常见的相似三角形模型参考答案

常见的相似三角形模型参考答案例题分析参考答案A字模型C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定证得，可得到，进而求解即可．【详解】∵∥，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴．∵，∴，又∵，∴．∴在中，．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．D【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴，，，所以A、B、C正确；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴，∴，所以D错误．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=ABAD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=ABAD=31=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．故选：A．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故选A.中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．8字模型如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为cm．【答案】【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到设求出FE，AH，AG，证明得到最后求值即可．【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA，，四边形为正方形，为BC的三等分点，为BC的三等分点，设为等腰直角三角形，为AE的中点，四边形ABCD为正方形，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记．正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．(1)当时，求的度数用含的式子表示；(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出：，最终得到对应角相等得出结果．如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论；证明是等边三角形，可得结论．【详解】（1）如图中，设交于点．四边形是正方形，，，，由翻折变换的性质可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如图中，连接，．四边形是正方形，，，，，，，，同法可证，，，，，，，，；（3）如图中，当时，，，，，，，．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值．(3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)或2(3)为定值，【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入解析式求解即可；（2）构造相似三角形和，利用直线的解析式求出点坐标以及点关于的代数式，利用相似三角形的性质列方程求解即可；（3）通过辅助线构造直角三角形并用含有的代数式表示出和，再分别用两个三角函数表示，代入中，最后化简即可．【详解】（1）抛物线与轴交于，两点∴，解得：∴抛物线的表达式为：．（2）如图1，过点作轴，交的延长线于点，过点作轴交于点．则，∴令，则，∴∵直线过点和设直线：∴直线的解析式为：．∵，轴∴当时，，∴设，则∴∵∴，解得，．∴当或2时，．（3）为定值，理由如下：如图2，过点作轴交轴于点．∵，，对称轴是∴设则，，在中，，∴，在中，，∴∴【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键．A字型及8字型结合如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【详解】（1）∵是等边三角形∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点∵∴∴∵，∴∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴∴．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．【答案】；．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CDDH=2AEAE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1）等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，旋转相似【分析】利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴．故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．C【分析】连接BD，BF，先证明，进而即可求解．【详解】解：连接BD，BF，∵在正方形和正方形中，∴，，∠ABD=∠GBF=45°，∴=，∠ABG=∠DBF，∴，∴=，故选C．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造旋转相似模型，是解题的关键．如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为．

【答案】【分析】过点作于点，利用勾股定理求得根据旋转的性质可证是等腰直角三角形，可得，再由，证明，可得即，再由，求得从而求得即可求解．【详解】过点D作DF⊥AB于点F，∵，，

∵将绕点A逆时针方向旋转得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案为∶．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（）A．3 B．2 C．5 D．【答案】D【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性质可得∠IAH=∠AID，可证IH=AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解．【详解】解：如图，连接AI，AC，∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1．

转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点E，F，连接，如图2．剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)线段之间的数量关系为______；(3)连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点G、点H．如图3，求的值．【答案】(1)（选取两个即可）．(2)．(3)【分析】（1）由正方形的性质可得都是等腰三角形．由折叠可得，，即可得到，证明，则．又由得到，则都是等腰三角形．（2）延长到T，使得，连接．证明，则．得到，证明，则．得到，即可得到结论．（3）由四边形是正方形得到，．证明，则．【详解】（1）如图1中，

图1∵四边形是正方形，∴，∴都是等腰三角形．由折叠可得：，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴都是等腰三角形．故答案为：（选取两个即可）．（2）结论：．理由：如图2中，延长到T，使得，连接．

∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．故答案为：．（3）如图3中，

∵四边形是正方形，∴，．∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，是解题的关键．（1）特殊发现：如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：①______；②直线与直线所夹的锐角等于______度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；（3）拓展延伸如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

