1、求线性渗流时势函数及流函数由达西定律知：则所以：由C-R条件单向流势则为单向流流函数例2、设已知生产井的势求流函数。解、则因又即则（13）2、平面渗流场的复势如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为共轭调和函数。又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为：（14）由（14）式：即（15）例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。解：习题：54、55、56、57二、复势叠加原理1、平面上点源和点汇的复势生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为：点源的复势为：即：（1）（1）式中，w（z）—距汇点任意处的复势；

z—复平面上任意点；

r—复变量z的模；θ—复变量z的幅角。井点为点源时，复势为：如井点在任意点A=a+ib，其复势为：（2）势函数流函数为：zrAAθyx（3）2、复势叠加原理若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。（4）且则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2….An,则任意点复势为：则势函数为：流函数为：（7）（6）（5）三、复势理论在解决多井工作问题中的应用（一）无限地层中的等产量一源一汇r2r1θ2

xy-q+qaaθ1

由复势叠加原理：（1）则势函数为：流函数为：（3）（2）由（2）式可得等势线方程。由（3）式：为流线方程则令化简为：配方得：（4）（5）流线为圆。地层中任意点的渗流速度：由则xyqqaaθ1

二、一对等产量的汇θ2

r1r2M由复势叠加原理，M点的复势为：（1）则势函数为：（2）流函数为：（3）当时为流线令上式化简为：（4）流线方程为双曲线方程，C0为无穷时，有x=0或y=0，即x轴和y轴都是流线，其中y轴为分流线。地层中任意点的渗流速度为：

r为任意点M到原点的距离，M点取在原点时，r为0，渗流速度为零，为死油点。补充习题：已知平面渗流场的复势求势函数和流函数。第九节平面渗流问题的保角变换求解法一、保角变换的概念1、z平面到ζ

平面上的变换在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数ζ=ξ+iη

，ζ与z之间有关系z=z（ζ）或ζ=ζ（z），则or即（1）（1）式确定了平面z上的点与ζ上的点的对应关系，ζ=ζ（z）是单值或多值，则z平面上对应ζ平面上一点或几点。如：则即在z平面上给定一点，在ζ平面上可得到对应的一点。同样z平面上一条线在ζ面上有对应的一条或几条线。对于z平面上的一个渗流场，同样可在ζ面上有对应的渗流场。2、解析函数的导数和幅角设解析函数ζ=ζ（z）把z平面一点z=x+iy变换到ζ平面内ζ=ξ+iη

的一点。用M和α

分别代表函数ζ在z点的导数的摸和幅角，即或（2）由（2）式知，在dζ/dz=0时，变换ζ=ζ（z）使z点处很短的线伸长或缩短了M倍，并旋转了一个α角。这样在z点附近很小的图形变换到ζ平面内具有与原来相同的形状，在z平面两条相交的曲线间的夹角变换到ζ平面内保持不变，称这种变换为保角变换。3、变换前后井半径的关系复平面z上有一口半径为Rw的井，通过变换到ζ平面上将有一口半径为ρ

w的井与之对应。xzyRwldnζρ

wξηλ

dv由（2）式知：或（3）4、井产量变换前后不变（4）由（2）式：（5）代入（4）有：（6）表示对应井产量相等。二、例设z平面上的单向流动复势为：则作变换：则即三、保角变换的应用1、直线供给边沿附近一口井xyzaPw，Rwxxρ

ePw作变换（1）令z=ia，得ζ=0令z=x，由（1）式有：即说明z平面上的x轴变为ζ平面上半径为ρ

e的圆周。（3）即在ζ平面为圆形地层中心井问题，产量公式为：把（3）代入：（4）保角变换的求解方法：寻找一个适当的变换，将复杂的物平面变为较易求解的像平面，求出像平面的产量公式后，再利用变换式把参数代回物平面，从而得到实际问题的解。2、圆形地层一口偏心井xyZ0，

