2024-2025学年山东省滨州市高三上册第四次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省滨州市高三上学期第四次联考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．4．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（

）A．1440种 B．1360种C．1282种 D．1128种6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．7．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中的系数为m的选项是（

）A．B．C．D．8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数有两个零点B．当时，C．的解集是D．都有二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．函数在区间上的值域为10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（

）

A． B．平面C．平面 D．三棱锥与三棱锥公共部分的体积为11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（

）A．始终垂直于轴 B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则.13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则.14．设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数a的值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知数列的首项为，且满足(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.(3)若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值.16.（本小题15分）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)判断的形状；(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.①当时，求线段长的最小值；②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.参考公式：，.17.（本小题15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．18.（本小题17分）已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．(1)求椭圆方程；(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．①求的值；②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明时，；(3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.2024-2025学年山东省滨州市高三上学期第四次联考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】.故选：B2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【正确答案】B【详解】因为，，所以.故选：B.3．已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．【正确答案】A【详解】由已知，在方向上的投影向量为，故选：A．4．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】由题意可得，由于的图象关于点对称，故，故,解得，取，为最小值，故选：A5．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（

）A．1440种 B．1360种C．1282种 D．1128种【正确答案】D【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．则不同的安排方案共有(种)．故选：D．6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】由知直线l过定点，由曲线，两边平方得，则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时，解得，当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得，要使直线与曲线恰有两个交点，则直线夹在两条直线之间，因此，即实数k的取值范围为.故选：B.7．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中的系数为m的选项是（

）A．B．C．D．【正确答案】C【详解】一个砝码有9一种情况，方法有种；两个砝码有，，，几种情况，方法有种；三个砝码有，，，，，几种情况，方法有种；四个砝码有，，，几种情况，方法有种；五个砝码有一种情况，方法有种，所以总计方法总数种.对A，系数可为单独组成，其他为常数，则有种，系数为；由两项与或与或与或与组成，系数为；由三项、与或、与组成，系数为；所以选项系数为7，故不符合，所以A错误；对B，的系数可为10个因式中选个带的，剩下个因式选常数项组成，所以的系数为，故B错误；对C，，系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为，由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为，同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，同理由五项组成，其他项为常数，则系数为，综上系数为，故C正确；对D，，系数直接由一项组成，其他是常数项，可有种情况，系数为4，由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数还有两项与或与或与这几种情况组成，其他为常数；还有三项组成、四项组成、五项组成等等，所以系数大于m，故D错误.故选：C8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数有两个零点B．当时，C．的解集是D．都有【正确答案】C【详解】设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以f−x=−fx，，，所以，即，所以函数的解析式为fx=e当时，令，解得，当时，令，解得，所以函数有三个零点，故不正确；当时，令，解得，当时，令，解得，所以的解集为，故正确；当时，，所以当时，f'x<0，函数当时，f'x>0，函数所以当时，函数取得最小值，当时，，所以当时，f'x>0，函数当时，f'x<0，函数所以当时，函数取得最大值，当时，，所以，都有，所以不正确.故选.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．函数在区间上的值域为【正确答案】ABC【详解】设的最小正周期为，由题意可知：，即，且，则，可得，，所以.对于选项A：为奇函数，故A正确；对于选项B：因为为最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于选项C：因为，则，且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确；对于选项D：因为，且，则，可得，所以，故D错误；故选：ABC.10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（

）

A． B．平面C．平面 D．三棱锥与三棱锥公共部分的体积为【正确答案】ABD【详解】对于A，因为是等边中边上的高，所以，因为，，分别是，的中点，所以，显然，故A项错误；对于B，因为三角形是边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形，是的中点，所以，而，所以，这表明与不垂直，故B项错误；对于C，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故C项正确；对于D，连接，交于点，连接并延长，

则由对称性可知必定交于点，则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，因为，分别是，的中点，所以为的重心，所以，由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为，所以，所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D项错误.故选：ABD.11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（

）A．始终垂直于轴 B．C． D．【正确答案】ABC【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距，对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，，令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为，同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确；对于B，由分别平分，得，因此，B正确；对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交，因此，即，从而，C正确，D错误.故选：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则.【正确答案】【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件，则，，，由，故，则，则，故，而，即，故，则.故13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则.【正确答案】/【详解】由题可得，，从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的，故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列，则.故答案为.14．设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数a的值为．【正确答案】【详解】，当时，对恒成立，Fx在单调递增，故不存在两个零点，当时，若，则，所以函数Fx在上单调递减．若，则，函数Fx在上单调递增，要使函数有两个零点，则Fx的最小值，即．因为，所以，令，显然在0,+∞上为增函数，且，，所以存在，．当时，；当时，．所以满足条件的最小正整数．又当时，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知数列的首项为，且满足(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.(3)若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值.【正确答案】(1)证明见详解；(2)(3)【详解】（1）因为，，故，所以，即，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，可得，所以.（2）由（1）可知：，所以.（3）因为，，即，可得，令，解得，且，可得，即，可得，所以实数的最小值.16.（本小题15分）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)判断的形状；(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.①当时，求线段长的最小值；②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.参考公式：，.【正确答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)①；②成立，，【详解】（1）在中，因为，且，所以，即，，所以或者.当时，所以，为直角三角形；当时，所以，为等腰三角形.综上所述，为直角三角形或等腰三角形.（2）①因为，所以，又，，所以，.如图，设，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因为，所以，故当，即时，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因为，所以，故当，即时，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以

，因为，所以，故当，即时，.②假设存在常数，，对于所有满足题意的，，都有成立，则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有.由题意，是定值，所以，是定值，对于所有满足题意的，成立，故有，因为，从而，即，，所以.故，.17.（本小题15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)存在满足题意的点，此时【详解】（1）由题意知，，建立如图空间直角坐标系，则，所以，得，所以.（2），得，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，即AB与平面所成角的正弦值为.（3）假设存在满足题意的点