2024-2025学年福建省泉州市安溪县高三上册11月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省泉州市安溪县高三上学期11月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，将角终边顺时针旋转后经过点，则（）A B. C. D.6.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（）A.1 B.3 C. D.7.数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.8.函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（）A. B.e C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数最小值为4的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，的最小正周期为B.函数过定点C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为D.函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11.已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（）A.面积为B.三棱锥体积的最大值为C.若平面，则点的轨迹长度为D.当点为的中点时，到直线的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则__________.13.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则__________.14.记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知等差数列前项和为，若，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若，求数列的前项和.16.如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点.（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.17.函数，其中为整数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当x∈0,+∞时，恒成立，求的最大值.18.在中，内角，，的对边分别为，，，且，.（1）求；（2）求的面积；（3）在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.19.设f'x为函数的导函数，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.（1）已知函数，求的凹、凸区间；（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.①将不等关系转化为对应的不等式；②证明：当，时，恒成立2024-2025学年福建省泉州市安溪县高三上学期11月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案.【详解】，解得，故，得，故，故.故选：B2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】C【分析】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限.【详解】由题设，则对应点为在第三象限.故选：C3.若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合对数函数的性质判断即可.【详解】若，则，即或，当时，，则，当时，，则，所以“”是“”的充分条件.若时，满足，而，所以“”是“”的不必要条件.综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由向量垂直关系得，再由投影向量公式求解.【详解】由于，则，即，可得，则在方向上的投影向量为.故选：C5.在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据三角函数定义得到，，利用凑角法求出答案.【详解】由题意得，，故.故选：B6.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（）A.1 B.3 C. D.【正确答案】C【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案.【详解】①，故，因为为上的偶函数，为上的奇函数，故，所以②，式子①和②联立得，，，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的最小值为，由于的对称轴为，故当时，上单调递增，故，解得，不合要求，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，故，解得，负值舍去；故选：C7.数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题设有，结合三角函数性质有，即可求值.【详解】由题设，，且当为偶数时，当为奇数时，所以.故选：B8.函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（）A. B.e C. D.【正确答案】D【分析】根据题设有，构造，易得，结合已知进一步得到，根据其导数求其最小值.【详解】由题设，可得，令，则，故，所以，其中为常数，又，则，所以，故，则，而，定义域为0,+∞，当时，f'x<0，故在上递减，当时，f'x>0，故在上递增，所以的极小值，也是最小值为.故选：D关键点点睛：根据已知得到，结合形式构造为关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数最小值为4的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】A由二次函数性质判断；B利用指数函数性质，结合基本不等式求最小值；C应用三角恒等变换得，结合正弦型函数性质判断；D函数化为，应用基本不等式求最小值判断.【详解】A：，不符；B：，当且仅当时等号成立，符合；C：，则，故，符合；D：且，故，所以，当且仅当时等号成立，符合.故选：BCD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，的最小正周期为B.函数过定点C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为D.函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为【正确答案】BC【分析】根据正弦型函数的性质判断A、B；图象平移确定解析式，根据偶函数求参数判断C；令，化为在有5个根求参数范围判断D.【详解】A：由题设，则最小正周期为，错；B：显然恒成立，故函数过定点，对；C：函数的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，可得且，又，所以的最小值为，对；D：由题意在上有5个根，而，所以在有5个根，如下图示，所以，可得，错.故选：BC11.已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（）A.的面积为B.三棱锥体积的最大值为C.若平面，则点的轨迹长度为D.当点为的中点时，到直线的距离为【正确答案】ACD【分析】由题意有是边长为的等边三角形，求面积判断A；利用线面平行、面面平行的判定证面面，结合正方体的结构特征有面，当重合时三棱锥体积最大，且当在上除外运动时，平面，判断B、C；根据已知求得，再由到直线的距离为判断D.【详解】由题意，可得是边长为的等边三角形，故其面积为，A对；由题设，面，面，则面，同理可证面，且在面内，故面面，根据正方体性质，易得面，即面，结合正方体的结构，易知当重合时，三棱锥体积最大，由A分析，易知棱锥的高，此时到面的距离，则，B错；由上知，当在上除外运动时，平面，轨迹长为，C对；若点为的中点，此时，且，所以，则，所以到直线的距离为，D对.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则__________.【正确答案】1【分析】依次代入求解即可.【详解】，，所以.故113.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则__________.【正确答案】2分析】先由二倍角公式和余弦定理得，从而解得.【详解】根据题意，，由正弦定理得，所以，由余弦定理，，即解得或（舍），所以.故214.记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则__________.【正确答案】【分析】根据导数法求极值，得，设，因为，结合已知得，再利用裂项相消法求和.【详解】函数定义域为0,+∞，且，令，得，如图所示，不妨设，因为，所以，解得，代入条件得，化简得：，即，所以.故答案为.关键点点睛：根据导数法求极值，得，设，因为，从而得，代入已知化简得：，从而可得，可解问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若，求数列的前项和.【正确答案】（1），；（2）【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和；（2），利用错位相减法求和得到答案.小问1详解】设公差为，则，，解得，故；；【小问2详解】，故①，则②，式子①-②得，所以.16.如图所示，，分别为半圆锥底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点.（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）若是中点，根据题设证，再由线面平行的判定证结论；（2）作，连接，利用线面垂直的判定及性质定理，结合面面角的定义确定所求角为或其补角，进而求其余弦值.【小问1详解】由，分别为底面半圆弧上的两个三等分点，易知且，若是中点，而为母线的中点，则且，所以且，则为平行四边形，故，由面，面，故平面.【小问2详解】作，连接，如上图所示，由题意，面面，，面，面面，所以面，面，则，由都在面内，则面，而面，所以，又都在面内，故面，由面，则，结合，且面，面，所以平面与平面的夹角为或其补角，令等边三角形的边长为2，则，由题设易知，则，，在中上的高，则，所以，故，所以平面与平面的夹角余弦值为.17.函数，其中为整数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当x∈0,+∞时，恒成立，求的最大值.【正确答案】（1）（2）2【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；（2）当时，可得恒成立；当时，转化问题为对于恒成立，设，，进而利用导数分析求解即可.【小问1详解】当时，，则，而，则，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】当时，，则恒成立，当时，由，得，即，则，即对于恒成立，设，，则，当时，显然恒成立，则函数在上单调递增，则，满足题意；当时，令，即，解得，此时函数在上单调递减，则，不满足题意.综上所述，的最大值为2.18.在中，内角，，的对边分别为，，，且，.（1）求；（2）求的面积；（3）在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解；（2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，从而可得三角形面积；（3）以为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即，可解问题.【小问1详解】根据题意，，因为，所以，由正弦定理得，所以；【小问2详解】由余弦定理，，代入，得，两边同时除以，，由于，当且仅当时等号成立，而，当且仅当时等号成立，即，由余弦定理，即，的面积；【小问3详解】由（1）（2）可知，，所以，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，故可设（为变量）则，所以的最小值为.关键点点睛：第（2）问中，由题意得，两边同时除以，，接下来由等式左右两边的范围得是解题的关键.19.设f'x为函数的导函数，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.（1）已知函数，求的凹、凸区间；（2）如图