Rwdφw

Re

ξζpwη作变换：（5）为Z0的共轭复数则Z平面Z0点变到ζ平面ζ=0点在Z平面圆周上任取一点Z’，代入（5）式：即Z平面半径为Re圆周上的点对应ζ平面为单位圆周上的点。又因则（7）为偏心井产量公式。第十节等值渗流阻力法利用水电相似原理，以电路图来描述渗流场，然后按电路定律来求解复杂的多井排渗流问题的方法，叫等值渗流阻力法。一、水电相似原理2apw+qxpe直线供给边沿附近一排生产井，单井产量公式为L井排产量为：（1）式中相当于液流渗过Bh断面面积，流经L距离的阻力相当于从各井周围一个假想的供给边沿（供给半径为a/π）流经各井的渗流阻力的并联，用渗流内外阻表示为：

（2）（3）则（1）为：（4）（5）在电学中，两电阻串联时的电流为（4）、（5）具有物理相似，称水电相似。上述问题的实际渗流场与假想渗流场及等值渗流阻力图为QRinRoutPepW在圆形供给边沿内半径为R的圆上有一环形井排，井相距2a，单井产量公式为：环形井排产量：（6）又2πR=n2a，即R/n=a/π，则（6）式可写为：（7）渗流内外阻为：二、等值渗流阻力法在多井排上的应用L1L2L3PE2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3B1、一个三面封闭一边液源供给的油藏内3排井用等值渗流阻力法求解：1）绘等值电路图Rin1pepw1pw2pw3Rin·Rin3Rout1Rout1Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q22）计算内外阻由电路定律列方程有2、圆形地层环形井排R1RinPin，ninpw1pw2pw3Rin·Rin3Rout1Rout1Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2pinRin1）等值电路图2）内外阻3）列电路图由上式可求产量和压力第四章：弹性微可压缩液体的不稳定渗流1.弹性不稳定渗流的物理过程2.无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解3.弹性不稳定渗流的迭加与映射4.圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解5.带时间常数变量边界条件的不稳定渗流—杜哈美原理6.不稳定试井4-1弹性不稳定渗流的物理过程当地层压力逐渐下降时，原来处于压缩状态的可压缩流体就要发生膨胀，迫使部分流体从地层流入井底。当压力下降后,岩石颗粒膨胀，岩石孔隙体积减小，又从地层排出部分液体。在油田开发初期，地层压力高于饱和压力，主要依靠岩石与原油的弹性能量开采，称这种方式为“弹性驱动方式”。弹性驱动时，因地层内压力随时间而变，因此为不稳定渗流方式。压力降从井底开始逐渐向外传播。第四章弹性不稳定渗流理论一.水压弹性驱动条件：储集层外有广大的含水区，能充分地向地层补给弹性能量，认为补给边缘上的压力保持不变。1.油井以定产量生产时，地层压力的传播PeBQ第四章弹性不稳定渗流理论(2)压力波传播第二阶段(压力波传到边界之后）特点a.压力下降速度减慢，最后趋于稳定b.压力稳定前，井产量一部分来自压降区域的弹性膨胀，另部分来自边水。c.稳定后，井底流量与边水浸入量相等。(1)压力波传播第一阶段特点a.压力不断下降，压降区域不断扩大b.井产量来自压降区域内的弹性膨胀第四章弹性不稳定渗流理论PeBQ2.井底压力保持不变仍可分压力波传播的第一阶段和第二阶段第四章弹性不稳定渗流理论二.封闭弹性驱条件：储层外边无能量补充，为一不渗透的封闭边界。1.井以定产量生产时的压力波传播BQ第四章弹性不稳定渗流理论t<tB

时为压力波传播的第一阶段t>tB

时为压力波传播的第二阶段在第二阶段，由于无外来流体能量补给，油藏压力将继续下降，下降到一定时间各点的压降速度趋于一致，称“拟稳定状态”。拟稳定状态：封闭油藏弹性渗流过程中，井以定产量生产时，压力波传到边界后经过一定时间，地层内各点的压降速度相等时的阶段，称“拟稳定状态”。第四章弹性不稳定渗流理论2.井底压力保持不变第一阶段与前相同，进入第二阶段后，压力不断下降，产量不断减小，直到产量为零。BQ第四章弹性不稳定渗流理论4-2无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解弹性不稳定渗流的数学模型为：式中æ=K/μc称导压系数。当K为μm2,μ为mPa.s,c为1/10-1MPa时，æ为cm2/s,表示单位时间内压降传播的面积。第四章弹性不稳定渗流理论取极坐标，则〈2〉式为：设有均匀、等厚、水平无限大地层中心一口井进行弹性不稳定渗流，则流动为平面二维流动，数学模型为：第四章弹性不稳定渗流理论井以恒定产量Q生产时，有相应的初始边界条件为：t=0,p=po

