第1课时函数的有关概念课件苏科版八年级数学上册

第6章

一次函数6.1第1课时

函数的有关概念活动一1.已知徐州到南京高铁票是225元/张（1）买2张票，需________元

买3张票，需________元

买8张票，需________元（2）在这变化的过程中，

没有变化的量是___________.

变化的量是_______________.车票的价格人数，车票的总费用列车从徐州驶往南京，在16：17到16：22这个时段列车行驶过程中，哪些量没有变化?哪些量不断变化?①在这个时段里，电子显示屏上的“200km/h”没变过。③徐州、南京两地间的路程不变。②列车行驶的时间在不断变化。④列车离徐州越来越远，离南京越来越近。列车行驶的速度徐州到南京的路程不变的量变化的量常量变量列车行驶的时间列车距起点和终点的路程变化（一）车票的价格

人数，车票的总费用变化（二）

概念：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。数字符号也是一种常量，如π。活动小结注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化。你能举出生活中变量的实例吗？星期六，我去超市买了两袋鸡蛋.2023.12.032023.12.184.801054g时间2023.12.032023.12.184.80982g时间常量:变量：单价净含量，售价2023.12.102023.12.255.201054g时间上一个星期六，我去超市买了一袋鸡蛋.2023.12.032023.12.184.801054g时间这个星期六，我又去超市买了一袋鸡蛋.常量:变量：净含量单价，售价②常量和变量是相对于变化过程而言的，可以互相转化。例：在行程问题中，路程S、时间t和速度v之间的关系是S=vt。

在另一些比赛中，时间t是固定的，在同样的时间里，看谁行驶的路程S最大，那么这时候S=vt，其中t是常量，S和v是变量。在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量．

在下面的三种情况中，试说出常量和变量:(1)面积S一定；(2)底边长a一定；(3)高h一定.

1.一斤苹果1.2元，买x斤这样的苹果y元，其中常量是____，变量是________.2.小明为班级购买的某种钢笔单价6元/支，买m支钢笔，支付了n元钱，其中常量是___，变量是__________.3.长方形的长为a，宽为5，它的面积S，其中常量是___，变量是_______.5a、S1.2x、y6m、n4.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是(

)A.常量，常量 B.变量，变量

C.常量，变量 D.变量，常量C5.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(

)A.2是变量 B.π是变量

C.r是变量 D.C是常量C问题1

已知某水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：水位/m106120133135…蓄水/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…在这一变化过程中的变量是蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减少，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变．水库水位和水库蓄水量．这两个变量之间的关系是问题2

如图，搭一条小鱼需要8根火柴，每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的常量和变量．在这一变化过程中的变量是这两个变量之间的关系是：

总共需要的火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数s也保持一定．

总共需要的火柴数和所搭小鱼的条数．S＝8＋6(n－1)问题3

一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆．在这一变化过程中的变量是这两个变量之间的关系是波纹圆的面积和半径．波纹圆的面积随着半径的变化而变化；随着半径的确定而确定．水位/m106120133135…蓄水/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…（1）都有两个变量．（2）当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；

当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定．上面的每个变化过程中有哪些共同之处？概念学习不能说y是函数①②③

一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(func-tion)，x是自变量，y是因变量.

例如，在上面的实际例子中，水库蓄水量是水位高低的函数，搭“小鱼”所需火柴棒的根数是所搭“小鱼”条数的函数，圆面积是圆半径的函数.概念理解：1.“水波问题”中S=πr2，圆的面积S随着半径r的变化而变化，所以

是自变量.___是

的函数。2.“水库存水问题”中，蓄水量Q随着水位h的变化而变化,所以

是自变量,____是

的函数。3.“搭小鱼问题”中，总共需要的火柴数S随所搭小鱼的条数n的变化而变化,所以

是自变量，

是

的函数。rhnnSrShQ02知识精讲注意：①两个变量x和y；②y随着x的变化而发生变化；③对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应；但当y的值唯一确定时，对应的x可以是多个，eg：若y=|x|，则x=y或x=-y；④我们习惯性用x和y表示函数，但是函数不一定用x和y表示，eg：S=8+6(n-1)。如图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位的生物电流，它们是两个变量，其中y是x的函数吗？yx是观察与思考新知巩固1.下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？xyOxyO(1)(2)新知巩固36812.6-69-9a

b是a的函数吗？为什么？b在这一过程中，有变量吗？是什么？当a取定一个确定的值时，对应b的取值是否唯一确定？b是a的函数b不是a的函数3.下列曲线中表示y是x的函数的是(

