中考数学一轮考点复习精讲精练专题19 特殊平行四边形【考点巩固】（解析版）

专题19特殊平行四边形（时间：60分钟，满分120分）一、填空题（每题3分，共30分）1．（2022·江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（

）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形

②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形

④四边相等的四边形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；④四边相等的四边形是菱形，正确．故选：B．2．（2022·广西玉林）若顺次连接四边形SKIPIF1<0各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形SKIPIF1<0的两条对角线SKIPIF1<0一定是(

)A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等【答案】D【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，∴SKIPIF1<0，∴四边形EFGH是平行四边形，对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；对于B选项：对角线互相垂直，则有SKIPIF1<0，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；对于C选项：对角线互相平分且相等，则有SKIPIF1<0，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意；故选D．3．（2022·内蒙古包头）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E，F分别在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0，AF与SKIPIF1<0相交于点O，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的数量关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出SKIPIF1<0，再利用勾股定理得出SKIPIF1<0，即可得出答案．【详解】过点O作OM⊥BC于点M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形ABFE是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A．4．（2022·重庆）如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先利用正方形的性质得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用角平分线的定义求得SKIPIF1<0，再证得SKIPIF1<0，利用全等三角形的性质求得SKIPIF1<0，最后利用SKIPIF1<0即可求解．【详解】解：∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C5．（2022·江苏泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】连接CF、CG、AE，证SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，最小，SKIPIF1<0∴d1＋d2＋d3的最小值为SKIPIF1<0，故选：C．6．如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在坐标轴上，则菱形SKIPIF1<0的周长等于（）A.8SKIPIF1<0 B.4SKIPIF1<0 C.2SKIPIF1<0 D.4SKIPIF1<0【答案】A【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可求解．【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），SKIPIF1<0，∴OB＝SKIPIF1<0，OA＝3，∴AB＝SKIPIF1<0，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝SKIPIF1<0，∴菱形ABCD的周长等于＝4×SKIPIF1<0＝8SKIPIF1<0，故选：A．7．（2022·四川德阳）如图，在四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．四边形SKIPIF1<0是矩形B．四边形SKIPIF1<0的内角和小于四边形SKIPIF1<0的内角和C．四边形SKIPIF1<0的周长等于四边形SKIPIF1<0的对角线长度之和D．四边形SKIPIF1<0的面积等于四边形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0【答案】C【分析】连接SKIPIF1<0，根据三角形中位线的性质SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，继而逐项分析判断即可求解．【详解】解：连接SKIPIF1<0，设交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A.四边形SKIPIF1<0是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；B.四边形SKIPIF1<0的内角和等于于四边形SKIPIF1<0的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；C.四边形SKIPIF1<0的周长等于四边形SKIPIF1<0的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；D.四边形SKIPIF1<0的面积等于四边形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，故该选项不正确，不符合题意；故选C8．（2022·四川达州）如图，点E在矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点A恰好落在SKIPIF1<0边上的点F处，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】根据折叠的性质可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中勾股定理建列方程，求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点A恰好落在SKIPIF1<0边上的点F处，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选C．9．（2022·山东泰安）如图，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点P是线段SKIPIF1<0上一动点，点M为线段SKIPIF1<0上一点．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】证明SKIPIF1<0，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形SKIPIF1<0为矩形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0故选：D．10．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（

