弹性力学-有限差分法

第十章有限差分法弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。

第一节差分公式的导出

常用数值解法有有限单元法和差分法。第二节应力函数的差分解第三节例深梁的应力函数差分解第一节差分方程

从弹性力学的基本方程建立以来，这些方程在各种问题的边界条件下如何求解，一直是很多数学工作者和力学工作者研究的内容。即弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解，许多工程重要问题，不能够得出函数式的解答。因此，弹性力学问题的各种数值解法便具有重要的实际意义。

差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法。

工程中常用得数值解法有有限单元法和差分法。

有限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上的近似。

差分法是把弹性力学的基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题，属于数学上的近似。第一节差分方程

我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h，如图。

设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０-１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：第一节差分方程

我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在结点３，x=x0-h,在结点1,x=x0+h，代入(b)得：第一节差分方程联立(c),(d),解得差分公式：

同理，在网线４-０-２上可得到差分公式第一节差分方程

以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,从而可导出其它的差分公式如下：第一节差分方程

差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。

以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。

应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。第一节差分方程

当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。第二节应力函数的差分解

一旦求得弹性体全部节点的φ值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。第二节应力函数的差分解

可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：一、建立差分方程将（1-6）代入双调和方程

对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。整理即得第二节应力函数的差分解

二、联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的值。

为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：

一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的φ值，并包含边界外一行的虚结点处的φ值。第二节应力函数的差分解代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改写为：由图2可见，第二节应力函数的差分解关于边界上任一点处由此得：

的值，可将上式从A点到B点对s积分得到：第二节应力函数的差分解

将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的φ值。为此利用分部积分法，得：

由高等数学可知，第二节应力函数的差分解将式(b),(c)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设即可根据面力分量及求得为已知，第二节应力函数的差分解

从图易看出，式（2－3）右边的积分式表示A与B之间的，x方向的面力之和；式（2－4）右边的积分式表示A与B之间的，y方向的面力之和；式（2－5）右边的积分式表示A与B之间的面力对于B点的矩。于是式(d)，式(c)即简化为：第二节应力函数的差分解

至此，我们解决了怎样计算边界上各结点的值的问题。

至于边界外一行虚结点处的值，则可用边界上结点处的或值和边界内一行相应结点处的值来表示。例如，对于图1中的虚结点14，因为有

第二节应力函数的差分解所以有

当求出全部结点上的φ值以后，我们就可按应力分量的差分公式（2－1）计算应力分量。

用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，取第二节应力函数的差分解

然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处φ

的值，以及所必需的一些及值，即垂直于边界方向的导数值。

（2）应用公式（2－6），将边界外一行虚结点处的φ值用边界内的相应结点处的φ值来表示。

（3）对边界内的各结点建立差分方程（2－2），联立求解这些结点处的值。

（4）按照公式（2－6），算出边界外一行的各虚结点处的φ值。第二节应力函数的差分解（5）按照公式（2－1）计算应力的分量。说明：

1．以上是针对单连体导出的结果。对于多连体，情况就不象这样简单。

2.

如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（2－2）必须加以修正。第二节应力函数的差分解

现以如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载q，并由下角点处的反力维持平衡。第三节例深梁的应力函数差分解(1）计算边界上各结点的φ

、和值。取A为基点，且由上面公式所得的计算结果见下表。第三节例深梁的应力函数差分解（2）计算边界外以行各虚结点处的值。由式（2-6）及前表可得第三节例深梁的应力函数差分解(3）边界内各结点的差分方程,由式（2-2）可知第三节例