)CABCD例1.根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半，已知边长，可以得出常量是边长的一半，变量是高和面积．导引：已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝×12·h，即S＝6h.在这个式子中常量和变量分别是什么？解：例题讲解常量是6，变量是h和S.(1)当长方形的宽为0.1m时,长为多少?(2)当长方形的宽为0.2m时,长为多少?(3)这个长方形的长是宽的函数吗?为什么?解:(1)长为0.9m.例2.把一根2m长的铁丝围成一个长方形.(3)在这个变化过程中有两个变量:长和宽;长是随着宽的变化而变化的;且对于宽的每一个值,长都有唯一确定的值与之对应.所以这个长方形的长是宽的函数．(2)长为0.8m.时间t(时)810246121416182022240温度T(℃)2468-20例3.下图是气温自动记录仪记录的某地一天的气温变化曲线.在这一变化过程中，温度是时间的函数吗，为什么？解:温度是时间的函数.温度随着时间的变化而变化.对于时间的每一个值，温度都有唯一的值与它对应.1.下列描述：①在一定时间内，匀速运动所走的路程和速度；②三角形的面积一定，它的一边长和这条边上的高；③水管中水流的速度和水管的长度.其中，是函数关系的有

(填序号).①②2.“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量什么？解：该变化过程中有两个变量：

漏到另一容器中细沙的数量和经过的时间；其中自变量是：漏到另一容器中细沙的数量．3.按右图所示的运算程序,输入一个实数x,便可以输出一个相应的实数y，那么y是x的函数吗?为什么?解:y是x的函数.因为当变量x变化时,变量y总有唯一值与之对应.输入x+2×5-4输出y

①

③

不是

123456789101112函数常量数值始终不变的量为常量.变量数值发生变化的量为变量概念对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．x是自变量.课堂小结

一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。

⑤|y|=|x|，当x=1时，y=±1，不符合函数的定义。C2、下列各图中，y是x的函数的是（）A．B．C．

D．一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。D(2)声音在空气中传播的速度v（m/s）与温度t（℃）之间的关系式是v＝331＋0.6t，其中常量是————————，变量是—————.3.指出下列事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是——————变量是—————；5a，mv，t331，0.64.小明带10元钱去文具商店买日记本，已知每本日记本定价2元，则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中，______是变量，_______是常量．10，2方法归纳：区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.x，y5.写出下列各问题的关系式，并判断各个量之间是否具有函数关系.（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式；（2）用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的长a(m)与宽b(m)之间的关系式.解：（1），t是v的函数；（2），a是b的函数.6.下面表给出了近几次我国的人口普查数据，表中反映的两个量之间是否具有函数关系？年份人口数（亿）198410.34198911.06199411.76199912.52201113.40是归纳总结

判断y是x的函数，要抓住三个点：(1)在同一个变化过程中；(2)有两个变量；(3)本质上是一种对应关系，即给定一个x的值，能确定唯一一个y值.当堂练习1.若球体体积为V，半径为R，则V=其中变量是

、

，常量是

.VR2.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q升与行使时间t小时的关系是

.并指出其中的常量与变量.Q=40-5t3.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7°C,已知山脚下温度是23°C，则温度y与上升高度x之间关系式为______________.y=100-0.7x4.5.6.7.下列变量间的关系不是函数关系的是 (

)A.长方形的宽一定,其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.等腰三角形的底边长与面积 D.圆的周长与半径C8.小邢到单位附近的加油站加油，如图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是____________.金额和数量9.长方形的长a是一个固定不变的数，则它的面积S与宽b之间的关系为S=____，这个问题中的变量是_______，常量是____.

abS、ba10.有一个容量为150t的水池，现用抽水机从蓄满水的池中将水抽出，已知抽水机每小时可抽水30t，池中剩余水量随抽出水的时间变化而变化．(1)抽水1h后，池中剩余水量为______t.(2)在这一变化过程中，哪些是变量，哪些是常量？(3)多少时间能把满池水抽干？120解：(2)抽水时间、池中剩余水量是变量，水池容量、抽水机抽水速度是常量.(3)150÷30=5h11.为了解某种车的耗油量，我们对这种车加满油在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格：汽车行驶时间t/时0123…油箱剩余油量Q/升100948882…(1)上表反映的两个变量中，自变量是____，____是____的函数；(2)根据上表可知，该车油箱的容量为_____升，每小时耗油__升；(3)两个变量之间的关系式为_____________.(用含t的式子表示Q)tQ1006Q＝100－6tt1.(2022·珠海)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是 (

)A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量2.

下列曲线不能表示y是x的函数的为 (

)C12345678910C3.

一列火车从A地开往B地,火车每小时行驶90km.在这一过程中,变量有

和

,我们可以把

看成是

的函数,

叫做自变量.

4.

如图,每一个确定的时间都有一个确定的

,可以把变量_______看成是变量

的函数,

叫做自变量.时间路程路程时间时间温度温度时间时间12345678910

下落的时间t/s1234…下落的距离s/m

…4.919.644.178.4tst123456789106.

