《有限元数学原理》课件

有限元数学原理有限元方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。它将连续的物理问题离散化，通过将问题分解成许多小的单元（称为有限元）来求解。课程介绍11.简介本课程旨在帮助学生深入理解有限元法的数学原理。22.内容课程涵盖有限元法的基本概念、推导和应用，包括拉格朗日插值法、基函数、离散化、变分原理等。33.目标使学生掌握有限元法的理论基础，并能够将其应用于实际工程问题。44.教学方式课堂讲授、课后练习、案例分析、小组讨论等。有限元法简介有限元法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。该方法将连续问题离散化，通过将连续区域分解成有限个简单单元进行近似求解。有限元法广泛应用于工程领域，例如结构分析、热传导分析、流体力学分析等。概念基础网格划分有限元法将连续的物理域划分为离散的单元，形成网格。插值函数在每个单元内，用插值函数近似地表示未知解。方程组将问题转化为线性方程组，通过求解方程组得到解。拉格朗日插值法1基本原理通过给定节点上的函数值，构建一个多项式函数，使得该多项式函数在这些节点上取值与原函数相同。2插值多项式利用拉格朗日插值公式，可以得到唯一的插值多项式，它能够完全拟合已知数据。3应用范围广泛应用于数值分析、工程设计和科学计算等领域，例如曲线拟合、数据插值等。基函数定义基函数是指用来构建有限元空间的线性无关函数。作用利用基函数的线性组合可以逼近真实解，得到近似解。类型常用的基函数类型包括拉格朗日插值多项式、Hermite插值多项式等。离散化1几何离散化将连续的几何域离散为有限个单元，如三角形或四边形。2变量离散化将连续的场变量，如位移或温度，用单元节点上的离散值表示。3方程离散化将连续的微分方程转化为离散的代数方程，便于计算机求解。变分原理极值原理有限元法基于能量最小化原理，即系统在平衡状态下，其总能量最小。能量函数通过构建能量函数，将连续的物理问题转化为一个求解最小能量的数学问题。变分法利用变分法求解能量函数的最小值，得到问题的解。基本矩阵求解建立方程组有限元分析将连续问题转化为离散问题，形成线性方程组。方程组的系数矩阵称为基本矩阵。选择求解方法常见的求解方法包括直接法和迭代法。直接法如高斯消元法，迭代法如共轭梯度法。求解方程组根据所选方法，利用计算机程序进行计算，获得未知节点的解，例如位移、温度等。结果后处理将节点解代入应力-应变关系，得到结构的应力和应变分布，并进行可视化展示。收敛性分析收敛性定义有限元解随着网格细化逐渐逼近真实解，网格越细，误差越小。收敛速度分析网格细化对误差的影响，评估方法效率。收敛阶描述误差随着网格尺寸变化的规律，衡量方法的精度。收敛准则设定误差容忍范围，确保计算结果精度。误差估计近似误差有限元方法中，由于将连续问题离散化，会产生近似误差。误差大小取决于网格尺寸、单元类型和求解精度。数值误差数值误差主要来自于计算机的浮点数运算，包括舍入误差和截断误差。误差估计方法常用的误差估计方法包括aposteriori误差估计和apriori误差估计，用于评估误差大小并确定网格细化策略。单元类型三角形单元三角形单元是最常见的单元类型之一，在二维问题中得到广泛应用。四边形单元四边形单元通常用于解决二维问题，可以更精确地模拟形状复杂的区域。四面体单元四面体单元适用于三维问题，可以有效地处理复杂几何形状。六面体单元六面体单元是三维问题中的常用单元，能够在复杂几何结构中提供更高的精度。网格划分1区域划分将连续区域划分为有限个子区域2节点设置定义每个子区域的顶点和边3单元构建连接节点形成不同的单元类型4网格生成使用专业软件自动生成网格网格划分是有限元方法的核心步骤，它将连续的物理域离散化，将复杂的几何形状分解成简单的单元形状。适当的网格划分可以提高计算精度，降低计算量，是保证有限元分析结果准确性的关键。边界条件固定边界条件固定边界条件是指在某些节点上，位移或其他场量是已知的。例如，一个固定的梁在它的支撑点处，位移为零。自由边界条件自由边界条件是指在某些节点上，位移或其他场量是未知的。例如，一个梁的末端是自由的，它的位移是未知的。载荷计算外部载荷包括集中力、分布载荷、压力载荷等，在有限元模型中施加于节点或单元上。热载荷温度变化会引起材料的热膨胀或收缩，从而产生热应力。重力载荷由于重力作用于物体，会导致节点或单元产生重力载荷。