(0≤r≤∞)下面用Boitzmann变换求解上数学模型，设μ对r和t分别求偏导：第四章弹性不稳定渗流理论<3>式改写为：<8>式对中间变量u进行微分：将<6>.<7>式代入：第四章弹性不稳定渗流理论化简为：或又设：则<12>式为：><=++u130'''

uPdudPP第四章弹性不稳定渗流理论分离变量:得式中C1为积分常数,则:C2为常数,即:第四章弹性不稳定渗流理论又有达西公式:则由<17><18>式:第四章弹性不稳定渗流理论t=0时,u=∞,P=Pot=t时,u=u,P=P(r,t)又对<20>式分离变量积分:第四章弹性不稳定渗流理论从而求得地层中任意点(距井r处),在任意t时刻的压力表达式:第四章弹性不稳定渗流理论当u增加(r增加或减小时)，-Ei(-u)减小，Pi-P(r,t)变小，而P(r,t)值增加，即距井越远处压降越小，压力值越大；时间t越大时，u越小，-Ei(-u)值大，则压降值大，压力P(r,t)变小。幂积分函数的变化趋势如图。u-Ei(r,t)第四章弹性不稳定渗流理论－Ei(-u)可查数学手册中幂积分函数表。又已知幂积分函数可展开为：如研究的是注水井，注入量取-Q,地层中任意点压力增值为：第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论对于井底r=Rw,则一般满足近似条件，井底压力随时间的变化规律为：第四章弹性不稳定渗流理论例：在一较大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量为100m3/D投入生产，Rw=10cm,μo=2mPa·S,h=10m,K=0.5μm2,æ=10000cm2/s,预测井底压降情况。解：t=0.1天时，可用近似公式计算，则第四章弹性不稳定渗流理论T(天)00.250.5123455.255.5067ΔPw

(10-1MPa)05.675.936.186.446.596.696.776.796.816.846.90计算得：第四章弹性不稳定渗流理论公式<23><25>是井以恒定条件下推导的,对于产量呈阶梯状变化的情况,应对产量进行迭加.如图,产量共有n个变化过程,可把流量变化过程看作是n个流动过程的迭加:第一流动过程t1时刻,其流量为Q1-Q0=Q1,第二流动过程始于t2时刻，其流量为Q2-Q1；第n个流动过程始于tn时刻,其流量为Qn-Qn-1，各流动分别在t时刻产生一压降ΔPj。Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3tntt第四章弹性不稳定渗流理论则t时刻总压降为各压降之和，即第四章弹性不稳定渗流理论或对应近似公式有第四章弹性不稳定渗流理论例：无限大地层中有一口生产井，其产量变化如图所示，推导t时刻井底压力表达式Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3t4tt第四章弹性不稳定渗流理论解：求井底压力变化，用近似公式(why?)第四章弹性不稳定渗流理论则井底压力表达式为：第四章弹性不稳定渗流理论

4-3弹性不稳定渗流的迭加与映射迭加原理可以处理多井生产时，渗流场中压力的变化；镜像反映法可以处理边界对渗流场影响。一、迭加原理弹性渗流时，在生产井周围压力不断降低，在注水井周围压力不断增加，在整个渗流场中形成一总的合成流动。研究表明，多井工作时形成的总压降等于各井单独工作时在该点该时刻形成的总压降之和，即压降的迭加原理。（2004年研究生考题）注意是压降的叠加，而不是压力的叠加。第四章弹性不稳定渗流理论设油田有n口井，气流量分别为Q1,Q2,Q3,…..Qn,则该井的压降计算公式为：式中：Qj——第j口井单井产量；

ΔPj——第j口井在r处t时刻产生的压降；

rj

——任意点到j井的距离；

tj

——第j口井开始生产的时间；

t——任意生产时刻。第四章弹性不稳定渗流理论由迭加原理，n口井产生的总压降为：例:

某油田一探井以20t/d投产，生产15天后距该井1000m处，有一新井以40t/d投入生产。求第一口井生产30天后井底压力降为多少？已知K=0.25μm2,Rw=10cm,μo=9mPa·s,h=12m,ρ

o=0.85,c=1.8×10-5/10-1MPa,Bo=1.12。第四章弹性不稳定渗流理论解：则第一口井可用近似公式计算压降ΔP1则第二口井不能用近似公式计算压降ΔP2第四章弹性不稳定渗流理论由迭加原理：第四章弹性不稳定渗流理论33，34，35，39，40作业第四章弹性不稳定渗流理论二、镜像反映理论当源、汇靠近供给边界、不渗透边界时，应该按镜像反映法取消边界。与稳定渗流中的镜像反映法一样，供给边缘附近的井作异号反映，不渗透边界的井作同号反映，同时应注意边界一起反应。第四章弹性不稳定渗流理论4-4圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解圆形封闭地层中心一口井拟稳态时精确解比较复杂，可利用拟稳态时的特性进行近似求解。拟稳态：在封闭油藏弹性渗流过程中，当压力降传到边界一段时间后，油层内各点压降速度相等时的状态。设弹性渗流仍服从线性渗流定律，则：第四章弹性不稳定渗流理论式中：C——综合压缩系数

Vf=π（Re2-Rw2

）h<2>式对时间求导：第四章弹性不稳定渗流理论因在拟稳态下，各点压降速度相等，则：由<4>式：第四章弹性不稳定渗流理论

则圆形封闭地层中心一口井拟稳态情况下满足以下数学模型：P(Rw,t)=Pw(t)<7>第四章弹性不稳定渗流理论则<9>式为：分离变量为：第四章弹性不稳定渗流理论代入边界条件<7>:<11>—<12>：第四章弹性不稳定渗流理论若边界条件压力Pe(t)已知，可得P(r,t)的另一表达式，此时定解问题为：P(Re,t)=Pe(t)<15>同样有：把<15>式代入：第四章弹性不稳定渗流理论<17>—<18>：当r=Rw时，且考虑Re2>>Rw2，则井底压力表达式：第四章弹性不稳定渗流理论拟稳态时，圆形封闭地层平均压力计算：由面积加权平均法，有平均地层压力为：(1)当Pw(t)已知时，把(13)代入得：第四章弹性不稳定渗流理论(2)当Pe(t)已知时，把(20)代入得：由以上公式，可进行弹性渗流法的动态预测。当产量恒定时，给定时间t，得相应总排量：V=Qt第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论忽略Rw2项，整理有：作业：41第四章弹性不稳定渗流理论4-5带时间变量边界条件的不稳定渗流

——杜哈美原理在实际的渗流问题中，会有大量的带时间变量的边界条件的不稳定渗流，如求解变产量总汇的不稳定渗流问题。杜哈美（Duhamel）原理则是解决这类问题的有效工具。一、杜哈美原理和迭加原理二、变产量不稳定渗流的汇源解第四章弹性不稳定渗流理论4-6不稳定试井不稳定试井：利用油井以某一产量进行生产或生产一定时间后关井时所实测的井底压力随时间变化的资料，用以反求地层参数的方法。不稳定试井可求解如下问题：1.确定井底附近或两井之间的地层导压系数æ，流动系数Kh/μ等地层参数；2.推算地层压力；3.判断油井完善程度及估计油井增产效果；4.发现油层中可能存在的各种类型边界（断层、尖灭、油水界面等）；5.估计泄油面积内的原油储量。第四章弹性不稳定渗流理论目前常用的有两种方法：压力降落法和压力恢复法。一、开井压力降落试井法圆形封闭地层开井生产井底压力降落曲线可分为三个阶段：Ⅰ、不稳定早期，压力传到边界前的第一阶段；Ⅱ、不稳定晚期，压力传到边界后，拟稳定状态形成前的阶段；Ⅲ、拟稳定期。tPwf(t)ⅠⅡⅢ第四章弹性不稳定渗流理论1.不稳定早期压降分析及应用在不稳定早期，地层中任一点的压力变化用无限大地层典型解表示：井底压力随时间的变化式为：第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论因此以Pwf(t)为横坐标，以Lgt为纵坐标，在半对数坐标中Pwf(t)—t呈直线关系，其截距为A,斜率为m。Pwf(t)αLgt由<4><5>式可求得地层参数，其中流动系数为：第四章弹性不稳定渗流理论2、拟稳定期压降曲线分析及应用由圆形封闭地层弹性渗流数学模型，用拉普拉斯变换，可得井底压力为：当t→∞