一个直角三角形的面积为60cm2,两条直角边的长分别为xcm、ycm.(1)当x=10时,y的值是多少?(2)当y=8时,x的值是多少?(3)y是x的函数吗?如果是,请写出表示它们之间关系的式子.

123456789107.

如图,长方形ABCD的长AB=10cm,宽AD=6cm.正方形PQRH的四个顶点分别在边AB、CD上,将正方形PQRH向右平移.在这个平移过程中,下列结论正确的是 (

)A.正方形的边长是变量B.BQ的长是常量C.长方形QBCR的面积随AP长度的变化而变化D.长方形QBCR与长方形APHD的面积之和随AP长度的变化而变化C第7题12345678910

8.小亮爸爸到加油站加油，如图所示为所用的加油机上的数据显示牌，

其上面的金额随着数量的变化而变化.下列判断正确的是（

D

）A.金额是自变量B.单价是自变量C.

7.76和31是常量D.金额是数量的函数（第1题）D1234567891011129.

（2024·梅州大埔期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热

水器里的水温随所晒阳光时间的长短而变化.其中的自变量是（

C

）A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒阳光的时间D.热水器C12345678910111210.分析并指出下列关系中的变量与常量：（1）球的表面积

S

（cm2）与球的半径

R

（cm）之间的关系为

S

＝4π

R2.解：（1）常量是4π，变量是

S

、

R

.

（2）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买橙子的质量

W

（千克）与

所付款

x

（元）之间的关系为

x

＝1.8

W

.

解：（2）常量是1.8，变量是

x

、

W

.

123456789101112

（4）以固定的速度

v0（m/s）向上抛一个小球，小球的高度

h

（m）与

小球运动的时间

t

（s）之间的关系为

h

＝

v0

t

－4.9

t2.解：（4）常量是

v0、－4.9，变量是

h

、

t

.123456789101112

11.

（2023·济南商河期末）某市的出租车收费标准如下：3千米以内

（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元.若某人乘

出租车行驶的距离为

x

（

x

＞3且

x

为整数）千米，则需付费用

y

（元）

与

x

（千米）之间的关系为（

B

）A.

y

＝8＋2

x

B.

y

＝2＋2

x

C.

y

＝2

x

－8D.

y

＝2

x

－3B12345678910111212.

（2024·介休期中）如图所示为一组有规律的图案，它们是由边长相

等的三角形组合而成，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三

角形，第3个图案中有10个三角形……按此规律摆下去.若第

n

个图案中

有

y

个三角形，则

y

与

n

之间的关系是（

C

）A.

y

＝2

n

＋1B.

y

＝2

n

－1C.

y

＝3

n

＋1D.

y

＝3

n

－1（第7题）C12345678910111213.如图所示为某加油站地下圆柱形储油罐示意图，已知储油罐的长度为

d

，截面的半径为

r

（

d

、

r

为常量），油面的高度为

h

，油面的宽度为

w

，油量为

v

（

h

、

w

、

v

为变量）.有下列四个结论：①

w

是

v

的函数；

②

v

是

w

的函数；③

h

是

w

的函数；④

w

是

h

的函数.其中，正确的

是

（填序号）.（第8题）①④

12345678910111214.

（2024·太原期中）把一些相同规格的杯子按如图所示的方式整齐地

叠放成一摞，6个杯子叠放的总高度为15cm，一个杯子的高度为10cm，

这种杯子叠放在一起的总高度

y

（cm）与杯子数量

x

（个）之间的关系

为

⁠.（第9题）y

＝

x

＋9

12345678910111215.有一根弹簧原长10cm，挂重物后（不超过50g），它的长度会改变，

请根据表格中的数据解答下列问题：质量/g1234…伸长量/cm0.511.52…总长度/cm10.51111.512…（1）要想使弹簧伸长5cm，应挂重物多少克？解：（1）5÷0.5×1＝10（g），∴要想使弹簧伸长5cm，应挂重物10g.123456789101112（2）当所挂重物的质量为

x

g时，用

h

（cm）表示总长度，此时

h

与

x

之间的关系为

⁠.（3）当弹簧的总长度为25cm时，求此时所挂重物的质量.解：（3）当

h

＝25时，25＝10＋0.5

x

，解得

x

＝30.∴当弹簧的总长度

为25cm时，此时所挂重物的质量为30g.h

＝10＋0.5

x

（0≤

x

≤50）

12345678910111216.

弹簧挂上物体后会伸长,测得一根弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:根据上述关系,回答下列问题:(1)弹簧不挂物体时的长度是

cm.

(2)当所挂物体的质量为1kg时,弹簧伸长

cm.

12x/kg01234y/cm1212.51313.5140.512345678910(3)给出下列各式:①y+x=12;②x=y-12;③y=12+0.5x;④x=12+0.5y.其中,表示弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间关系的式子为

(填序号).

(4)上式中,