【答案】（1）①；②；（2）①成立，见解析；②；（3）是定值，3，见解析【分析】（1）①连接，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；②利用等腰直角三角形的性质解答即可；（2）①连接，，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②连接，，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；（3）过点作于点，连接，，，与交于点，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）①连接，，如图，∵四边形和四边形为正方形，∴，∴B，F，D三点在一条直线上．∵，，∴和为等腰直角三角形，∴，，∴，∴；故答案为：；②∵B，F，D三点在一条直线上，，∴直线与直线所夹的锐角等于45°．故答案为：；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接、，如图，∵四边形和四边形为正方形，∴，，∴和为等腰直角三角形，，，，∴，，∴，∴；延长，交于点，交于点，

∵，∴，∵，∴，∴，即直线与直线所夹的锐角等于，∴（1）中的结论仍然成立；②连接，，如图，

∵四边形为正方形，∴．由①知：，∴．∵边的中点为O，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：；（3）的值是定值，定值为3，理由：过点作于点，连接，，，与交于点，如图，∵四边形为正方形，∴，由折叠的性质可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，

∴，，，∴．由（2）①的结论可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．即：的值是定值，定值为3．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

一线三等角模型1或4【分析】根据题意可证，得出比例关系式，进而求出AP的长．【详解】∵在梯形中，，∴．又∵，，∴，∴．∴．设，则，∴，解得或4.∴或4．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是解题的关键．C【分析】先证明，从而得，进而即可求解．【详解】解：∵，∠B+∠BCO=∠AOC=∠DOC+∠AOD，∴∠BCO=∠AOD，又∵，∴，∴，即：∵O为边的中点，∴AO2=8×9=72，∴AO=6（负值舍去），∴AB=12．故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是解题的关键．B【详解】试题分析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．D【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF=90°，得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG=2，BF=3，根据相似三角形的对应边成比例，由此即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∵∠GEF=90°，∴∠AEG+∠BEF=90°，∴∠AGE=∠BEF，∴△AGE∽△BEF，∵E为AB的中点，∴AE=BE，∵解得：，故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．C【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵=tan30°=，∴，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．5【分析】作轴于，轴于，易证得，根据系数三角形的性质即可求得的值，然后根据反比例函数系数的几何意义即可求得的面积．【详解】解：作轴于，轴于，四边形是菱形．，，，，，，，，，点在双曲线，，，，，，点在双曲线上，，，平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，，故答案为5．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定和性质、菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形求出反比例函数的解析式是解题的关键．（1）见解析；（2）正方形的边长为.【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA证得△ABE≌△BCF即可得出结论；（2）证出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，∵∠BEG＝∠AEB，∴△BGE∽△ABE，∴＝，即：BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，∴（）2＝x•（2+x），解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意舍去），∴AE＝3，∴AB＝＝＝．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等与相似是解题的关键．4【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：又设，则．，化简得，整理得，所以当时，y有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=ABPB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

升级演练参考答案如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，，是等边三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，∴的最大值为，的最小值为，∴的最大值与最小值之积为．故答案为A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，求的长．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答；（2）如图：连接BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而根据等角对等边即可证明结论；（3）设，则，再证明可得,，再证可得，即，解得，进而得到，然后再利用相似三角形的性质得到关于的方程求得，然后根据等角对等边即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∵点E是的内心，∴，∴．答：∠CBD的度数为．（2）证明：如图，连接BE，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（3）解：设，则，∵，∴，∴,，∵，∴，∴，即，解得∴，∵，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴．答：的长为．【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是相似三角形判定与性质的应用．（1）；（2）（3）有变化，【分析】（1）连接，由菱形的顶点、在菱形的边上，且，易得，，共线，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；（2）连接，，由和都是等腰三角形，易证与与，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；（3）连接，，易证和，利用相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）连接，∵菱形的顶点、在菱形的边上，且，，，，，，共线，，，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，，，，∵，，∵为平行四边形，，．（2）如图，连接，，∵和都是等腰三角形，，，，，，∵，，在和中，，．（3）有变化．如图，连接，，∵，，，，，，，，，，，，，【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如图②中，结论：．理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如图③中，结论：，理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．（1）；（2）依然成立，证明见解析；（3）．【分析】（1）分别求出AD，BE的长，即可求解；（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得结论；（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴AD=BE，故答案为：AD=BE，AD⊥BE；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，∴，，∴，∵△CDE绕点C顺时针旋转，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，∠CBO=∠CAD，∴AD=BE，∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CAD+∠AOP=90°，∴∠APO=90°，∴BE⊥AD；（3）∵∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，∵BE是⊙C切线，∴CE⊥BE，∵sin∠EBC=，∴∠EBC=30°，∴∠GBP=30°，∵GB=GP，∴∠GBP=∠GPB=30°，∴∠BGP=120°，∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，∴P点运动轨迹的长度=，∵∠ABP=30°，BP⊥AP，∴AP=AB=1，BP=AP=，∵∠CBP=30°，PH⊥BH，∴PH=BP=．∴P点到直线BC距离的最大值．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．

