人教版八年级数学上册轴对称《第13章 轴对称-章末复习》示范公开课教学课件

整理与复习第13章

轴对称人教版八年级数学上册

1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？

2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？

3．对于成轴对称的两个图形，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．

5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？考点一轴对称图形的识别

例1下列各图中，不是轴对称图形的是（）．

A．B．

C．D．A考点一轴对称图形的识别根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形．判断一个图形是不是轴对称图形的方法考点二轴对称的性质

例2

如图，△ABC

和△ADE

关于直线

l

对称，已知

AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B

的度数及

BC，AD

的长度．

解：∵△ABC

和△ADE

关于直线

l

对称，∴

AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．

又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．ABCDEl考点二轴对称的性质

成轴对称的两个图形是全等图形，它们的对应边相等，对应角相等．考点二轴对称的性质

1．如图，在△ABC

中，点

D

在

BC

上，将点

D

分别以

AB，AC

所在直线为对称轴，画出对称点

E，F，并连接

AE，AF．根据图中标示的角度，∠EAF

的度数为（

）．

A．113°

B．124°

C．129°

D．134°DABCDEF62°51°

解析：连接AD，如图．考点二轴对称的性质∵点

D

分别以

AB，AC

为对称轴，画出对称点E，F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD．∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°－62°－51°＝67°，∴∠EAF＝2∠BAC＝134°．ABCDEF62°51°ABCDEF考点三线段的垂直平分线的性质与判定

例3

如图，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，D

是

AB

上一点，BD＝BC，过点

D

作

AB

的垂线交

AC

于点

E，CD

交

BE

于点

F．求证：BE

垂直平分

CD．证明：∵BD＝BC，∴点B在线段CD的垂直平分线上．又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°．ABCDEF考点三线段的垂直平分线的性质与判定在Rt△EBC

与Rt△EBD中∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）．

∴EC＝DE．

∴点E在线段CD的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，∴BE垂直平分CD．考点三线段的垂直平分线的性质与判定（1）存在两点：直线上有两个不同的点．（2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线．证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件考点三线段的垂直平分线的性质与判定

2．如图，△ABC

中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，FG

分别为

AB，AC

的垂直平分线，E，G

分别为垂足．

（1）求∠DAF

的度数；

（2）若△DAF

的周长为10，求

BC

的长．EABCDFGEABCDFG考点三线段的垂直平分线的性质与判定

解：（1）∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－30°－50°＝100°．

∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠ABC＝30°.

∵FG是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，

∴∠FAC＝∠ACB＝50°.

∴∠DAF＝∠BAC－(∠DAB＋∠FAC)＝20°.考点三线段的垂直平分线的性质与判定考点三线段的垂直平分线的性质与判定EABCDFG解：（2）∵△DAF的周长为10，

∴AD＋DF＋FA＝10．

∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋FA＝10．考点四轴对称的相关作图

例4如图，作已知图形关于直线l

对称的图形．

llD′考点四轴对称的相关作图

例4如图，作已知图形关于直线l

对称的图形．

lA′B′C′

作法：（1）如图，取点A，B，C，D，O，分别作出点A，B，C，D关于直线l

的对称点A′，B′，C′，D′；（2）顺次连接OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原图形关于直线l

对称的图形．ABCDOABC考点四轴对称的相关作图

例4如图，作已知图形关于直线l

对称的图形．

（2）连接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即为所求．

作法：（1）如图，取点A，B，C，分别作出点A，B，C关于直线l

的对称点A′，B′，C′；A′B′C′l考点四轴对称的相关作图同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．画轴对称图形，对称轴位置很关键考点五关于坐标轴对称的点的坐标特征

例5

已知点A（a＋2，b－1）与B（b＋3，a－2）关于x

轴对称，求点P（a，b）的坐标．解：∵点A（a＋2，b－1）与B（b＋3，a－2）关于x

轴对称，∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．解得a＝2，b＝1．∴点P

的坐标为（2，1）.考点五关于坐标轴对称的点的坐标特征关于坐标轴对称的点的坐标特征（1）关于x

轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数．（2）关于y

轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同．考点六等腰三角形

例6

如图，在△ABC中，AB＝AC，点

D

是

BC

边上一点，DE∥AB，交

AC

于点

E，连接

DE，过点

E

作

EF⊥BC

于点

F．求证：点F

为线段

CD

的中点．EABCDF

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等边对等角）．

∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠B．EABCDF

∴∠EDC＝∠C．

∴ED＝EC（等角对等边）．

∵EF⊥BC，

∴点

F

为线段

CD

的中点（三线合一）．考点六等腰三角形性质1：等边对等角，它是证明两角相等的常用方法．性质2：三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系．等腰三角形性质的应用考点六等腰三角形

3．如图，已知等边三角形

ABC

中，点D

是

AC

的中点，点E

是BC

延长线上的一点，且

CE＝CD，DM⊥BC，垂足为

M，求证：点M是

BE

的中点．DABECM

证明：如图，连接

BD．考点六等腰三角形

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°．

∵在等边三角形

ABC

中，点D

是

AC

的中点，DCM

∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．

∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，

∴∠E＝30°．

∴∠DBC＝∠E＝30°．

∴BD＝ED，△BDE

为等腰三角形．

又∵DM⊥BC，

∴点M

是

BE

的中点．考点六等腰三角形ABE考点七最短路径问题

例7

如图，已知点

D，点

E

分别是等边三角形

ABC

中

BC，AB

边的中点，AD＝5，点

F

是

AD

边上的动点，则

BF＋EF

的最小值为__________．BEDACFBEDF

例7

如图，已知点

D，点

E

分别是等边三角形

ABC

中

BC，AB

边的中点，AD＝5，点

F

是

AD

边上的动点，则

BF＋EF

的最小值为__________．BEDACF解析：∵点B

和点C

关于直线AD

对称，∴BF＝CF，若BF＋EF

最小，只需CF＋EF

最小．由两点之间，线段最短可知：线段CE

的长即为BF＋EF

的最小值．考点七最短路径问题BEDACF

∵点D，E是等边△ABC中BC，AB的中点，∴△ADB≌△CEA．

∴CE＝AD＝5．即BF＋EF

的最小值为5．

例7

如图，已知点

D，点

E

分别是等边三角形

ABC

中

BC，AB

边的中点，AD＝5，点

F

是

AD

边上的动点，则

BF＋EF

的最小值为__________．考点七最短路径问题5（1）如果两点在直线的异侧，那么直接连接两点交直线于一点，该点就是要求的点；（2）如果两点在直线的同侧，那么先作一点关于直线的对称点，再连接对称点和另一点交直线于一点，该点就是要求的点．“一线＋两点”型最短距离求解方法考点七最短路径问题MNAOA″A′

例8如图，点A

是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON

上各求作一点B，