）A．当SKIPIF1<0时，四边形ABMP为矩形B．当SKIPIF1<0时，四边形CDPM为平行四边形C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或6s【答案】D【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，A、当SKIPIF1<0时，AP=10-t=6cm，BM=4cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；B、当SKIPIF1<0时，PD=5cm，CM=8-5=3cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，∴四边形ABCE是矩形，∴BC=AE=8cm，∴DE=2cm，PM=CD，且PQ与CD不平行，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，∴四边形CEFM是矩形，∴FM=CE；∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，∴AP=10-4-(8-t)=10-t，解得t=6s；PM=CD，且PM∥CD，∴四边形CDPM是平行四边形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4s；综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．已知菱形SKIPIF1<0的一条对角线的长为SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0的长是SKIPIF1<0的一个根，则菱形SKIPIF1<0的周长为____．【分析】先求出一元二次方程的解，即可求出菱形的边长的两个值，然后根据三角形的三边关系进行取舍，最后根据菱形的周长公式计算即可．【详解】解：SKIPIF1<0解得：x1=2，x2=3即SKIPIF1<0=2或3当菱形的边长为2时，2＋2=4，不满足三角形的三边关系，故不存在；当菱形的边长为3时，3＋3＞4，满足三角形的三边关系此时菱形SKIPIF1<0的周长为3×4=12故答案为：12．12．（2022·湖南邵阳）已知矩形的一边长为SKIPIF1<0，一条对角线的长为SKIPIF1<0，则矩形的面积为_________SKIPIF1<0．【答案】48【分析】如图，先根据勾股定理求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求解即可．【详解】解：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0(cm)，∴SKIPIF1<0．故答案为：48．13．（2022·甘肃武威）如图，菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_________cm．【答案】8【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．【详解】解：SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，AC=4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AO=OC=SKIPIF1<0AC=2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：8．14．已知：在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是_____________．【答案】菱形【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF=EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出四边形EHFG是菱形．【详解】∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF∥AD，GF=SKIPIF1<0AD，GE=SKIPIF1<0BC，EH∥AD，EH=SKIPIF1<0AD，∴GF∥EH，GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，又∵AD=BC，∴GE=EH，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，AM=SKIPIF1<0EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=SKIPIF1<0AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=SKIPIF1<0=5，∴BC边上的高h=SKIPIF1<0，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=SKIPIF1<0EF，∴AM=SKIPIF1<0AP，∴当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，∴AP的最小值为SKIPIF1<0，∴AM的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．16．（2022·四川南充）如图，正方形SKIPIF1<0边长为1，点E在边SKIPIF1<0上（不与A，B重合），将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠，点A落在点SKIPIF1<0处，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点B顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．给出下列四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③点P是直线SKIPIF1<0上动点，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．其中正确的结论是_______________．（填写序号）【答案】①②③【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，∴∠ABA1=∠CBA2，∴△ABA1≌△CBA2，故①正确；过D作DM⊥CA1于M，如图所示，由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，∴DM平分∠CDA1，∴∠ADE+∠CDM=45°，又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，∴∠BCA1=∠CDM，∴∠ADE+∠BCA1=45°，故②正确；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为SKIPIF1<0，故③正确；过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示，∵∠ADE=30°，∴AE=tan30°·AD=SKIPIF1<0，DE=SKIPIF1<0，∴BE=AB-AE=1-SKIPIF1<0，由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=SKIPIF1<0，∴∠A1EH=60°，∴A1H=A1E·sin60°=SKIPIF1<0，∴△A1BE的面积=SKIPIF1<0，故④错误，故答案为：①②③．三、简答题（共46分）17．（7分）如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．【答案】证明见解析【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．【详解】解：∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAESKIPIF1<0∠EAF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAFSKIPIF1<0∠AEB，∴∠BAESKIPIF1<0∠AEB，∴ABSKIPIF1<0BE．同理，ABSKIPIF1<0AF．∴BESKIPIF1<0AF．∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵ABSKIPIF1<0BE，∴□ABEF是菱形．18．（7分）（2022·湖南邵阳）如图，在菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在对角线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：四边形SKIPIF1<0是正方形．【答案】证明过程见解析【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，又∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF即OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF且AC=EF又∵AC⊥EF∴四边形DEBF是正方形．19．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，SKIPIF1<0，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．20．（12分）（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．(1)如图1，若SKIPIF1<0，求证：四边形BCDE是菱形；(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．【答案】(1)见解析(2)（ⅰ）SKIPIF1<0；（ⅱ）见解析【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明SKIPIF1<0，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出SKIPIF1<0；（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，即可证明结论．(1)证明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0