单元刚度矩阵单元刚度矩阵是有限元法中重要的概念，它反映了单个单元的刚度特性，可以用来计算单元在受到外力作用下的变形和应力。1单元刚度矩阵描述单元刚度特性的矩阵2单元变形在外部载荷作用下，单元的形状发生变化3单元应力单元内部产生的内力4单元节点位移单元节点在变形后的位置单元刚度矩阵可以通过积分得到，它将单元的几何形状、材料特性和边界条件综合考虑，最终形成一个矩阵，用于计算单元的变形和应力。总体刚度矩阵1定义总体刚度矩阵是将所有单元刚度矩阵进行叠加得到，它反映了整个结构的刚度特性，用来描述节点力与节点位移之间的关系。2求解方法通过对所有单元刚度矩阵进行组装，可以得到全局刚度矩阵。具体组装方式取决于单元类型和网格划分。3应用总体刚度矩阵是有限元方法中关键的矩阵，它将被用来求解结构的位移、应力、应变等物理量。求解线性方程组直接法直接法是指通过有限步运算直接求解线性方程组的解，例如高斯消元法。迭代法迭代法是指通过不断迭代运算逐步逼近线性方程组的解，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法。矩阵分解法将系数矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，然后通过求解子问题来得到解。数值方法利用数值方法来求解线性方程组，例如LU分解、QR分解等。应变-位移关系11.几何关系应变是位移的导数，描述材料的变形程度。22.应变张量应变张量是一个二阶张量，包含了材料的拉伸、压缩和剪切变形。33.位移场位移场表示节点位移的分布，用于计算应变。44.微分方程应变-位移关系用微分方程表达，描述应变与位移之间的关系。应力-应变关系应力-应变曲线材料在不同应力水平下的应变反应，反映材料的力学特性。弹性范围材料在应力移除后能够完全恢复原形的范围。屈服点材料开始发生永久变形时的应力值。拉伸强度材料所能承受的最大应力值，对应材料断裂前的最大抗拉强度。本构方程11.材料特性描述定义材料在受力时的行为，如应力-应变关系。22.应力与应变联系建立应力、应变和材料属性之间的数学表达式。33.不同材料类型适用于各种材料，如弹性材料、塑性材料、粘性材料。热传导问题热传导是指热量在物质内部由温度较高部分向温度较低部分传递的现象。有限元法可以用来分析固体或流体中的热传导问题，例如，分析不同材料的热传导速率或预测不同边界条件下的温度分布。结构力学问题有限元法在结构力学中广泛应用。例如，桥梁设计，高层建筑，飞机设计等。通过建立模型，并使用有限元方法进行分析，工程师可以评估结构的强度，刚度，稳定性和变形情况，从而确保结构的安全性和可靠性。流体力学问题有限元法可用于解决多种流体力学问题，例如流体流动、传热和质量传递。流体流动问题包括粘性流体和非粘性流体，湍流和层流。有限元法可以模拟各种边界条件，例如速度边界条件、压力边界条件和热边界条件。还可以模拟各种物理特性，例如密度、粘度和热传导率。电磁场问题有限元法在电磁场分析中也有广泛应用，例如，计算电磁场分布、预测电磁干扰和设计电磁屏蔽等。电磁场问题涉及麦克斯韦方程组，通过有限元法将连续的电磁场离散成有限个单元，并求解每个单元上的电磁场参数，最终得到整个电磁场分布。与有限差分法对比网格划分有限元法对复杂几何形状具有优势，可以进行更灵活的网格划分。方程求解有限元法通常产生大型稀疏矩阵，需要更高效的求解方法。精度有限元法采用插值函数，可以提高解的精度，尤其在边界条件复杂的情况下。应用范围有限元法应用范围更广，可以处理非线性、非均匀材料等复杂问题。有限元法发展及应用发展历史有限元法起源于20世纪40年代，最初应用于结构力学领域。随着计算机技术的发展，有限元法逐渐应用于其他工程领域，如热传导、流体力学和电磁场等。应用领域有限元法广泛应用于各个工程领域，如航空航天、汽车、土木工程、机械制造、生物医学、电子信息等。发展趋势随着计算机技术的进步，有限元法正在不断发展和完善。例如，自适应网格技术、并行计算技术、多尺度建模技术等正在推动有限元法的进一步发展。计算实例演示本节课将演示有限元方法在实际工程中的应用。以一个简单的二维平面应力问题为例，展示有限元方法的分析过程，从模型建立、网格划分、边界条件设置到最终结果的计算和可视化，帮助学生理解有限元法的具体操作流程，并熟悉常用的有限元软件的操作。通过实例演示，学生将了解有限元方法在实际问题中的应用，加深对有限元理论的理解，并为未来使用有限元方法解决实际问题打下基础。课程总结有限元法一种强大的数值方法，适用于解决