2013年考研数学复习指导-求函数的极限

PAGEPAGE8求函数的极限一．函数极限的概念1.函数极限的定义定义1：设函数在的某个去心邻域内有定义,若对,，当时,恒有，则称在的极限为，记为.(直观地说：当无限趋近时,函数无限趋近常数.)定义2：设函数在内有定义,若对,，使得当时,恒有，则称在的极限为，记为.2．左、右极限的定义右极限：当时,恒有.左极限：,当时,恒有.,,当时,恒有.,,当时,恒有.3．极限存在的充要条件:.例1.（1）；；；（2）；（3）;；；（4）；.二．求极限的方法1．极限的四则运算法则:设和都存在，则(1）；(2）；(3）（）.例2(1)==.(2)==.（3）（4）.解=====.所以.2.利用等价无穷小求极限.（1）无穷小的定义:若，则称为时的无穷小.（2）无穷小的运算.（3）无穷小的比较:若,且若，则称与是同阶无穷小；若，则称与是等价无穷小，记为；若，则称是的高阶无穷小，记为.（4）常用等价无穷小(a)当时，；;；；;；；.（b）.（5）利用等价无穷小求极限当时，，，则.例3(1).(2).例4．当时，与等价的无穷小量是（A）;（B）;（C）;（D）.解（A）（B）（C）（D）答案（B）例5.设，，则当时，是的（）.(A)低阶无穷小;(B)高阶无穷小;(C)等价无穷小;(D)同阶但不等价.解.答案例6.设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，求正整数.解.，.例7．.3.利用洛必达法则求未定式极限的方法法则I():设函数满足条件:①②在的去心邻域内可导,且;③存在(或),则.法则Ⅱ：设函数满足条件①;②在的去心邻域内可导，且;③存在（或），则.例8.(1)=.（2）.（3)=.4．其它未定式：，，，，）例9.（1）.（2）.（3）综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为型或型：先化简（代数变形、等价无穷小、代换、非零极限因子）,最后化成简单函数的或;用分子（或分母）同除(或提取)无穷小或无穷大使分母极限存在且非零，再用四则运算;用洛必达法则.三．极限值已知求其中的未知常数例10.(1),求的值.解：.或.验证这二组数据都符合条件.(2)设当时,是比高阶的无穷小,求的值.解根据题意有..从而有，所以.（3）当时，与是等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）解：由于与为等价无穷小，则有故有,所以.，有得.高等数学(同济大学第六版)(2(A)表示第2题的单数题;2(B)表示第2题的双数题）章节不要求掌握内容要求做的习题第一章第一节双曲函数4(B).5.6.15.16.第二节1.第三节1.2.3.4第四节1.6.7.第五节1(A).3.4.5.第六节柯西极限存在准则1(B).2(A).4.第七节1.2.3.4.第八节1.2.3.4.5.第九节1.4.5.6.第十节一致连续性1.2.3.5.总习题一2.3.4.5.9.10.11.12.13.第二章第一节6.7.8.11.12.13.15至20.第二节2(B).4.5.7(B).8.9.10.11(B).14.第三节1(B).3.4.9.11.12.第四节参数方程所确定的函数的导数和相关变化率数三不要求1.2.3.4(A).（数一、数二7.8(B).10.11.12）第五节微分在近似计算中应用.1.2.3(B).总习题二1.2.3.6.7.10.11.14.第三章第一节5.6.7.8.9.10.11.12.14.第二节1(B).3.4.第三节1.3.4.5.6.第四节3(B).4.5.6.9(B).11.12.13.14.15.第五节1(B).2.3.5.6.9.10.13.第六节1.4.第七节数学三不要求1.2.3.4.5.总习题三1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.17.19.20.第四章第一节2(B).4.5.6.7.第二节1(B).2.(B)第三节1.2.至24单数第四节1.2.至24单数总习题四1.2.3.至40单数第五章第一节3.5.7.11.12.13(A).第二节1.2.3.4.5.6(A).9.10.11.12.13.14.第三节1(B).2.3.5.6.7(B).第四节1(B).2.总习题五3.4.6.10.11.12.13.14.第六章第一节第二节弧长数学三不要求1.2(B).3.4.6..8.9.10.11.12.15.16.(数一.二:21.24.27.28)第三节数学三不要求4.5.6.7.10.11.12.总习题六3.4.5.6.7.第七章第一节3.5.第二节例4．1(B).2(B).4.第三节可化为齐次的方程1(A).2(B).3.第四节例2.伯努利方程(数一要）1(B).2(A).3.4.8(B).第五节例4.例6.本节数学三不要求1(B)..3.第六节例2．常数变易法3.第七节例4;例5．1(A).2.(B).3第八节1(A).6.第九节数二.数三不要求1.2.总习题七1.2.3(B)..7.8.第八章第一节本章数二.数三不要求4.15.16.第二节1.3.9.10.第三节2.3.7.9(A).第四节3.4.5.8.第五节1.2.3.5.6.8.9.第六节2.4.5.7.8.9.13.15.总习题八16.17.19.21.第九章第一节平面点集第二节1(B).4.6.9.第三节全微分在近似计算中应用1.2.3.5.第四节9.10.11.12.13.第五节2.3.4第六节本节数二.数三不要求；4.5.6.7.8.9.10.11.12第七节数二.数三不要求1.3.4.5.6.7.8.10.第八节1.2.5.6.10.11.12.总习题九2.9.10.11.(数一:14.15.16.17.18.)第十章第一节4(B).5(B).第二节二重积分的换元法1.2.3.4.6.9.10.11.12.13.14.15.第三节数二.数三不要求1.4.5.6.7.9.10.11.15第四节数二.数三不要求1.4(1).5.7(1).8.总习题十1.2(B).3.5.6.(数学一:8.9.10.)第十一章第一节(本章数二数三不要求)3.第二节3.4.5.第三节1.3.4(3).5.6(B).8(B).9第四节5.6(B).第五节3..第六节1.第七节2.总习题十一2.3.4.5.7.第十二章第一节（本章数二不要求）3.4.第二节1(A).