温故知新参考答案如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．C【分析】先求，再根据相似三角形性质求解.【详解】∵在▱ABCD中，E为BC中点，∴AD＝BC，，2BE＝BC＝AD，∴，∴，即，.故选C．【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.4【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求解即可；（2）证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求出AD，再利用勾股定理求解即可；（3）先利用勾股定理求得AD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求解即可；【详解】解：（1）∵在中，，是边上的高．∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=4，故答案为：4；（2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，故答案为：；（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，由勾股定理得：AD=，由（1）中△ADC∽△ACB，∴，即，解得：BC=，经检验，BC=，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．16．B【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设AN=x，则EF=FG=DN=60x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质推出y与x的函数关系式，然后利用函数的性质以及图象确定出△ABC的边长，从而求解面积即可．【详解】解：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，设AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y，∴，即．∵，，对称轴为直线，∴当时，y取得最大值，此时，由图象可知，∴a＝6，∴等边三角形ABC的面积为．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，熟练根据相似三角形的判定与性质推出二次函数解析式，利用二次函数的性质分析是解题关键．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．【详解】如图，过点作于，在等边中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确．【详解】解：∵，∴，∴不能说明，故①错误．∵，∴，又∵∴，故②正确．如图连接BD，由题意可知，∵G和F分别为CD和BC的中点，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正确．∵，∴，即，故④正确．综上正确的有②③④共3个．故选B．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为．【答案】【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为．【答案】/【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可．【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，，，四边形是正方形，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠得到△FCE，CF与BD交于点P，则DP的长为．【答案】【分析】由勾股定理可求出BD、EC的长，连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质求出BG的长，再根据面积等式列方程求出FH的长，再根据相似三角形的性质求出BQ与CQ的比，进而求出DP的长．【详解】解：如图，连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵BC=3，∴；∵AE=BE=AB=×2=1，∴；由折叠得，CE垂直平分BF，∴∠BGC=∠EBC=90°，∵∠GCB=∠BCE，∴△BGC∽△EBC，∴，∴，∴，；由BC•FH=BF•CG得，×3FH=××，解得，FH=；∵∠CHF=90°，FC=BC=3，∴；∵PQ∥FH，∴△CPQ∽△CFH，∴，∴，∴CQ=PQ，∵∠BQP=∠BCD=90°，∴PQ∥DC，∴△BPQ∽△BDC，∴，∴，∴BQ=PQ，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：（1）当为___________时，？（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即82t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQBS△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴82t=t，∴t=，∴当t=时，PQ∥AB；故答案为：；（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2AD2=10064=36，即BD=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴，即，∴，∵PE∥BD，∴，即，∴，∴y=S四边形APQBS△BEQ=；（3）如图：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴，即，∴，∵点E在线段PQ的垂直平分线上，∴EQ=，由（2）得，∴，∴，Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴，即t2+2t4=0，解得：（舍去），∴当t=时，点E在PQ的垂直平分线上；（4）连接FF'交AB于点N，∵点F关于AB的对称点为F′，∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴，∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴，∴，解得：t=，∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

（1）当时，如图，延长，交于点，①的长为________；②求证：．（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；（3）当时，求的正弦值．【答案】（1）①12；②见解析；（2），；（3）或．【分析】（1）①根据△ABE∽△FCE，可得，即＝1，进而得到CF的长；②根据四边形ABCD为正方形，可得∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，进而得到AM＝FM．（2）根据∠CA