时，e的负指数趋于零，有：第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论因此以Pwf(t)为纵坐标，以t为横坐标，在直角坐标系中Pwf(t)—t呈直线，截距为D，斜率为m，利用m可求出地层储量。Pwf(t)αt一般用压降曲线早期段求流动系数Kh/μ,用拟稳定流动段求地层储量。第四章弹性不稳定渗流理论二、关井压力恢复试井法1、压力恢复试井的基本公式——赫诺（Horner）公式设某井以产量Q生产T时间后关井，则关井效应可看成原井继续以产量Q生产，从关井时刻又有-Q的流量从该井点注入，如图：+QTt+QtPwf(t)-QPo第四章弹性不稳定渗流理论

则关井后t时刻井底压降为：

<1>式即为Horner公式，表明在半对数坐标中Pwf与Lgt/(T+t)呈直线。直线斜率为m=0.183Qμ/Kh,由此可求流动系数Kh/μ。第四章弹性不稳定渗流理论当t→∞，t/(T+t)→1,由<1>式Pwf(t)→

∞,即可用压力恢复曲线的外推法求原始地层压力。αPwf(t)第四章弹性不稳定渗流理论2、压力恢复试井的简化公式——MDH公式实际生产过程中油井的工作制度是在经常变化的，关井前的生产时间T很难确定，因此对Horner公式进行简化。油井关井前稳定生产时间越长，油井继续以Q生产所引起的压降就越小。因此，在关井时间不太长的条件下，可以近似的以关井瞬时起由虚拟注入井引起的压力升值，代替井底压力的恢复值。第四章弹性不稳定渗流理论TttPwf(t)Po生产井压力降注入井压力升第四章弹性不稳定渗流理论上式即为MDH公式，上式表明在半对数坐标中，Pwf(t)与Lgt呈直线关系，其截距为A,斜率为m。从截距A可求油井的折算半径Rwr：第四章弹性不稳定渗流理论本章要点一、基本概念弹性驱动；压力波传播的第一、二阶段；拟稳态；导压系数æ；不稳定试井。二、内容1、弹性不稳定渗流的物理过程。2、弹性不稳定渗流的无限大地层典型解第四章弹性不稳定渗流理论模型第四章弹性不稳定渗流理论解3、圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解P(Rw,t)=Pw(t)模型第四章弹性不稳定渗流理论P(Re,t)=Pe(t)模型2解第四章弹性不稳定渗流理论第四章弹性不稳定渗流理论习题33：解综合压缩系数：原始储量：弹性储量：34题：35题：39题：TtQ1Q2第四章弹性不稳定渗流理论QQttt2t1Q弹性驱动油藏中，某井以Q产量生产t1时间后关井，至t2时刻有开井以Q生产，试推导再生产t时间的井底压力表达式。例：第四章弹性不稳定渗流理论解：由压力迭加原理QQttt2t1Q所以井底压力表达式：第四章弹性不稳定渗流理论第六章两相渗流理论基础前面所讲的无论是刚性液体渗流还是弹性液体渗流都是以均质流体作为前提，没有考虑油和水在粘度上和密度上的差别以及毛管力的影响，也未考虑油中气体的分离。而实际渗流中由于油水性质差异，毛管力的影响，形成油水共渗或伴有气体的渗流。6.1两相渗流数学模型的建立6.2活塞式水驱油6.3非活塞式水驱油本章内容包括：6.4油气两相渗流理论6.1两相渗流数学模型的建立一、油水两相渗流数学模型的建立1.考虑毛管力的油水两相单向渗流的数学模型<1>运动方程<2>连续性方程<3>毛管力方程式中R1,R2为毛细弯液面主半径，

