2024-2025学年北京五中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京五中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|x≤3}，则A∩(∁RB)=A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(−∞,3] D.(3,+∞)2.命题p：∀x∈Z，|x|>0.则￢p是(

)A.∀x∈Z，|x|≤0 B.∀x∈Z，|x|≥0

C.∃x∈Z，|x|≤0 D.∃x∈Z，|x|≥03.已知a>b，c>d，则下面不等式一定成立的是(

)A.a+d>b+c B.a+d<b+c C.a−d>b−c D.a−d<b−c4.“x>1”是不等式(x+1)(x−1)>0成立的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，且f(−1)=0，则使f(x)>0的x的取值范围是(

)A.(−1,0) B.(0,1)

C.(−1,1) D.(−∞,−1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=(a−3)x+5,x≤12ax,x>1是(−∞,+∞)上的减函数，那么aA.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]7.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A−B−C−M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是(

)A.B.

C.D.8.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1DA.(a+b)2≥4ab

B.当a=b时，A1，B1，C1，D19.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12log3O100，其中A.8100 B.900 C.81 D.910.奇函数f(x)和偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f[g(x)]=0和g[f(x)]=0的实根个数分别a，b，则a+b=(

)A.3 B.7 C.10 D.14二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数y=11−x12.函数f(x)是定义在R上的函数，且f(1+x)=f(1−x)，若x∈[1,+∞)，f(x)=x2，f(0)=______．13.已知函数f(x)同时满足：①定义域是实数集R的一个子集；②是非奇非偶函数；③有最大值而无最小值.则满足条件的函数f(x)=______.(写出满足条件的一个函数即可)14.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致)，种植密度和单株产量统计如图：

根据上表所提供信息，第

号区域的总产量最大，该区域种植密度为

株/m2．15.对于函数f(x)=2x−12x+1，下列说法正确的是______.(写出所有正确命题的序号)

①函数f(x)为奇函数；

②函数f(x)的值域为(−23,23)；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

计算：

(Ⅰ)614+(338)13+317.(本小题15分)

已知关于x的不等式(ax−1)(x−2)>2的解集为A，且3∉A．

(I)求实数a的取值范围；

(II)求集合A．18.(本小题13分)

函数f(x)=4x+2x+a，g(x)=2x．

(Ⅰ)若f(x)过点(0,3)，求a的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若x∈[0,1]，求f(x)的最大值；

(Ⅲ)若19.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax2+bx，且f(1)=2，f(2)=52．

(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；

(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；

(Ⅲ)20.(本小题15分)

定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0，有f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)．

(1)当a=1，b=−2时，求函数f(x)的不动点；

(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且线段21.(本小题15分)

设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u−v||u,v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．

(1)当A={1,3,6}时，写出集合A的生成集B；

(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B={2,3,5,6,10,16}，并说明理由．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.D

7.A

8.C

9.C

10.C

11.{x|x<1}

12.4

13.−x2，x∈(−2,1)(答案不唯一14.5；3.6

15.①③④

16.解：(Ⅰ)614+(338)13+3125=254+(17.解：(I)∵3∉A，

∴当x=3时，有(ax−1)(x−2)≤2，

即3a−1≤2；

解得a≤1，

即a的取值范围是{a|a≤1}；…(3分)

(II)(ax−1)(x−2)>2，

∴(ax−1)(x−2)−2>0，

∴ax2−(2a+1)x>0，…(4分)

当a=0时，集合A={x|x<0}；…(5分)

当a<−12时，集合A={x|0<x<2+1a}；…(6分)

当a=−12时，原不等式的解集A为空集；…(7分)

当−12<a<0时，集合18.解：(Ⅰ)由题意得f(0)=40+20+a=3，解得a=1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=4x+2x+1，

令2x=t，因为x∈[0,1]，所以t∈[1,2]，

则y=t2+t+1，t∈[1,2]，

由二次函数的图象与性质可知y=t2+t+1在t∈[1,2]上单调递增，

故当t=2时，y=t2+t+1取得最大值，最大值为22+2+1=7，

即f(x)的最大值为7；

(Ⅲ19.解：(Ⅰ)函数f(x)=ax2+bx，且f(1)=a+b=2，①

f(2)=4a+b2=52，②

联立①②解得a=b=1，

故f(x)=x2+1x=x+1x，为奇函数，理由如下：

由于x≠0，故其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

又f(−x)=−x−1x=−(x+1x)=−f(x)，

故f(x)=x2+1x为奇函数；

(Ⅱ)令x1<x2<−1，

则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)−x1−x2x1x20.解：(1)当a=1，b=−2时，f(x)=x2−x−3，由x2−x−3=x，解得x=3或x=−1，

故所求的不动点为−1和3；

(2)令f(x)=x，则ax2+bx+b−1=0，①

由题意，方程①恒有两个不等实根，

所以Δ=b2−4a(b−1)>0，

即b2−4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立，

则Δ1=16a2−16a<0，解得0<a<1，

所以实数a的取值范围为(0,1)；

(3)依题意设A(x1,x1)，B(x2,x2)(x1≠x2)，

则AB中点C的坐标为(x1+x22,x1+x22)21.解：(1)因为A={1,3,6}，所以|1−3|=2，|1−6|=5，|3−6|=3，

所以B={2,3,5}；

(2)设A={a1,a2,a3,a4,a5}，不妨设0<a1<a2<a3<a4<a5，

因为a2−a1<a3−a1<a4−a1<a5−a1，

所以B中元素个数大于等于4个，

又A={1,2,3,4,5}，则B={1,2,3,4}，此