双线性函数和二次型

PAGEPAGE4双线性函数和二次型双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.1双线性函数1.1双线性函数的定义定义1.1.1V是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对V中任意两个向量,,根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：（1）（2）其中,，，，，是V中任意向量，，是中任意数，则称为V上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V的内积是V上双线性函数.1.2度量矩阵取V上的一组基,设=(),=(),再设=()=()X,=()=()Y,则=(,)=(1)令=,i,j=1,2,…,n,A=,则（1）就成为＝（2）也可以表示为=（3）则（2）或（3）式实际上就是数域上任意n维线性空间V上的双线性函数的一般形式.即是上的一个双线性函数.定义1.2.1设是数域上n维线性空间V上的一个双线性函数.是V的一组基，则矩阵A=叫做在下的度量矩阵.经过上面的讨论，取定V的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。而且，不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.反之，任给数域上一个n级矩阵A=,对V中任意向量=及=，其中，=(),用==定义的函数是V上一个双线性函数.易计算出在下的度量矩阵就是A.因此，在给定的基下，V上全体n级矩阵与双线性函数之间是一个双射.1.3矩阵合同的概念和性质定义1.3.1数域上n×n矩阵,称为合同的，如果有数域上可逆的n×n矩阵，使合同是矩阵之间的一个关系，这种合同关系具有1）反身性：；2）对称性：由,即得；3）传递性：由和,即得.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？设及线性空间V的两组基：=（）,是V中两个向量====那么，如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为,.则有==又=因此，这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义1.3.2设是线性空间V上一个双线性函数，如果，对任意∈V，可推出=0，就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的.设双线形函数在基下的度量矩阵为，则对=，=有=如果向量满足=0，对任意∈V，那么对任意都有因此而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线形函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.1.4对称双线性函数与反对称双线性函数的定义定义1.4.1是线性空间上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量,都有=则称为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量,都有=则称为反对称双线性函数，这就是说双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵；双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.二次型2.1二次型的定义定义2.1.1设V是数域上线性空间，是V上双线性函数，当时，V上函数称为二次型.2.2不同基下的二次型的矩阵给定V上一组基，设的度量矩阵为A=.对V中任一向量=，有，==当=时，则=(1)即二次型又可以表示为=(2)所以二次型（1）又可以写成==(3)把（3）的系数排成一个n×n矩阵.A=(4)它就称为二次型（1）的矩阵.因此aij=aji，i,j=1,…,n，因此二次型的矩阵都是对称的.由上面二次型（1）的矩阵的元素，当ij时aij=aji正是它的项的系数的一半，而是项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型=且，，则.定理2.2.1二次型在不同基下的矩阵是合同的.证明由于二次型是双线性函数的特殊情况，根据前面1.3节中的结论：同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.根据这个性质，就可以得出二次型在不同基下的矩阵是合同的.命题得证.2.3二次型的标准形二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型，所以我们可以在不同基下把二次型化简为（1）引理对于任意一个n级实对称矩阵，都有一个n级正交矩阵，使=成对角形.证明出自文献北京大学第三版《高等代数》中第九章第六节的定理7.下面证明定理：定理2.3.1在实数域R上任意一个二次型在某组基下都可以变成平方和（1）的形式.证明取V上一组基，设二次型在这组基下的对称矩阵为，那么也存在另一组基，使得=（）（其中为一n级正交矩阵）设在基下的对角矩阵为=，根据上面的引理，则=在基下二次型又可以表示为==()=所以任意一个二次型都可以变成平方和（1）的形式.证毕.由上面的讨论，二次型的矩阵都合同于一对角矩阵，因此用矩阵的语言，上述定理又可以叙述为：定理2.3.2在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.也就是说，对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵，使得成对角矩阵.因此我们定义，把二次型（1）式称为二次型的标准形.2.4二次型的唯一性的问题由上面的讨论，可以看到在不同的基下，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.根据合同的矩阵有相同的秩这一定理，可以得出在不同的基下的二次型的矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数.因此在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与不同的基无关.但是标准形中的系数不是唯一确定的.例某二次型在基下可表示为=，设另一组基为，使得=（）则在基下的标准形为：=（其中=）再设另一组基为，使得＝（）则在基下的标准形为：（其中=）这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与不同的基有关.下面讨论复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.先看复数域的情形.设是一个复系数的二次型，取V上一组基，则在这组基下的对角矩阵为：=，（1）(其中>0,<0)有另一组基，取过渡矩阵T，使得=()T其中T=（2）设在基下的矩阵为，则=（3）把（1）、（2）代入（3），得=（4）得到在基下的矩阵为对角矩阵，那么在这组基下与对角矩阵对应二次型为=（其中X=）（5）把X=和（4）式代入（5）式中，得=（6）其中r为二次型的秩。我们把（6）式就称为复二次型的规范形.显然，规范形完全由原二次型矩阵的秩所决定.因此有：定理2.4.1任意一个复系数的二次型，在某一组基下都可以变成规范形，且规范形是唯一的.此定理也可以表达为，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵.同理，我们再来看实数域的情形：设是一实系数的二次型，我们取两组基与的过渡矩阵为，则有=()其中=(7)设在基下的矩阵为，则=（8）把（1）、（7）代入（8），得=（9）则在基下的矩阵为对角矩阵，那么在这组基下与对角矩阵对应二次型为=（10）把X=和（9）式代入（10）式中，得=（11）我们把（11）就称为实二次型的规范形，显然，规范形完全被二次型的秩r和i这两个数所决定.定理2.4.2任意一个实数域上的二次型，在某一组基下都可以变成规范形，且规范形是唯一的.证明定理的前一半在上面已经证明，下面就来证唯一性.设二次型在基下的矩阵为,在基下的矩阵为，在基下的矩阵为，则存在可逆矩阵和,根据本文第一章1.3节中证明的性质：同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.我们可以得到（12）（13）因为===（14）把（12）式代入（14）式中，得=设实二次型在基下化成规范形为：=（15）再把（13）式代入（14）式中，得设实二次型在基下化成规范形为：=(16)现在来证.用反证法.设.由以上假设，取=，代入（15）中，则=(17)再把=代入（16）中，则=(18)根据(17)和(18)式，得== （19）从而.这就证明了规范形的唯一性.这个定理通常称为惯性定理.定义2.4.1在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的.所以惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.所以就得出结论：定理2.4.3（1）任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：其中对角线上1的个数r等于A的秩.（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：其中对角线上1的个数及的个数（是A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数.它们的差称为A的符号差.2.5二次型的应用对于许多的控制系统，为得到满意的控制效果，需要某一种性能指标达到最优值、极小值或极大值，而线性二次型则是实现这种最优控制的一种常用系统设计方法.这种方法中的性能指标是对象状态与控制输入的二次型函数，在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型函