为两相界面上的界面张力。由<3><4>式：<6>式表示总液量与坐标x没关。<1><2>式代入<6>式：※

上式即为考虑毛管力的油水两相渗流的数学模型2.不考虑毛管力的油水两相单项渗流的数学模型<1>运动方程<2>连续性方程把（1）、（2）代入（3）、（4）：或写成：（6）（5）（3）饱和度方程：油水两相为稳定渗流时：3.考虑重力作用的油水两相渗流只考虑重力作用的一维油水两相渗流的运动方程可写为：（1）（2）xzA（x）g考虑不可压缩流体，对一维流动，油水两相渗流的连续性方程为：由（3）、（4）：即：（5）（1）、（2）代入（5）：则（6）式中将（6）代入（1）式：（7）3.考虑重力作用的油水两相渗流二、油气两相渗流的基本微分方程1.连续性方程2.运动方程3.状态方程4.基本微分方程方程6-2活塞式水驱油活塞式水驱油：假设水驱油过程中，油水间有明显的分界面，且分界面垂直于液流方向向井排移动，并把油全部驱走，就像活塞一样向井排移动，称活塞式水驱油。一、考虑油水粘度差异的单相渗流如图为均质等厚油藏，且认为液体不可压缩且不考虑液体密度差。设供液压力为Pe，排液道压力为Pw在水驱油过程中保持不变，则活塞式水驱油时，各部分阻力为：BPeLeLfLoPw单向活塞式水驱油由于总渗流阻力随L而变，当μo>μw时，总渗流阻力越来越小，产量Q越来越大。活塞式水驱油前缘质点移动速度为dLo/dt,与渗流速度关系为：分离变量积分得含有边缘移动到任一点处的时间为：前缘到达井排，即油井全部水淹时间为：二、考虑油水粘度差别的平面径向流如图有均质等厚圆形地层中心一口井，供给压力为Pe，井底压力为Pw进行活塞式水驱油，则：PwroPeRoRe同样渗流阻力不断减小，产量Q不断增加。6-3非活塞式水驱油非活塞式水驱油：在实际生产中，水渗入到含油区之后，不能将全部原油置换出来，而是出现一个油和水同时混合流动的油水混合区，这种驱动方式叫非活塞式水驱油。非活塞式水驱油时存在三个区：水区、油水混合区、纯油区。油水混合区不断扩大，直到生产井排。井排线供给边缘水油+水油xoxf非活塞式水驱油单向流模型井排线供给边缘水油+水油xoxf非活塞式水驱油单向流模型Sw——含水饱和度So——含油饱和度Swc——束缚水饱和度Sor——残余油饱和度

z——可流动的含油饱和度

z=So-Sorx水区两相区油区SoSwSwfSofxoxf饱和度分布曲线zsorswc大量实验资料表明，在油水两相区中，含水饱和度和含油饱和度是随时间变化的。当原始油水界面垂直于流线，含油区束缚水饱和度为常数时，两相区中含水饱和度和含油饱和度分布如图：Sw图中两相区的前缘上含水饱和度突然下降，称为“跌变”。水不断渗入，两相区不断扩大，两相区内油被进一步洗出，则饱和度发生变化。如图：从图中可看出，油水前缘上饱和度Swf基本上保持不变，这已被实验资料证明。xS~t曲线t3t2t1t3>t2>

t1SwSwf油水前缘饱和度的大小取决于岩层的微观结构和地下油水粘度比值（μr=μo/μw

）。对同一油层，μr越大，油水前缘含水饱和度越小。在进入油区的累计水量一定的条件下，油水粘度比越大，两相区范围越大，岩层中井排见水越早，无水采油时间短，无水采油量小。xS~t曲线μr3μr2μr1μr3>μr2>

μr1Sw水影响水驱油非活塞性的因素:1.毛管力的影响水驱油时，如岩石亲油，则由于界面张力而产生的毛管力为阻力，且大小与毛管半径成反比，则在非均质地层中水先进入大孔道，而小孔道中仍有油，形成油水共存区；如岩石亲水，水先渗入小孔道，大孔道中留有油。水油油水亲油，毛管力为阻力水油油水亲水，毛管力为动力当水主要依靠外来压差渗入油层时，则毛管力的影响就变得很小。2.重率差的影响油水粘度差一般是很大的。在外来压差作用下，大孔道断面大，阻力小，水先进入大孔道，而水的粘度远比油小，使大孔道中的阻力越来越小，大孔道中的水窜就会越来越大，形成严重的指进现象。因此，油水粘度差是影响水驱油非活塞性的主要因素。考虑了毛管力及重力的影响，则饱和度分布为：由于油水重度差，会形成上油下水的油水两相共存区，但只在油水重率差别较大且油层很厚的情况下才明显，一般情况作用很小。3、粘度差的影响原始含水饱和度残余油重力影响毛管力影响水驱油前缘xSw在混合渗流区油水两相分别遵循达西定律，只不过渗透率为相渗透率。而相渗透率是饱和度的函数，因此，油水两相渗流的关键就是研究两相驱中饱和度的分布及变化规律。一、油水两相渗流理论——贝克莱—列维尔特驱油理论（BuckleyI.andLeverettM.C.MechanismofFluidDisplacementinsands.Trans,AIME,Vol.146,1942）1.含水率和含油率方程（分流量方程）设油水两相渗流区中，油水两相同时流动，且分别服从达西直线渗流定律，若不考虑重力和毛管力，则：通过截面的油水量为：其中水占总液量的分数称为含水率fw:同样，含油率fo:含水率与含油率之间的关系为：如地层是倾斜的，与水平夹角为θ，油相压力为Po，水相压力为Pw，则毛管力Pc为：Pc=Po-Pw如图。在考虑重力和毛惯力作用时，油水渗流速度分别为：θ油x则含水率表达式为：式中Δρ=ρw-ρo由<1>式知，对于某一已知油藏，油水粘度比为定值，fw的变化主要取决于两相渗透率比值的变化，如图：1KrofwKrwSwKro:油相相对渗透率Krw:水相相对渗透率Sw:含水饱和度fw:含水率2、等饱和度面移动方程在两相渗流区中任取一微小矩形六面体，其三边长分别为dx,dy,dz,单相渗流方向取x轴方向，如图：xdxdzdyyza’b’’a’’b’•M’’•M’•M微小六面体中心为M，水相渗流速度为：M’’为：在a’b’面的中心点M’处水相渗流速度为：在dt时间流入a’b’的水量：在dt时间流出a’’b’’的水量：在dt时间入流出的水量差：又t时刻六面体内水相体积：t+dt时刻六面体内水相体积：dt时间六面体内水相体积变化：由质量守恒定律，有(a)=(b),则：因fw=fw(Sw)，Sw=Sw(x,t)当研究等饱和度面的移动规律时，即饱和度为定值的平面上，dSw=0,即把（6）式代入得：（7）式为某一饱和度面推进的速度式，表明等饱和度平面的移动速度等于截面上的总液流速度乘以含水率对含水饱和度的导数。（7）式即为Backly—Leverett方程。在含水率与含水饱和度的关系曲线上，不同含水饱和度时的含水率的导数不同，因而各饱和度平面的推进速度也不同。对（7）式两边积分：式中：x—等饱和度平面t时刻到达的位置；

xo—原始油水界面位置某固定饱和度Sw情况下的fw’(Sw)可由图上求得。给定一饱和度，可由（8）式求得该饱和度在时间t推进的距离x。若已知油层中水的原时饱和度分布状况，可标出不同饱和度在t时刻的推进距离，从而给出不同时刻的饱和度分布曲线。如图：从图中看出，含水饱和度的分布出现了双值，这不符合实际，实际饱和度前缘处发生了不连续的“跃变”，跃变的位置可用物质平衡确定，跃变的位置就是水驱油前缘位置。水驱油前缘两边的阴影部分面积相等。1水的原始饱和度分布60天120天240天Sw(t1)Sw(t2)Sw(t3)x0Sw对平面径向渗流，亦可用类似的方法求解。此时饱和度面的移动方程为：式中A（r）=2πrh对<9>式积分：式中：R0—原始含油边缘半径

r—t时刻某饱和度面到达位置半径3.水驱油前缘含水饱和度Swf和水驱前缘位置xf的确定从两相区形成到t时刻渗入两相区（xf-x0）范围内的总水量使该范围内含水饱和度增加，由物质平衡原理有：对<8>式微分：式中：fw’’(Sw)为含水率对Sw的二阶微商。把上式带入<11>式，并变换相应积分限，得：上式中，当x=xo时，Sw=Swmax，fw(Swmax)=1，fw’(Swmax)=0x=x时，Sw=Swf

<12>式为一含水驱油前缘含水饱和度Swf的隐含数关系式，可由作图法求得。1Swfw1SwcSwfBd过Swc点作fw—Sw曲线的切线，切点所对应的含水饱和度即为水驱油前缘含水饱和度Swf，对应的含水率即为fw(Swf)。求出Swf后，再由fw’~Sw关系曲线上求出fw’(Swf)，然后由<8>式，即可求水驱油前缘位置xf。当水驱油前缘到达井排时，油井就见水。此时(xf-x0)值即为原始油水边缘与井排之间的距离(Le-Lo),则由<13>式可求见水时间T:无水采油量为：无水采收率为：当Q恒定生产，则Lo供给边缘LeLoL排液道油水前缘原始含油边缘Lfxoxxf4.两相渗流区中平均含水饱和度的确定得：代入<13>式：5.井排见水后，两相渗流区中含水饱和度变化规律1）变化规律水驱油前缘到达井排后，两相渗流区中含水饱和度的变化规律与前缘到达井排前的相似，因此在求解井排见水后两相区中含水饱和度变化规律时，可假定水区油前缘在到达井排处后继续向前移动，如图：0Swfwfw’fwxfxxo0Sw给定一时刻t，由<8>式可算出两相区中任一点x处的fw’(Sw)，然后由fw’(Sw)~Sw的关系曲线找出相应的含水饱和度Sw。这样就可得井排见水后任一时刻两相区中含水饱和度的分布曲线。2）井排饱和度的求法设井排见水后，井排排液道的含水饱和度为Sw2，则Sw2随时间的变化如下求得：由求得给定t的fw’(Sw2)，则可由图得对应的Sw2，从而得到Sw2~t关系曲线。3）平均含水饱和度的变化规律设有一个一维的水驱油模型，模型中含水饱和度分布如图所示：1Sw1Sw20x1x2xSw式中：x1，x2分别为岩心入口与出口端的位置。由<8>式知，任一饱和度在岩心中所走过的距离与fw’成正比，则上式可表示为：因：Sw1=Swmax,fw(Sw1)=1,fw’(Sw1)=0所以：又由<8>式：又fo(Sw2)=1-fw(Sw2)<18>将<17><18>式代入<16>式式中fo(Sw2)为岩心出口端的含油率。<19>式表明岩心见水后，岩心中平均含水饱和度与出口端含水饱和度的关系。二、两相渗流区的渗流阻力及产量变化规律在单向非活塞水驱油过程中，可分为三个区：水区、油水混合区、纯油区，如能求出两相区中的阻力表达式，则可写出该区的产量公式。供给边缘LeLoL排液道油水前缘原始含油边缘Lfxoxxf两相区的任一截面的油水总量：则dx长度的渗流阻力为：又x=Le-L，则dx=-dL，上式用dL表示为：则两相区中总渗流阻力为由含油率研究表明，可流动的含油饱和度z=1-Sw-Sor与fo在双对数坐标中成直线关系，且1<μr<10时，直线截距b=3，其直线方程可写为：tgα=bμr3μr2μr1lgfolgz由<20><21>式有：<22>式表示的μrωo~z关系如图：zμrωo图示曲线用多项式表示为:

<23>式中系数A、B、C可由在曲线上任取三点建立联立方程求解。又<8>式为且fw(Sw)=1-fo(Sw)，则fw’(Sw)=-fo’(Sw)有：且：上两式相除由<21>式：代入<24>式：把x化为l：则：从而求得z与l的关系。则，两相区总渗流阻力：b=3代入：则排液道产量公式为：

<27>式为瞬时产量表达式，因总渗流阻力不断变化，则产量也不断变化。径向情况可用类似方法求解。式中：补充习题作业29题：①②③计算两相区中某处含水饱和度为0.5时刻的含水率和含油率.

④⑤⑥⑦设油层厚度10m，宽420m，ф=0.25,Bo=1.5,Le-xo=1公里。当排液道以30m3/d生产时，求无水采油期和无水采收率.则dx长度的渗流阻力为：又x=Le-L，则dx=-dL，上式用dL表示为：则两相区中总渗流阻力为由含油率研究表明，可流动的含油饱和度z=1-Sw-Sor与fo在双对数坐标中成直线关系，且1<μr<10时，直线截距b=3，其直线方程可写为：tgα=bμr3μr2μr1LgfoLgz由<20><21>式有：<22>式表示的μrωo~z关系如图：zμrωo图示曲线用多项时表示为:

<23>式中系数A、B